II. Il

On a d'ailleurs

I /snbcna dna sna cnb dnb\

sn(a — ^)\ sn'fl sn'^ /

^snacnbAnb -\- snbcna dnn\ fsn^b cnadna — %n*acnb dnbX

hn*a — sn^^

sn'/ï-+-sn'ô en a dna en h dnb

SD^asn'6 ^nasnb

et la valeur de H qui en résulte, à savoir

sn'(a — b] sn'fl sn*^

donne cette nouvelle réduction :

C = G- A^sn-co-f.

sn'(a — b]

C'est maintenant qu'il est nécessaire d'introduire les conditions 51 = o,

U = o, c'est-à-dire A rirV^^» B =-= 4rTT' Or, au moven des valeurs de A, de B et de 1 expression

r(x) e'jx-h^) __ E'(x) e^(ft>) .

= — A^sna?snoi)sn(a? -+-&)) h a,

on en tire

%^ 8n2> cn/idn/Z|» ^ v

A — C = 7 TT H H A'^snri sn&) snfa -f- w),

sna an(fl — b) sna ^ '

\ i^ sn^ cnbdnb .^ . ,. »

AH-C= — 7 — 7-r tH , — 4- A'snft snc«)sn(6 -f-<o).

snbsn\b — a) snb ^ '

Cela étant, une réduction qui se présente facilement donne

^ ^ QJibdnb sna ,. / . \

> — C H 7 — = — 7 — 7 TT 4- A:'snasn(<) snfa -f- co),

SB 6 sn 6 sn ( ^/ — b] ^ '

^ fy cnadna snb 19 i 11 \

A -h C H =: -7 r "H A sn6 SU ro sn ( 6 -f 00 ),

sna snasn\^b — a] ^ '

et nous pouvons écrire en conséquence

G = — î — r- — 77 4- k^ sn a sn w sn (a + o) )

[^SD6sn(a — b) ^ 'J

^ ri : ^- A-' sn 6 sn ûû sn ( A -h w ) •

Lsiifl sn[b — a) ^ ' \

«ika^

Je considérerai cette expression commeune fonction doublement périodique de «, ayant pour infinis simples w = i K' — a, w = /K' — ô et pour infini double o) = iK'. Elle présente cette circonstance que les résidus qui correspondent aux infinis simples sont nuls. En effet, des deux facteurs dont elle se compose, le premier s*évanouit en faisant o) = fK' — ^ et le second pour o) = iK'— a. Il en résulte que le résidu relatif au troisième pôle 0) == iK.' est également nul, de sorte qu'en décomposant en éléments simples on obtient

G = — Do,— 7^ 4- const. = A^ sn'co -h const

Posons^afin de déterminer la constante, ca = o; nous trouverons finalement

G = ^^ sn^w -, r-\^

et de là résulte, comme il importait essentiellement de le démontrer, que Téquation (£ = o est une conséquence des relations 51 = o et

La détermination des constantes o) et X s'effectue au moyen des deux équations

). — G = -, 77 H H A* snn sncosnfa -h co),

snasn[a — b] sna