A' — i\ 8 /■'*sn6)dn
cirw
Désignons par S|, pour abréger, la série du second membre, et par S
ce qu'elle devient lorsqu'on change i en — i, c'esl-à-dire w en — w; puisqu'on a Cl) = lu y on aura les expressions
où R et R| sont deux nouvelles constantes, dont la signi6cation se montre d'elle-même. Il est clair, en effet, que ces quantités sont les résidus des fonctions ^{u) et <!>,(«) pour u = zK', de sorte qu'on trouve immédiatement les valeurs
R = — ne^*^ , Ri = -f-/ic ^^
et par suite la relation RR| =: — n'. Voici maintenant les applications de nos formules.
XYIII.
Je pars des équations suivantes :
De<l>(/K'4- £)De<I>i(/K'-f- s) = -n^ (S'+ ^s] (s, - '^sX
De<^(/K'-H £)4), (/R'4- 6) = - /i^ (s' 4- ~ S)S|,
DÎ<I>(îR'-h £)De<I>,(iR'-f- 6) = - «^ fs"+ ^S'- ~s) {S^ - ^S|),
et je me borne à la partie principale des développements en faisant, dans
les deux dernières, abstraction des termes réels; le calcul donne pour
résultats
si l'on écrit, pour abréger.
co'u 3
Q= 7—. 1 z hcf/iVaA' — i) H- (T.
Remplaçant donc -, et \ par — De-> — gDÎ-) on obtiendra^ en désignant
( 46 ) par C, C, C" des constantes,
X" +r- =C PD„^ + iH»D?,^!-î,
^/ yx' = C + n5D„ ~!^, a:'r" - /x" = C" + ^ D„ J|-îi] •
Employons enfin la relation D„ ^^ = -- — A* sn^w, et nous parviendrons, en modifiant convenablement les constantes, aux expressions suivantes :
j:'= 4-y= =C + f/j»-(J» — — U»sn'i/-/i^A*sn*z£, xj' — /x' = c — d^^A- sn^ tt,
Pour déterminer C, C, C, je supposerai u = o\ il suffira ainsi de connaître les valeurs des fonctions $(m), ^i(«) et de leurs premières dérivées quand on pose u = o; or on obtient, par un calcul facile dont je me borne à donner le résultat,
e-^^<b lu) z= ^ m h fi — u -h i — — ^- • • <»
e^"'<S>Jn) = -h m ^ -f- S u — i , " -4-...;
on en conclut
C = e^ — — , c'=/iS— — » c=p , - — •
Soit donc S l'aire d'un secteur, s la longueur de l'arc et R le rayon de courbure de l'erpoloide, nous aurons
\*^ cn'û) '
' * cn='w \ cn'o)/
■o I en r,) \ CIÏ^O)- / I
Ces formules donnent lieu à quelques remarques.
J'observerai, en [iremier lieu, qu'on lire de la première, en comptant l'aire à partir de t = t^ ou u :=^ o^
S — «ô -— - w — 7^(f - tt — ——Y
\* cn'w K/ ®(")
il en résulte que, u devenant u 4- 2K, le secteur s'accroît de la quantité
constante
dn^w
OU, sous une autre forme,
/-odn^w
Je démontrerai ensuite que le trinôme en sna qui se présente dans l'élément de l'arc, et dont les racines sont réelles et de signes contraires, a sa
racine positive comprise entre i et -r* En faisant, en effet, snw = 1, puis snu = jj nous trouvons pour résultats les quantités
dont la première est positive et la seconde négative. On verra sans peine aussi qu'en introduisant dnaau lieu de sni/, il prend la forme suivante, qui est assez simple : ^
Enfin, et en dernier lieu, je remarquerai que les constantes qui entrent dans le dénominateur du rayon de courbure peuvent s'écrire ainsi :
Q= - 4cï»-4-4(a-HiS4- y)5'- 3(a|3 + ay 4- Pv)^-*- aa/Sy;
P(/îU'cn'M-+-pMn^ft>) P(7 — ^)(pa-f- p7 — «7) . cn^w 7 — p '
mais, malgré cette simplification, il paraît difficile de déduire de la formule qui détermine les points stationnaires,
Qcn-w
les conditions sous lesquelles ces points seront réels ou imaginaires, et je ne m'y arrêterai pas.
