AB'4- BA'= R
et soient P© et R'^ les valeurs que prennent P et R; on trouvera immédiatement la condition
Pog^R'o.
La constante g étant ainsi connue» nous avons déjà la formule
y = Pg-2R/?.
Pour obtenir (S^, je remarque d'abord qu'on peut écrire
A'B-- B'A"= £'i:--Q? A'- ^-^-^^ B'= Qg, puis semblablement
AB'+ BA"= ^-^-^ A -f- ^AA B = P'^:-.-^,
nous avons d'<iilleur$
AB''-f-2A'B'4-BA"=R% par conséquent
AB"- 4 A'B' + BA" = - ^PR'-3p;R+6QR^ et Ton en conclut la valeur cherchée :
^ ^ 2PR''-3P'R'H-6QR on 2 T. 1
{ 73 ] Ce point établi, j'envisage, dans les équations différentielles en X,, Xj, X,, les expressions du produit AB, que je désignerai successivement parR^(«), R2(w), B,(e/), en faisant
ûî(";^^.-i'/^'0.-.,i^/;
Les formules élémentaires concernant les fonctions 6 donneraient ces quantités pour chaque valeur de j, mais j'y parviendrai par une autre voie en conservant l'indice variable. Et d'abord, au moyen des relations
on obtient
Les fonctions R|(£/), RaC^)} I^3(^) possèdent ainsi la même périodicité que cnw, snw, dni/, par conséquent les quantités proportionnelles U,, Uj, U,, ayant le seul pôle u = iK' à Tintérieurdu rectangle des périodes 2K, 2/K', et pour résidu correspondant l'unité, peuvent servir, à leur égard, d'éléments simples. Employons maintenant l'équation
ou j ai pose
— ~(*-M)(*-f-2)(Qi-+-l)
et désignons par c^, (J^, (7, ce que devient c, et, changeant s eu 2 -h s^ H. îo
1 — s, 3 —• *, nous trouverons ( * ) :
Ri (/K.' -*-£)= -
R,(jK.'-f-£)=-(7C-; R,(/R'-)-E)==-(7ff,
Cela étant, comme on peut introduire à volonté un facteur constant dans la fonction R» je prends, au lieu des expressions précédentes, celles-ci, qui en diffèrent seulement par le signe ou le facteur dz /, savoir :
ô;t«)ô.„,i«)04fl)
Développant donc suivant les puissances de £ et faisant usage des quantités c^, précédemment introduites, qui donnent :
nous obtenons, pour les parties principales, les quantités
et Ton en conclut les valeurs suivantes, qu'il s'agissait d'obtenir :
R2(w)= 2J2U2- D„tJ2, R,(£/) = 2cr,U,-U«U,.
Cj On démontre facilement qu*on a
ce
, = — ( — l)' ' , a(X2—\, <7ff,=:
Ces résultats nous permelteut de former les fonctions 1^ et (S^; mais,
pour la deuxième, le calcul est un peu long, et je me bornerai à en
retenir cette conclusion, que dans les trois cas on parvient, en désignant
par U une quantité qui soit successivement U,, Ua, U,, à des expressions
de cette forme :
|l = aU-i-a'D„U,
où les coefficients a et |3 sont des constantes. Leur complication tient à ce qu'ils sont exprimés au moyen des quantités a et p qui figurent explicitement dans rintégrale, et nous allons voir comment Tintroduction d'autres éléments conduit à des valeurs beaucoup plus simples.
XKVIII.
Soient U et U| deux fonctions doublement périodiques de seconde espèce ayant chacune un pôle unique u = Of et représentées par les formules
ad/ -\- yAeP" ,. Hf«-^p)f7«
H(ii)
je me propose de former en général Téquation du second ordre, admettant pour intégrale l'expression
jr = cu-f-c'u,,
qui est
= l^jr'-i^X4-ttjr = o,
en posant
îi=uu', -u,u\ tt^u'u; - u;u".
Nommons pour un moment [i et fi' les multiplicateurs de Â, v et '/ ceux de B; on voit d*abord que les coefficients 1^ et (S^ sont des fonctions de seconde espèce aux multiplicateurs /xv et fxV, ayant de même pour seul pôle u = Oy qui est un infini double pour 'P et un infini triple pour (S^. T/équation 1^ = n*admet ainsi à l'intérieur du rectangle des périodes que deux racines, u = a et u=:zh^ et, en décomposant en éléments
simples les fonctions de première espèce, ^ et -^t on aura les expressions
(7tJ) suivantes :
où P, Q, . . . sont des constantes assujetties à la condition P H- Q -f- R ~ o. Les quantités^ et b^ que nous venons d'introduire, représentent donc, à regard de l'équation différentielle, des points que M. Weierstrass nomme à apparence singulière, u = o étant seul un point singulier. Ce sont les véritables éléments qu'il convient d'employer comme appropriés à la formation de l'équation différentielle, au lieu des constantes û:, /3, p, q qui entrent dans les fonctions A et B. Je me fonderai, à cet effet, sur le lemme suivant , qui donnera, par un calcul facile, la détermination des coefGcients P, Q, .. ..
