IS
i h en ua = ~t> — D„t>, ikcnuv = — a — - D„û,
k su w.b = — ti — D„ n, * sn up = '— b — D„b,
idnujc = ^t> — D«ti; /dnw.ti = — c — D^c;
m: IV.
ikcnub = -^c — D„c, ikcnuc = — b — D„b,
ksnuc = ~û — D„û, ksnua = — c — D„c,
i dnwû = — b — D„b: idnub = ''^a — D„a.
Je ne m'arrêterai point aux calculs faciles qui donnent ces résultats, et je remarque immédiatement qu il convient de les disposer dans ce nouvel ordre, à savoir :
ikcï\ua = — 1> — Dttti, ksuua = — c — D„c, i dni^a = — b — D-b,
ikcnub = — C — D„c, ^sn^b = — D — D„o, idnub = —a — D«a,
ikv.nui = — b — D„b, ksnuc = — û — D„û, iànuc = -in ~ D«ti,
/Acn//t> = —a — D^a, hsnurs— b — D„b, icinwti = — c — D„c.
Par là se trouvent mises en évidence trois substitutions remarquables, qui //. 8
correspondent aux multiplications des quatre fonctions par cni/, snUy diw/, à savoir :
/û, b, f, o\ /a, b, f, u\ /a, b, r, ii\ \o, f, b, a/^ \f, 0, û, b/' \b, û, u, c/'
elles ont la propriété caractéristique de laisser invariables les quantités du type (a — b)(c — o), et, si on les applique deux fois, chacune d'elles donne la substitution identique. Représentons les quatre lettres a, b, c, ti par X, pour les valeurs o, i, 2, 3 de l'inHice, en convenant de prendre cet indice suivant le module 4; ^H^s s'expriment comme il suit :
Si l'on adopte un autre ordre, en supposant que Z, donne c, a, b, poiu' ^ = o» I, 2, 3, on retrouvera encore, sauf un certain échange, les mêmes fonctions de l'indice, à savoir :
(zL)' (z!.)' (LJ
C'est cette disposition qu'il convient de garder, et semblablement nous dési-
gnerons les constantes ~i — ? — » — par e, pour j = o, i, 2, o: cela étant,
nous pouvons comprendre, dans ces trois seules équations, le système de nos douze relations :
f ik en uZs = £, Za^, — D« Zj^,,
(I) ! AsnMZ,=--Ê,Z,«,-D^Z,,,
/dnttZ, = Ê,Z3, — D„Z3^,.
Le résultat relatif aux quantités X, ne diffère de celui-ci qu'en ce que ikcnu^ ksnuj idnu se trouvent remplacés respectivement par îdnw, ikcnu^
1 1 , . ia ifi l'y i$ ^
k %uu\ en désignant — ? —^ — » — par >3, pour j- = o, i, 2, 3, nous aurons, en effet,
/ /^-CnttX,=rry;,X.,,— D„X3„
(II) I ^snwX, = y;,Xo^, - D„Xo^„
( idnwX, = v3,X,^, — I)„X,^,.
Avant d'aller plus loin, je crois devoir montrer comment ces deux systèmes
créquations se ramènent Tun à Tautre, par un changement très-simple de la variable et des constantes.
Je me fonderai, à cet effet, sur les formules de la transformation du premier ordre :
/., iX''\ I /., iA''\ iksnu , /., i^'\ en u
cnl ikii. -r 1 = j — ^ su [iku. -p ) = --j ? du uku^ -7- ) = - — »
\ * / «"'^ \ ^ / ^na \ « / cinw
en les écrivant de la manière suivante, où j'ai fait, pour abréger, / = — >
k'cii[ikn, /) = ~ cln(w - K -4- 2fK'),
/sn (iÂ:w, /) = -H en (w — K -f- 21K'),
dn(/^2/, = "^ sn(w — K -H 2/R').
Changeons, en effet, // en 1/ — K -h 21K', et désignons par Z, ce que devient ainsi Z, ; les équations (I) donneront celles-ci :
ikUu[iku, /)z; = £,z;^, ~ D«z;,,, - ik'cïx{iku, /)z: = 6,z,., ^ D„z;,.
Soit encore Z' le résultat de la substitution de t7> au lieu de u. on trouvera, si Ton remarque que il =^ — —?
