X -^ G = — ï — n- - V H i h A' sn 6 sn ^1) sn ( 6 -h w j

snb$n[b — a) snb ^

que nous avons maintenant à traiter. En les retranchant et après une réduction qui s'offre facilement, elles donnent d*abord

A^sn w[snZ>sn(A -h oi) — snr/snf^ -f- (*>) J

STx a en rr âïi a -h snb en b dï) h ^,

— 2 — , , aC = o,

sn v/ — sn' o

et nousdémontrerons immédiatement, le premier membre étant une fonction doublement périodique, qu'on n'aura, dans le. rectangle des périodes 2K et atR', que deux valeurs pour l'inconnue. En effet, la fonction, qui au

premier abord parait avoir les trois pôles w = /R' — ri, w = iR'— A, ci) = tR', ne possède en réalité que les deux premiers, le résidu relalif au troisième, qui est un infini simple, étant nul, comme on le vérifie aisément. Ce point établi, nous donnerons, pour éviter des longueurs de calcid, une autre forme à Téquationi en employant l'identité suivante,

sn^ sn(A -f- w) -— sn/7sn(^z -f- oa)

= sn(^ — à) sn{a -h A -i- w i[i — k^ snn snb sn{n -+- cù) sn{b -h («>)J,

à laquelle je m'arrête un moment. Elle est la conséquence immédiate de la relation mémorable obtenue par Jacobi, dans un article intitulé Formulée novœ in iheoria iranscendentium elUpiicarum fundamentales [Journal de Crelle^ t. XV, p. 201), à savoir

r^ A*'^sn(w4- d)s\\[u 4- b)s\\(a-{- h)[i — ^^sn^^snr^sn&sn(^^ -f- n -^ h)].

Qu'on change en effet a en — a^ puis w en a + w, on aura

E(rt 4- &)) — E(a) -+- E(Z>) — E(6 4- w)

= A*sna)sn(6 — rt)su(a-+- /^ -f- w) [1 — - k^ st\asvïbsv\[a -H co)sn(6 4- w)]

et il suffit de remarquer que le premier membre, étant la différence des quantités E(a 4- w)— E(a) — E(w), E(A 4- w) — E(Z>)— E(co), peut être remplacé par /c^ snûi)[sn6 sn(6 4- w) — snasn(a 4- o))].

)) On y parvient encore d'une autre manière au moyen de la relation précédemment démontrée,

G = — -, — V- — r. -^ A^ sna sncosnf/? 4- w)

|sn&sn(a — b] ^ 'J

X ^T7 H ^'* Sn6snû)Sn(A 4- w) = A- Sn^W — —r-, rr»

Lsnasn(^ — a) ^ ^J sn'(a — 6)

car on en tire

sn ô sn (^ 4- w ) — sn rt sn (Z> n- w )

= sna)sn(6 — a)[\ — A'* snasn6sn(a 4- w) sn(6 4- w)],

ce qui donne la formule proposée en changeant a en — n, 6 en — Z> et w en 0) 4- a 4- A.

.^.^■MAl^^HliAM^ .

Cela posé, soit i^ = co H — ^ faisons aussi, pour abréger, a = -^^ i

]3 = — ; — ; nous trouverons, par cette formule,

snc()[sn6sn(Z^ i- o>) — snasn{a -h w)] = — sn 2 /3 sn (y 4- a) su (y — a j

X [1 — k^ sn(a H- /5)sn(a — p)sn(u -f- /3) sn(u — ]3)].

Or on voit que le second membre devient ainsi une fonction rationnelle desn^u; on peut, en outre, supprimer au numérateur et au dénominateur le facteur i — k^ sn^u sn^a, de sorte qu'il se réduit à l'expression

sn 2 ^ ( I — k^ sn* p ) ( sn' u — sn* a )

^ I ~ X ' sn^ a sn' fi j ( I — / ' sn'u sn* fi )

Remarquant encore que Ton a

sn2]3(i — k^ sn*|5) =^ 2sn]Scn/3dnj3, nous poserons, pour simplifier récriture,

- I — /*sn'asn'P /snizcnfldnrt H- sn^cnô dnô

" "" T^sn (i en p (in {J \ sn'tf — sn»^

et réquation en snu sera simplement

sn*u — sn*a

i — X*sn*vsn*p

On en tire

« sn*a — L , cn*a-{-dn'6L , . dn*a 4- X*cn*BL

sn^y= — -~» ciru = ,- — rj-— » dn'u = — -T-f-?