Après l'erpoloïde, je considère encore la courbe sphérique décrite par un point déterminé du corps pendant la rotation, et dont les équations sont
Je remarquerai tout d'abord que les éléments géométriques, qui conservent la même valeur quand on passe d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre quelconque, seront des fonctions doublement périodiques du temps. Si Ton pose, en effet ,
Dix = rt£,, 4- br,„ ■+- cÇ„, D;j = a'è„ -i- //y;, 4- c'Ç,, l)1z = a'%-^f>'%,^c%.,
les équations de Poisson donnent facilement
et ces relations permettent d'exprimer de proche en proche, pour toute valeur de /i, les quantités §«, fin^ Zn P^^ des fonctions rationnelles et entières de a", 6", c". On trouvera, en particulier,
et, par conséquent, en désignant par s l'arc de la courbe, nous aurons la formule
On obtient ensuite, pour le rayon de courbure R et le rayon de torsion B,, les expressions suivantes :
^ - „. + ,. + ^r' tt. = 1 '
OÙ j*ai fait, pour abréger,
«= >Î|Ç2 — Çl>52» ^ = Çi?2 — Ç2?n î^' = 5|>3, — HjKJ.
Çl ?2 Ç3 >3l >72 >?8
Ç. Ç2 Çs
C'est à rélément de l'arc que je m'arrêterai un moment, afin de tirer quelques conséquences de la forme analytique remarquable que présente la quantité ÇJ 4- i^J -h ÇJ. Nous avons, en effet, la relation
qui donne facilement
(?» -f- Ç'){D,sY = (f 4- )î» + Ç»)y3Î + m, - ?Ç.)%
et, par suite, cette décomposition en facteurs imaginaires conjugués, où j'écris, pour abréger, p\ = Ç* -+- >3^ -h Ç^,
Or les valeurs de a", b'\ e", à savoir :
«"=-V/^<="«. ^"=V/ïË|«n«. -"=v/^dn«.
conduisent à l'expression suivante :
et nous allons facilement en déduire les valeurs particulières des coordonnées Ç, yj, Ç, pour lesquelles l'arc de la courbe sphérique, au lieu de dépendre d'une transcendante compliquée, s'oblient sous forme finie explicite. Je me fonderai, à cet effet, sur cette remarque, que le produit de deux fonctions linéaires
n(w) = (A cni^ -I- Bsnw -I- Cdnw)(A'cnw 4- B'sna devient le carré d'une fonction uniforme si l'on a
Cdnw)
A^jt'2 + B» -- CU'» == o, A'^yfc'^ + B'^ - C^'k'^ = o.
( 5o) A cet effet, j'observe que les formules
'2snucn « <\nn I — X'sn^a
I ~ 7, sn'« H- X-^sn*!/ I — /*sn*a
, I — 2 X' sn=« -+- X' sn* «
1 — X * sn* u
permettent d'écrire
A en 2// -h B sn î2 w -f- C dn 2U
A-f- C— 2(A -+- (:X»)sn'tf H- (A-f- C)X'sn^« -4- ?.Bsna onwdn//
I — X" sn* u
Cela étant, soir, en désignant par g: et ^ deux constantes,
A -hC- 2(A + CA-)sn-tt-+-(A -HC)A-sn*w
aBsn2/cn2/dn£/ = (gsnw -h h cnwdnw,-.
on verra que les quatre équations résultant de l'identification se réduisent aux trois suivantes :
A -h C = /i\ 2(A -f- CA^) = A^(i + A^) - g\ B = gA;
or l'élimination de g et h conduit immédiatement à la condition
Soit de même ensuite
A cn2u ^- B si\2u -f- C'dnaw = ,, -,
I — X =* sn* //
SOUS la condition semblable
nous en conclurons, pour y/l\[2u), l'expression suivante :
-77/"" "\ [s'Sïïu -^ h cnudn u) (g^ sn U -h h' en li an u)
OU, en développant,
'—. : gg' sn'M H- /i/i'[i — (i -!- X^) sn'// -f- X*sn*//J -f- (f/i'-H /'^ ) sn/i cnudnu
y \ ) I — X^ sn* a •
on en déduit ensuite facilement, si Ton change u en ->
2yil(tt) ~ TTiëëi^^ " "" ^"'0 "^ (s''' "^ ''S') s*^'^ ^~ M'(dna -f- cntt).
Voici maintenant l'application de la remarque que nous venons d'établir.
Revenant à Texpression précédemment donnée des facteurs de(D, j)*, je pose
A'=«\/î-^^^''-'>^)' K-^VI^^^'^^")' C'=-7y/P^^(>,Ç-|-,>|),
et j'observe que, au moyen de la valeur A*'^ = g^*^ 1 -^> nos conditions se présentent sous la forme suivante :
Elles donnent immédiatement ^ij^ = o ; et nous poserons en conséquence :
» Soit, pour abréger,
a = (a - $) (7 — |3) (7(? + ,3$ - 7P), b == (j3 - 5j (a - 7) («a + 7^ — ay), c = (7 - (^){^ — a)(/3ô -+-«$- jSa) :
au moyen de ces quantités, qu'on verra facilement vérifier les relations
nous obtenons les trois systèmes de valeurs
Maintenant je vais démontrer que, de ces diverses solutions, la première est seule réelle et répond à la question proposée.