/sn(i/, /)z; = gz;,,-D,z;,,, idn(£/,/)z;=^z;,-D„z;,, //cn(«,/)z: = Jz;,-D«z;,,
nous sommes donc ainsi ramenés aux équations (II), en y remplaçant
les constantes vis par ^9 ce qui entraîne le changement de k en /.
Je vais montrer maintenant comment la théorie des fonctions elliptiques donne la solution de ces nouvelles équations auxquelles nous a conduit le problème de la rotation.
xxin.
Je représenterai dans ce qui va suivre les fonctions 6(w), H(w), H,(/i), ©,(w) par 6o{u)j ô,(w), ôziu)', 0^{u)^en adoptant une notation employée pour la première fois par Jacobi dans ses leçons à TUniversité de Kœnigsherg, et dont plusieurs auteurs ont depuis fait usage. L'une quelconque des quatre fonctions fondamentales sera ainsi désignée par Oj[u)f et je ferai de plus la convention que l'indice sera pris suivant le module 4» â^'^ de pouvoir lui supposer une valeur entière quelconque. Cela posé, soit R,
le résidu correspondant au pôle w = /R' de la quaniité ^ ^ > — > où n
et X sont des constantes quelconques, et posons
Nous définissons ainsi un système de quatre fonctions comprenant comme cas particuliers snuy cni/, dnu^ lorsqu'on suppose a = o, X = o, mais qui, en général, ne sont point doublement périodiques, et se reproduisent multipliées par des constantes, lorsqu'on change u en u-h 2K et
iTta
en tt-H 2iK'(*). On a en effet, en posant jx = e^^*^, jx' = e ^ , les
relations suivantes :
(i>,{u -+- 2/RO = fx'(- iy'^""^<S>s{u).
et, en passant aux valeurs particulières de l'indice, les multiplicateurs seront indiqués comme il suit :
+ fJI.,
+ fA',
-fi,
+ fX,
-fX'.
(') Peut-être pourrait-on^ afin d^abrôger, convenir de désigner les quantités de cette nature sous le nom de /onctions doublement périodiques de seconde espèce y les fonctions périodiques de première espèce correspondant au cas où les multiplicateurs seraient égaux à Tunité. Enfin les quantités telles que 6 (i/), H (a), ..., les fonctions intermédiaires de
L'élude de leurs propriétés pourrait peut-être former un chapitre nouveau dans la théorie des fonctions elliptiques, mais en ce moment je dois me borner à en tirer la solution que j ai en vue du problème de la rotation. Je partirai de ce que les expressions 0,(w), ayant un seul pôle u = iK' à l'intérieur du rectangle des périodes et pour résidu correspondant Tunité, peuvent jouer le rôle d'éléments simples à l'égard des fonctions qui ont les mêmes multiplicateurs. Telles seront, par exemple, les quantités
cnw$,(i/), snw$,(w), dne/$^(2/];
si l'on remarque qu'en mettant 2 -h j, i — ,y, 3 — ^ au lieu de j, le fac-
teur (— i)^ se reproduit multiplié par -- i, — i, H- i, tandis que
(— i)^ est multiplié successivement par — i, 4-1, — i, on reconnaît
en effet qu'elles ont respectivement les multiplicateurs des fonctions
Nous voyons aussi qu'elles n'admettent que le pôle u = /K', dans le rectangle des périodes, de sorte que la décomposition en éléments simples s'obtiendra immédiatement au moyen de la partie principale des trois développements
cn(/R'4-0*,('K'-hÊ), sn(iK'-i-e)*,(/K'-f-Ê), dn(/R'-i-£)0,(iK'-f-£). Or on a, sans aucun terme constant dans les seconds membres,
iAcn(iR'-l-e) = -, >tsn(iK'4- e) = -, idn(/R'4- e) = -,
et par conséquent il suffit de calculer les deux premiers termes du développement de l'autre facteur $,(îR'-i- e), c'est-à-dire le terme en -? et le
terme constant. J'emploie à cet effet la relation, sur laquelle je reviendrai tout à l'heure,
MM. Briot et Bouquet, où les multiplicateurs sont des exponentielles, recevraient par analogie le nom àe fonctions périodiques de troisième espèce.
(6a ) OÙ c est égal à / pour j = o, ^ = i, et à l'unité, si Ton suppose s = 2,
S = j, de sorte qu on peut taire (7 = — e ■ » . On en con-
clut Texpression suivante :
<I>,(iK' + 6) = A
A désignant un facteur constant, et par suite ce développement, que je limite à ses deux premiers termes :
<I>.(/K'+E) = ^^^[l + X + Djogô..{«)].