et, si Ton fait

f = (sn^a - L) (cn^a -f- dn^^^L) (dn^a 4- k^ cn^|3L) (1 - A^ sn^/SL),

ces valeurs donnent

snu cnu dni> =

Mous ferons usage de cette expression pour le calcul de X, qui nous reste à déterminer. A cet effet je reprends, pour les ajouter membre à membre, les équations

/ — C= ; TT H H A snasnw snfa 4- w),

sn//sn(a — à) sna ^ '

A 4- C= — 7 — n : 4 1 h A' snô snco sn(6 4- fo),

sn 6 sn 1 6 — tf ) sn 6 ^ '

( 86) et j'obtiens, comme on le voit facilement,

2X = A^[snasnGt> sn{a -h (0) -f- snésnco sn(A -f- co)j,

ou bien encore

2X — k^[sn{a -+- |3)sn(y — a)sn(u -h /5) 4- sn(a — j3) sn(u — a)sn(u — j3)J.

Maintenant, un calcul sans difficulté donne en premier lieu l'expres-

sion

snacnadnafsn'u — sn'Sl sn-jcnu dnvfsn'8 — sn'a)

A = ', r. — :: 7-7- t-t^ ttt 4-

(1 — X' sn'jsn'a) (I — A^sn»asn»p) (i — A'sii^usn^a) (1 — X'sn'v sn'p) '

on en conclut ensuite la valeur cherchée, à savoir

^ • X'snarnar dnorfsn'a — sn=p — f 1 — /{*sn*piL]

"" (i — X^sn'asn»p)[i — /»sn*a-f- /'(sn-'a — sn»p)L]

(i — X^sc^asn'p) [1 — /»sn^a-f- X'(so'a — sn'p) L] *

Cette expression devient illusoire lorsqu'on suppose d'abord

I — A:* sn*asn*]3 = o, c'est-à-dire a -f- |3 = a = iR' ou bien a — p^=b = iK%

puis en faisant

I — P sn*a -h A^(sn'a — sn'|3)L = o.

La première condition, ayant pourefFet de rendre infinis les coefficients de l'équation différentielle, doit être écartée; mais la seconde appelle l'attention, et je m'y arrêterai un moment, afin d'obtenir la nouvelle forme analytique que prend l'intégrale dans ce cas singulier.

Remarquons en premier lieu que cette condition se trouve en posant

, sn'a — L I Sn'u = 7z rrrr- = tt ->

i — X'sn'pL X»sn»a

c'est-à-dire u = a -h iK', et donne par conséquent w = iK'. Cela étant, je fais dans la solution de l'intégrale, qui est représentée par la formule

m \ ^ ^^" ' ^ ~ /K'4- e, £ étant infiniment petit, et je développe suivant les puissances croissantes de s la différence X r--r' Or l'exprès-

(87 ) 8ioD précédemment employée

2X = k^ [su a sn (s) sn {a -+- w) -4- snisnco sn{b -+- ta)]

donne facilement

^ I cnadna cn^dn^

& 2 sn a 2 sn ^

nous avons d'ailleurs

sn^a -f- sn^b

2sn(a 4- d)snasnb^

e'(») H'(«) /> i in

e(&>) "" H(s) "" 2K "" 7 "■ 2 K et l'on en conclut, pour £ = o, la limite finie

^ 0'(») '*f cnadna cnhdnb

0(w) 2K. 2sna 2 SB 6

— —(2ll-i-iK')

Remplaçant donc Q{u-\- iK') par iH{u)e 4^ , on voit qu'au lieu de

la fonction doublement périodique de seconde espèce nous obtenons l'ex-

( cnadna cn^dn^X 1 1 ft ^ ^*°'» asn^ / , qui devient ainsi une des solutions de Té-

quation différentielle. Nous parvenons à l'autre solution en employant, au

lieu de u = a -f- ïK', la valeur égale et de signe contraire y = — a — iK\

d'où l'on tire w = — 2a — iK' = — a — b — /K', et par conséquent

Des réductions qui s'offrent d'elles-mêmes en employant la formule

^'[a^b] __ HV) H^(^) snj6 cnhànb

B{£i-+- 6) "" H(fl) "^ H(^) snflsn(fl-f-6) sn6

donnent ensuite

0'(w) H'(«) fl'(^) CDfldna cïibùïïb i<û

e[(0») H(rtj H(6) isna 2snb 2K.