Pour cela, je rappelle que les constantes a, ^, 7, c^ satisfont aux conditions
(I) a</3<5<Vou à celles-ci
(II) a>r^>(?>V.
et j'observe qu'on aura, dans les deux cas,
J'ajoute à ces résultats les suivants :
7c? -I- /3ô — 7|S > o, a(? 4- 70*^ — a7 > o, /3c? -h «5 — /3a > o, qui donneront, comme on voit,
On peut écrire, en effet,
ac? H- 7^ — ya = aâ m- (5 — a) 7, /3Î4- ac?— /3a= «5 -h (0 - a)/5,
et, dans le premier système de conditions, on voit ainsi que les premiers membres sont tous positifs. Nous ferons ensuite, en passant au second
système,
yti'h(i&-yfi= y& -^ (« - v)l3>
aâ -h 7^ -- «7 = 70 H- (c? — 7) a ;
mais ces transformations faciles ne suffisent plus, à l'égard de la troisième quantité |3<? -f- «5 — |3a, pour reconnaître qu'elle est toujours positive comme les autres. Il est nécessaire, en effet, d'introduire une condition
nouvelle, ~ "+" ô^ -» ayant son origine dans la définition des quantités ->
-1-9 qui sont proportionnelles aux moments principaux d'inertie. Nous
écrirons, dans ce cas,
et le dernier résultat qui nous restait à établir se trouve démontré. Les valeurs réelles ainsi obtenues pour les coordonnées ^, >j, Ç, à savoir £ = o, >3 — ^b,
Ç = yfcj donnent, en prenant les radicaux avec le double signe, quatre points qui décrivent des courbes rectifiables, ou plutôt deux droites remarquables :
I = o, V} = ziz \/-Ç, dont tous les points décrivent pendant la rotation du
corps de telles courbes. Pour former l'expression de l'arc s^ observons que,
d'après l'égalité a -h b -l- c = o, on peut écrire ip = \/a , ce qui donne les valeurs suivantes :
On a ensuite
et nous en concluons
(Acni/ -+■ B snu -+- C dnu) {A'cnu -h B^snu -+- C'dnfi) = (Bsnz/ H- CdnuY — A^cn^w.
La condition A*A'^ 4- B* — C^A'^ = o conduit enfin à cette nouvelle transformation
(B sn « -I- c dn f/)^ — A^ cn^ w = (B sn w -h C dn w/ tt^ — (dn^ u — k^^ sn^u)
= lCk'snu-{- Tîdnti] ,
et il vient, en définitive, après quelques réductions, pour l'expression de l'arc de la courbe sphérique,
puis, en effectuant les intégrations,
j = y 4/|^-(|3J ^ a& — /3a) log(dntt — kcnu)
-+- p l/-'^^— («^ 4- yd^ — ay) amw.
Il en résulte que, u devenant r/ + 4^i l'^rc s'accroît de la quantité constante, 27r]3 \/^4r" (^^ -f- 7^ — ay).
Je terminerai cette étude de la rotation en indiquant encore un point de vue sous lequel on peut traiter la question et où Ton évitera le défaut de symétrie des méthodes précédemment exposées, qui donnent d'abord les quantités A, B, C; puis, par un calcul différent, la quantité Y, en séparant ainsi des expressions composées de la même manière avec les quatre fonctions fondamentales de Jacobi. Des transformations algébriques faciles des équations de la rotation, lorsqu'on suppose en général le corps sollicité par des forces quelconques, permettent, en effet, d'associer les composantes de la vitesse aux neuf cosinus; elles seront le point de départ du nouveau procédé que je vais donner pour le cas où il n'y a point de forces accélératrices. Avant de les exposer, je rappelle d'abord les équations d'Euler
al\p = (I) — c)qr-h P,
bD,7 = (c — a)/y?-f-Q, c D^r = (a — b)p(ji -h R,
où les moments d'inertie sont désignés para, b^ c, et celles de Poisson, dont j'ai déjà fait usage,
puis
D,A = Br - Cq, D,B = Cp — kr, D,C = A7 - B/k
Cela étant, soit, comme précédemment,
V = ap -^ bq -r- crj i/ = a'p-r- h'q -f- c'r, v" = a"p H- l/q -H cV,
V = \p -h BZ> -h Cr;
en écrivant, pour abréger,
^ = p\i,p -^ qD.q -h rD,r - [ay -h b'q -+- c'r){a''D,p h- b"D,q -f- c"l\r),
nous aurons, comme conséquence, les relations suivantes, que je vais démontrer :