Mais A doit être tel que le coefficient de -soit Tunité; nous avons donc
simplement
<b,{i¥J + £) = : + > + D„ loge,,(a),
et l'on voit que les parties principales des développements des fonctions
/A:cn(/R'-t-£)<l),{/K' + s),
A:sn(/K.'-i-î)<D,(iK'+£), tdn(iK'4-c)<I>,(jR'-+-£)
se réduisent à cette seule et tnéme expression dans les trois cas, à savoir :
I + [X4-Djog5,.(a)]f
)) La formule générale de décomposition en éléments simples nous donne en conséquence les relations suivantes :
ik cnw4),(^0 = [X -4- D« log5,,(rz)] ^^^^(w) - D„0,^,(w), k snw4),(w) = [X -f- Daloge,,,(a)J $i,(w) - D«4),,(i/), i dn«*,(i/) = fX4-DJoge,,(n)]<D3-5(") - D„<D3,(w);
et l'on voit qu*on les identifiera aux équations (I), obtenues dans le paragraphe précédent, en disposant des indéterminées a et X de manière à avoir
(63) Reprenons, à cet effet, les égalités données, p. 36, §XV,
rt X'^SDbicnoi) «. . sncddnoi) . cncddnoi)
oc — p=zin — , » a — = 1/1 » y-^a = m >
* dDu cnci) ' sn»
en les écrivant d*abord de celte manière (voir p. 37) :
Rappelons ensuite que les constantes - » '- » -» — ont été désignées
par £j pour 5 = 0, i, 2, 3, et elles prendront, en introduisant les quantités 5,(«), cette nouvelle forme
s, -|-Deologeo(co) = £i-f-D^log0,(«)
= £o-+-I>a)loge,(w) = £, -hDcologe2(ot)).
Il en résulte que l'expression
£, ^- Déloge,», (w)
reste la même pour toutes les valeurs de s ; par conséquent on satisfait immédiatement à la condition posée en faisant
a = — oj et X= 6,-1- Do, log6, .,(«).
Les résultats que nous venons d'obtenir montrent encore par un nouvel exemple combien la question de la rotation se trouve intimement liée à la théorie des fonctions elliptiques. C'est même à Tétude d'un problème de Mécanique qu'est due la considération de ces nouveaux éléments analytiques 4>,(w), très-voisins des fonctions ^(j:, w), 9,(0:, w), ;^ (Xj 0)), Yi (x, Cl)), employées au commencement de ce travail pour intégrer Téquation de Lamé, mais qui en sont néanmoins distincts et offrent un ensemble de propriétés propres. Il est nécessaire, en effet, d'attribuer à la constante X quatre valeurs particulières pour en déduire ces dernières
(64) fonctions, et de là résultent, pour les multiplicateurs de chacune d*ellës, des déterminations essentiellement différentes, tandis que la propriété essentielle qui réunit en un seul système les fonctions ^j{u)j cest d'avoir, sauf le signe, les mêmes multiplicateurs. Je me bornerai à leur égard à considérer, pour en donner Tintégrale complète, les équations différentielles auxquelles elles satisfont, équations linéaires et du second ordre comme celle de Limé; mais auparavant je dois d'abord montrer comment les formules de Jacobi résultent de l'expression à laquelle nous venons de parvenir, Z, = N $,(«), où N désigne une constante. J'emploie, à cet effet, la valeur de R^, qu'on obtient facilement sous la forme
et où l'on doit faire a ■= — u. En se rnppelant la délermioation du fac leur G, et écrivant pour un moment
nous obtenons ainsi
if/,(o) '
Ro= -/ne,(w), R, =/iîeo(w), Ra = ne,(a)), R, = n$2(w).
Or on a
A = -j Z,, B = "7 Za, C= Zo, V=— mZ,;
de là résultent, si Von remplace N par UN et les quantités 6j par 0, H, . . ., les valeurs suivantes :
dnfc)N H.fii — ro)^^" ^ H,f/f — a>U'^" /cnw 0,(wje^/<) "~ /J ll,(w)e.«j
., snwN ©(// — w) r^" N e[ti — ùi)c'"'
' "" inoi /H(w)0(/i) "" ^ /H,'[w)0 ;i7;' V = — m N > ' --.