La seconde inrégrale devient donc

[ B'(a) W{à) cnaJna cn^dn^ l

et Ton voit que, pour le cas singulier considéré, la solution générale est représentée par la relation suivante :

/ cnadna ÇnftdnôX [ HH^») ^'W \

[ 2sna "^ 2»n6 J"__ p^ p,H(«-û-6) I H(«;"''H(^)J"

Un dernier point me reste maintenant à traiter; j'ai encore à montrer comment les équations différentielles obtenues aux §§ XVII et XVIII se tirent comme cas particulier de l'équation que nous venons de considérer, ou plutôt de celle qui en résulte si l'on change u en u -^ /K', à savoir,

;"— [k^snusnasi]{n — a) -h PsnwsnZ>sn(tt — b)]y'

H \Psnii suasn[u — a)

-h nPsnwsni su(u — b) -^ -7-^ — j-. — C^ r = o.

Je me fonde, à cet effet, sur ce que les deux déterminations de la

quantité y .= w -+- peuvent être supposées égales et de signes con-

traires, de sorte que, en désignant par « et w' les valeurs correspondantes de 0), on a la condition w -f- a)'= — a — 6. Qu*on se reporte maintenant aux expressions données au § XXV, p. 69) :

«-.... - - . . tt

On voit aisément que les quantités qui jouent le rôle des constantes eo et w' ont pour somme, successivement, K4- /K', /K', K. Cest, en effet, la conséquence des relations déjà remarquées :

0.{u 4- K) = a-OU.n)e~'à^""^''''\ 6,[n -+- R 4- /RM = ff"5,,,(«) e~ 'A ^"' "^ '"'^ D'après cela, je ferai successivement a + A = R -i- /R', /R', K; je po-

(89) serai en outre, en changeant d'inconnue dans ces divers cas,

-^DJogcn/i -^DJogsna -^D.logdna

y=zze ^ f ze ^ y ze ^

Or, en considérant , pour abréger, seulement le premier de ces cas, voici le calcul et le résultat auquel il conduit. La condition supposée A = K-m'K'— a donne d'abord

sn6=7 1 snftt — 6)= — ■; — -, r, snffl — 6)==-— ^ »

k cna ^ ' kcii\u-\-a] ^ ' Acn2a

et nous obtenons, pour la transformée en 2, l'équation suivante, z — A'" sn tt sn rt sn (1/ — /7 ) -r^ ^ z

L ^ ' cnflcn(i« -t-a) cna J

PA-* sn// snrt sn(w — fl) — Q ;— -. h R U = o,

^ * ^ cnacD(£/ -f- fl) J

on j'ai fait, pour abréger,

-. sn/7dn/i ^ sn/7dni7 sn'flrdn'/? X'cn'?./i ^j r = A > il = B , K = —7 — ; 1 J— ; y^ .

Soit maintenant

y = cd(w 4- fl)(i — A* sn'//sn'a)= cn^cuM — snadnasn^/dni^,

on trouvera d'abord que le coefficient de i est simplement D^Iogy = ^•

Représentons ensuite par -^Ic coefficient de r; au moyen de la formule élémentaire

, X , » sn fc en u dn /7 — ànu^wacx^a

nous obtiendrons

(Si = PA'snttsn<7(snwcni/dna — dnwsnacna)

(dne/dna — Ai'snwcnwsnacnrt)

-4- R(cnttcna — sni/dn^/sn^dna),

ou bien, en réunissant les termes semblables,

(B11 = (P -♦- Q)A^sna àxïa%v?ucïiu

— (PA^sn'tf cna 4-Q -^ +RsnAdnA|sn£/dn2/ -h Rcna cnf/.

