o, ÎB--0, C=-o, C-=o, (£"=:o

qu'il est aisé de former, comme on va voir.

Nous avons pour cela à décomposer en éléments simples les produits

^^/('O ^^f\^) P^"^ deux quantités de la même forme "^ . » cesl-

à-dire à chercher les parties principales des développements de ces produits, d'abord suivant les puissances de Uy puis^ en posant u = p -^ Ej suivant les puissances de e. Or il résulte de l'expression de/{u) qu'on a

Xi^) désignant la fonction considérée au § V, p. 12, et par conséquent

= - -f- X H- - ( X^ — A^ sn^ 0) -h — .r — ]u -r-

On trouve ensuite

snp I cnp dnp

sn // sn ( M — p) u snp

et sans nouveau calcul, en remplaçant n par — s,

snp I cnndnp / i i -f- X^

sn{p -h i)snt f snp \sn'p

Ces développements nous donnent les formules

cnp an P .,f » ^ jnf \

et Ton en conclut, en faisant successivement p = ay p'=b^ les ^ex pressions cherchées

\ sna I \ siio J sn^[tt — b]

-4- k^ Sli^ 0) ; -7 -h I -+- A^,

sn a sn b

» Ces résultats obtenus, nous observons d'abord que (£' s'évanouit, d'après une des relations trouvées entre A et B; j'ajoute que l'équation C = o est une conséquence des deux premières; par conséquent, les cinq conditions se réduisent, comme il est nécessaire, à deux seulement qui serviront à déterminer w et X. Nous recourrons, pour l'établir, à la transformation suivante de la valeur de C. Soit, pour abréger l'écriture,

\ siio y \ sri«

on a identiquement

C = G - H -+. (A - C) (B + C) - A^sn^o) ^ , ' ,, - -^^ ' ^,^k

et plus simplement déjà

C ^ G - H - A^ sn^o) \ ^ -f- I -^k\

les valeurs de A et B que je rappelle,

sn^sn^A — b) sii&sn[£> — ti]

donnant

sn'(rt — b]

Nous obtenons ensuite, en faisant usage de ces expressions,

-. r sn^ m /» (In A I r sx\n rn/7(tn/î"|

Lsnrisn(rt — b) sub j[^si\bsn[b — aj sua \

sn^cn/7cln<7 sn^cn^dn/^\ ct) a i]n rr cj) h an b