H.iw //
Je ne m'arrête pas à la détermination de la constante N, qui s'obtient comme on l'a déjà vu au § XIV, p. 3i ; elle a pour valeur H'(o)e'^ et nous retrouvons bien, sauf le changement de X en iX, les résultats qu'il fallait obtenir.
Je reviens encore un moment sur la désignation par 6,(w) des quatre fonctions fondamentales de Jacobi, afin de la rapprocher de la notation qui résulte de la définition même de ces fonctions, par la série
Supposant |x et v égaux à zéro ou à Tunité, on a donc en même temps
e(w) = ôo(") = ôo,i("), H,(«) = e,(tt) = eo..(«),
et, en premier lieu, je remarquerai que le système des quatre équations fondamentales
0,(tt+ iK')= H, («)e~4ï^"'^''''^ peut élre remplacé par la relation unique dont j'ai déjà fait usage, à savoir
On doit y joindre les- suivantes :
9,{tt -4- K + /K.') = 'i''6,^,{u)e 4^"^'"'^,
( 66 ) les facteurs d, o\ n" ayant pour valeurs
puis celles-ci :
Je remarquerai enfin qu*en passant du système de deux indices à un indice unique on est amené à exprimer, d'une manière générale, s au moyen de fx et v. Si nous avons égard à la convention admise que s est pris suivant le module 4» O" trouve aisément Texpression
Cela étant, soit de même
et désignons par S la quantité relative aux sommes fx 4- /x' et v 4- v'. Les admirables travaux de M. Weierstrass ayant montré de quelle importance est, pour la théorie des fonctions abéli^nnes, l'addition des indices dan3 les fonctions d à /2 variables, où entrent 271 quantités analogues à fi et v, on est amené, dans le cas le plus simple des fonctions elliptiques, à chercher l'expression de S en s et s\ M. Lipschitz m*a communiqué la solution de cette question par la formule élégante
S^:^ — I — j — / — iss' (mod. 4)^
et voici comment Téminent géomètre la démontre. Écrivons Tégalité précédemment donnée : 2JEzz — i — fx-i-vH-a/xv sous cette forme
^s -I- I eie(2jj. 4- i)(2v— i) (mod. 8),
et remarquons qu'on peut poser, /x et v étant zéro ou l'unité,
2fx-M = 3^ 2v — i=--7^ (mod. 8).
( G7 ) On en conclura
a5-hi=- 3»'7" (inod. 8);
or les relations analogues
2^ -M Ez= - 3^'7^'. aS -f I = - ^^*-v-'f^^ (mod. 8)
donneront immédiatement :
2S -f- ï E=^ — [2S -f- i) (2j'-h' i) (mod. 8), et Ton en conclut Téquation qu'il s'agissait d'obtenir.
Nous avons vu que le système des quatre fonctions représentées, en faisant j=o, I, 2, 3, par l'expression
où a et X sont des constantes quelconques et R, le résidu correspondant au pôle i/ = iK' de '^ ^ , . — > conduit aux équations différentielles suivantes (§ XXIII, p. 6i) :
ikcnu^s{i^) ^ [X-+- D^log5,/a)]<I)2,,(w) - D^(t>r,^,{u\ ksnu^,(u) - [X 4- DJog5,,(^)](D,.,» - D, *,,(//), /dnii<D,(w) ^ [X-M)^logg,,(a)] <!),,,(//) - D^*, .,{u).
Ces relations me paraissent appeler l'attention, comme donnant d'ellesmêmes des équations linéaires du second ordre, dont la solution complète s'obtient, ainsi que celle de l^amé, dans le cas de/2 = i, par des fonctions doublement périodiques de seconde es|)èce, ayant la demi-période iKf pour infini simple. Pour y parvenir facilement, il convient de représenter les quantités /A:cni^, ksnu, idnu par U^Ua, U,, de manière à avoir sous forme entièrement symétrique :
D«U, = - U2U3, D„U,^ - U.U3, 1)„U3 - - U.Ua.
( 68 ) Cela étant, si nous changeons successivement s en a-+-*, i— ,j, 3 — j, on obtiendra, en écrivant, pour abréger, <P, au lieu de $,(«) et i, pour X-+-Dalog5,,(rt), ces trois groupes de deux équations, à savoir :
( Uî «!»,,= £,,<!>, — D„$„ U,$, =6, 4>,, — D„$,„
L'élimination successive des quantités 4>2 4.,, ^1^9 4>j.^ donne ensuite
(I) D'$,-(6,4-S2^,-HD„logU.)D„$,-4-(Ê,£o^,-f-£2^,DJogU,-UÎ)$,^o,
(II) DL$,-(£,-f-6,,-+-DjogU,)D„<I>,+ (6,£,,-H6,,DJogU,-U;)$, = o,
(III) DL4>,-(Ê,4-63-,-^D„logU3)D„4>,4-(6,£3-i-H£,,DJogU3-U;)$,-o.