Considérons l'équation différentielle
où les fonctions uniformes J {a )$ g{ii) admettent seulement des infinis simples qui soient, d'une part, w = o et, de l'autre, u= a, b^ c^ ... . Posons d'abord, en développant suivant les puissances croissantes de e,
et en second lieu, pour les diverses quantités a^ b, c\ . . .,
Si l'on a, d'une part,
F-hG = o,
puis, pour toutes les quantités <7, /;, r, . . .,
£a =^ g a \Ja &'« j »
l'intégrale de Téquation proposée sera une fonction uniforme ayant pour seul point singulier w =: o, et, dans le domaine de ce point, les intégrales nommées fondamentales par M. Fuchs seront de la forme 9i(w)
et - -H 9^2 (w), où y, [u) et ya (w) représentent des séries qui procèdent suivant les puissances ascendantes entières et positives de la variable.
Ce sont ces belles et importantes découvertes de M. Fûchs dans la théorie générale des équations différentielles linéaires qui permettent ainsi d'obtenir les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale complète de Téquation considérée soit une fonction uniforme de la variable. Il n'est pas inutile, à IVgard de ces conditions, de remarquer qu'elles se conservent, comme on le vé-ifie aisément, dans les transformées auxquelles conduit la substitution^ = ze^*', à savoir »
J'observe encore que l'on peut supposer doublement périodiques les fonctions y^(w) et g(tt), en convenant que les quantités « = o, f/ = a, w=rô, . . ., au lieu de représenter tous leurs pôles, désigneront seulement ceux de ces pôles qui sont à l'intérieur du rectangle des périodes. Soit donc, en nous plaçant dans ce cas,
ou bien, d'après la remarque qui vient d'être faite,
a étant une constante arbitraire. Je disposerai de cette constante de sorte
qu'on ait
et par conséquent, d'après les formules connues^
y \ I «n ÊÊ «ffi 1 M tÈ i
SO M 911 ( tt — a] 5U £/ SU ^ M — /' ;
(78 ) Cela étant, il est clair qu'on peut écrire, avec trois indéterminées A, B, C,
, . A sn /i B sn A ^
S(w)= ; : "^ 1 IT "+"^1
'^^ ' sn n sn ( a — a] sn /' «n [ /< — 6 )
et nous tirerons sur-le-cbamp de ces expressions les valeurs suivantes :
^ en /i dn /? en h cin //
siiâ sn&
y en /? fin /F vcxh
Or la condition conduit à
sDA sDiisn(/? — b]
ff«= A,
, Aenndntf BsnA ^
o** sna sniisn(/z — 6)
snasn(a — b)
le second pôle u=-b donne semblablement
sn ^ sn ( ^ — fl )
et Ton conclut enfin de Téquation F4-G = o
cn/ic1n/7 en 6 cin /> . -, 1 T h A -f- 8 = 0.
sn/i sn6
Je remarque immédiatement que cette dernière relation n*est point distincte des deux autres et qu'elle en résulte en les retranchant membre à mcn)bre et divisant par A — B. En l'employant avec la première, nous trouvons, par l'élimination de B»
.„ . snô snM — sn'^ .,
A*" — 'a A T 7T ; -. TT -f- L = o,
sna$n(/i — b] sn^asn'(a — b]
OU encore
r^ sn^ y 1 ^ ^^^
L sn rt sn ( tf — ^ ) J su' [a — ^ )
Remplaçant désormais C par . — C^> on voit qu'on aura
snasn[a — b) '
(79) et par conséquent
B sn/r ^
Telles sont donc^ exprimées au moyen de la nouvelle indéterminée C, les valeurs très simples des constantes A et B pour lesquelles, d'après les principes de M. Fûchs, l'intégrale complète de Téquation
,„ f sn/i srib "1 ,
[ksna Bsnè i ^«"1 j . j (J* j y ^^^ Q sniisn(/< — //) suu%n[u — 0) SQ'[a—ùj j*^
est une fonction uniforme de la variable avec le seul pôle n = o.
Nous sommes assurésde plus, par une proposition générale deM . Picard {Comptes rendus du ai juillet 1879, p. i4o,etdu iQJanvier i88o,p.ia8),que cette intégrale s'exprime dès lors par deux fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Si donc on restitue, en faisant la substitution ^ =1: ze^, une constante arbitraire dont il a été disposé pour simplifier les calculs^ il est certain que la nouvelle équation différentielle contiendra, comme cas particuliers, toutes celles dont il a élé précédemment question. C'est, en effet, ce que je ferai bientôt voir; mais je veux auparavant obtenir une confirmation de l'important théorème du jeune géomètre eu effectuant directement l'intégration de cette équation et donner ainsi, avant d'aborder des cas plus généraux, un nouvel exemple du procédé déjà employé pour l'équation de Lamé dans le cas le plus simple de ;2=: 1 .
Considérons la fonction doublement périodique de seconde espèce la plus générale, admettant pour seul pôle £/ = o, à savoir
et proposons-nous de déterminer co et X de telle sorte qu'elle soit une solution de réquation proposée. Soit, à cet effet, 9[u) le résultat de la substitution de f{u) dans son premier membre. Les coefficients de l'équation ayant pour périodes r^K et aïK', on voit que cette quantité est une fonction de seconde espèce, ayant les mêmes multiplicateurs que/{u)y qui pourra,
( 8o) par conséquent, remplir à son égard le rôle d'élément simple. On voit aussi que les pôles de $(«) sont n = a^ u = b^ w = o, les deux premiers représentant des infinis simples et le troisième un infini triple. Nous aurons donc
et la condition ^{u) =• o entraine ces cinq équations
