II. a>P>c
et nous allons immédiatement en faire usage en recherchant les expressions des coefficients a'\ b'\ c'\ par des fonctions elliptiques du temps.
J'observe, en premier lieu, qu'on obtient, si Ton exprime a" et d' au moyen de h'\ les valeurs
(7 - a) a'^' = 7 - ô - (7 - P) A"% (7 - a) c"^ = (f - a - (P - a) 6"^ Posons maintenant
^-i =: 'Lui v% 6"* = '^^ US c^^ = ^-=^ WS
puis
il viendra plus simplement
Introduisons, en outre, la quantité w^ = (cî^— a)(7 — |3); l'équation — =(a — 7)6"<£" prend cette forme : — = /iVW, et Ton en conclut, en désignant par t^ une constante arbitraire,
U = sn[/i(<-.^o)>J, V = cn[/i(< - t^)M, W= dn[w(< — /o),*].
J'ajoute que les quantités ^^-—-9 ^rnv rzr"'(^ "" ^)(7~~P) ^^°^ toutes
positives et que h} est positif et moindre que Tunité, sous les conditions I et IL A l'égard du module il suffît en effet de remarquer que l'identité
(a6 ) donne
de sorte que A^ et A'*, étant évidemment positifs, sont par cela même tous deux inférieurs à l'unité. Ce point établi, désignons par e, g', t des facteurs égaux à dz i ; en convenant de prendre dorénavant les racines carrées avec le signe -f- , nous pourrons écrire
«"=V^v. h"=isj^\xi, ,»=^^ïe:-w,
et la substitution dans les équations
,J.,M JLtt J^l'
donnera les conclusions suivantes. Admettons d'abord les conditions I : les trois différences y — j3, a — y, ^ — a seront négatives, et Ton trouvera 5 = -^ éV, £' = — ê"c, e" = -^ ££'; mais sous les conditions II, ces mêmes quantités étant positives, nous aurons £==-£'£", £' = «"s, £" = ££'; ainsi, en faisant, avec Jacobi, £=— i, £' = -|-i, on voit qu'd faudra prendre e" = 4- I dans le premier cas et la valeur contraire e" = — i dans le second. Cela posé, et en convenant toujours que les racines carrées soient positives, je dis qu'on peut déterminer un argument w par les deux conditions
en (ù
= \M' dn»=y'j-5-;.
d'où nous tirons — - = y ^ ^ \ ces quantités satisfont en effet à la relation
dn-w — • k^cii^tù = A'^,
comme on le vérifie aisément. Je remarque, en outre, que, cnw et dnw étant des fonctions paires, on peut encore à volonté disposer du signe
de w. Or, ayant 7^- = — — , nous fixerons ce signe de manière que, suivant les conditions I ou II, ^^^ qui est une fonction impaire, soit égal à
t cnu
H- 1/ OU à — i/- — -- Nous éviterons, en définissant la constante w
comme on vient de le faire, les doubles signes qui figurent dans les rela-
(a7 ) dons de Jacobi; ainsi, à l'égard de a\ h*\ c\ on aura, dans tous les cas, les formules suivantes, où je fais pour abréger u = n{t — /©) •
,. cnu ,„ dnu snn // snudnn
cnu enw îcnta
Enfin il est facile de voir que Gt> = /u, v étant réel; de la formule hâA^ &n{ivy i) = — ' — TTTî on conclut, en effer, cn(u, ^) = \/r-zr ' v^'^"'' q^i est dans les deux cas non-seulement réelle, mais moindre que l'unité.
J'aborde maintenant la détermination des six coefficients a, 6, c, a\ b\ c' en introduisant les quantités
A = a 4- in\ h = b '\- ib\ C «= c 4- ic\
et partant des relations suivantes :
Aa"-f-B6' -hCc"=o, iA~Bc"-+-C*''=o,
qu'il est facile de démontrer. La première est une suite des égalités
aa' -h bb" + ce" = o, a' a!' 4- b'b" + cV = o,
et la seconde résulte de celles-ci :
a = b'c" - c'b\ a' = b'c - c"b, a" = bd - cb'
Qu'on prenne, en effet, les valeurs de a et a\ on en déduira
a -h ia' = (6' - ib)d' - b'{c' - ic),
ce qui revient bien à la relation énoncée. Cela posé, je fais usage des équations de Poisson rappelées plus haut, et qui donnent
D,A = Br - Cq, D,B = C/> — Ar, D,C = kq - B/>,
puis, en remplaçant /?, g, r par «a", ^b", yc", D,A = Bc"y — Cb"^, D,B = Ca'a - Ac'y, D,C = Aè"^ - Ba" a.
( ^8) Mettons maintenant dans la première les expressions de B et Cen A, qu'on tire de nos deux relations, à savoir
on obtiendra aisément
OU bien encore
D,A a"\y,a''-^i[aLa"^^^] A "" a"^—\ '
et, par un simple changement de lettres, on en conclut, sans nouveau calcul,
Ces formules seront plus simples si Ton fait
A = ae'«', B = b(î'PS C = ce'^^ car il vient ainsi
h"ï^tb"^
Cela étant, j'envisage la première» et pour un instant je pose a"^ — i = a*, ce qui donnera