Nous avons donc trois équations du second ordre dont une solution particulière est la fonction ^,{u) ; voici comment on parvient à les intégrer complètement.
» Faisons successivement dans (I), (II) et (ITI)
on aura pour transformées :
D'X,-D„logU,D„X, ~(ôî-hc?,DJogU,-l-UÎ)X,=o, D« Xa - D„ logUaD„Xa - ( JJ -t- 5^Du logUj 4- U^ )Xa = o, DLX3-DJogU3D„X3-(5S + c?3D«logU3 4-U;)X3 = o,
en posant, pour abréger Técrilure,
^i = i{h— €2+1), *2 = i(e, — Si-,), ^3 =^(£, — £3^,). Je remarque maintenant que ces équations ne changent pas si^ en rem-
plaçant clans la première, la deuxième et la troisième, s par 2-^Sj i — ^ et 3 — ^, on écrit dans toutes en même temps — e^ au lieu de u. Par conséquent, on peut, d'une solution, en tirer une autre : la première, par exemple, qui est vérifiée en prenant
le sera encore si l'on fait En employant les formules
et mettant pour abréger 0, au lieu de 6t{n)^ on en conclut pour Tintégrale générale
Les solutions des deux autres équations seront semblablement
Les relations qui nous ont servi de point de départ donnent lieu à d'autres combinaisons dont se tirent de nouvelles équations du second ordre analogues aux précédentes, et qu'il est important de former. On a, par exemple, comme on le voit facilement,
et Ton en conclut, en changeant ^ en i — J, Joignons à cette équation la suivante :
( lo) et l'on trouvera, par rélimination de 0»-,,
-f-(£,,£,,-f-€|-,D„logUa-+-£3-it)alogU3)<P,= O.
De simples cliangements de lettres donneront ensuite
D,! *, - (£,-, -^ £. ., 4- D„ logU, U, ) D,cD,
-H (Ê3-,e2^i-+- e3-5l>« logUs -+- £24-1 D„ logU/;*, = o,
D.^4>, -~ (£.^,+ H2.,4- D„ logU, U,)D,/1>,
-H l£i-iS2M-+- £i-*D« l<>gl^2 4- 22^*D„ log U|)<P, =: o,
Cela posé, je fais dans la première, la deuxième et la troisième de ces équations, les substitutions
J*écris aussi, pour abréger,
Oj — 2\^l-S — £3-1;» ^2 2\.^2-hl — '3 -s)* ^ 2 1*2 M — ^t-sh
les transformées qui en résultent, savoir :
1),!Y.- !\logU,U3l)„Y, -(57 - ^.Djog-;) Y.:-o,
I)2Y,-DJogU,U3D«Y,-(?5'^ ^o>;DjogH!)Y3 = o,
D,2Y3~njogU,U3D,Y3-(ô3^~o^,DjogJJ;)Y, = o,
se reproduisent comme les équations en X, lorsqu'on change s en 2 -h 5, I -— j, 3 — ^ et w en — w, les quantités 5 et 3', ainsi que les dérivées logarithmiques, changeant de signe. On en conclut immédiatement pour les in* tégrales complètes les formules
\ -rz — - — c ^ H z e^ ,
-, CO///-t-^) -~~iy,lozO,,,0, C'0....,u~-n' ^OJocO,^,fl3,
(7- ) Ce sont donc les mêmes quotients des fonctions 9 qui figurent dans les valeurs deX, et Y|V Xa et Y^, X,et Y,, les exponentielles qui multiplient ces quotients étant seules différentes. Cette circonstance fait présumer Texistence d'équations linéaires du second ordre plus générales, dont la solution s'obtiendrait en remplaçant, dans les expressions CA -4- C'B des quantités X et Y, les fonctions déterminées A et B par Ae'"* et Be-'f"*, où p est une constante quelconque; voici comment on les obtient.
Considérons en général une équation linéaire du second ordre à laquelle nous donnerons la forme suivante :
PX"-P'X'4-QX = o,
où P et Q sont des fonctions quelconques de la variable u^ et dont l'intégrale soit