\ ^ cna /

(90 ) Soil maintenant C = d » celte nouvelle forme de la constanfe

acna

donnera» après quelques réductions,

snacnaS^ -hcna{\ — ^k^sn^a)^ -h k^sn* adna j^ snadna snadnM

cn^a' — snadnao r-; — cna cn£<.

dn^2a J

Or, en faisant successivement a = o, puis a=^k^ on lire de là les équations

cuuz" — D„cnwz'— [k^sn^ucnu— snudnu^ -h ((?* — A*)cnw]2= o, snttdntts*— D^sni^dne/ 2'— [cnu8 -f- sniidnaî^Jz = o;

ce sont précisément les relations en X, et Y, des §§ XXV et XXVI, en supposant dans la première (^ = c^i et dans la seconde i = — y^.

Les fonctions doublement périodiques de seconde espèce avec un pôle simple, qu'on pourrait nommer unipolaires, donnent, comme nous l'avons vu, la solution découverte par Jacobi du problème de la rotation d'un corps autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a point de forces accélératrices. Ces mêmes quantités s'offrent encore dans une autre question mécanique importante, la recherche de la figure d'équilibre d'un ressort soumis à des forces quelconques, que je vais traiter succinctement. On sait que Binet a réussi le premier à ramener aux quadratures l'expression des coordonnées de 1 élastique, dans le cas le plus général où la courbe est à double courbure {Comptes rendus^ t. XVIII, p. 1 1 15, et t. XIX, p. i). Son analyse et ses résultats ont été immédiatement beaucoup simplifiés par Wantzel ('), et j'adopterai la marche de l'éminent géomètre en me propo-

(■) Wantzel, enlevé à la Science par une mort prématurée à Tâge de trente-sept ans, en 1849, ^ labsé d'excellents travaux, parmi lesquels un Mémoire extrêmement remarquable sur les nombres incommensu râbles , publié dans le Journal de l'École Poljrtechnique (t. XV, p. i5i]> et une Note sur Tintegration des équations de la courbe élastique k double courbure [Comptes rendus, t. XYIII, p. 1 197}.

(9» ) sant de conduire la question à son terme et d'obtenir explicitement les

coordonnées de la courbe en fonclion de l'arc. Mais d'abord je crois devoir

considérer le cas particulier où l'élastique est supposée plane et où Ton a,

en désignant Tare par s {Mécanique de Poisson, t. I, p. 698 ),

Soit alors

on obtient facilement

as =

de sorte qu'on peut prendre X = sn l -U Sq étant une constante arbitraire. Mais il est préférable de faire X = sn f -h K J ; nous parviendrons ainsi à des expressions mieux appropriées au cas important qui a été considéré par Poisson^ où c est supposé une ligne dont la longueur est très grande par rapport k a^ s et x. Eu premier lieu, les formules

cn(z + K)=-*5^^, 4»=--^ donnent, pour Tabscisse,

Tn:^ ™ ihr)

*' dn

La valeur de l'ordonnée, à savoir ac*/ =f{2ax - x') ils = jW - (ac» + a») en» (^^ + k)] t/i, t'obtient ensuite immédiatement en employant la relation

r A»cn«(z -4- K)r/= = k'*z + D, log Al(z),.

Or ces formules conduisent comme il suit aux développements de x et / suivant les puissances décroissantes de c. J'emploie à cet effet la série

snz __ /^— r» 5 1 — i6/»X" 5

dnz b 120

et je remarque qu'en désignant par F^, (i) le coefficient de z****"', qui est un

(9^) polynôme de degré n en k^^ on a la relation suivante :

Nous en concluons facilement pour n pair l'expression

F„{k) = «0 + a, (M')» -f- a,{kify +...+ ol, ^{kk'j", et pour n impair,

F„(*) = (*«-A'»)p. + ^,(M')'+.. +Pj^(ArA')"-'-|.

Cela étant, les formules

kn'^=\-4z et k^~k:^=—,

4 IDC* 1C*

montrent que le terme général Ffl(i)z^'*"*'', qui est de Tordre -—-^y lorsqu'on remplace z par "" -» devient, si Ton suppose n impair, de l'ordre -^^- Nous pourrons donc écrire, en négligeant - dans la parenthèse,

Remplaçons enfin le facteur v^^ ^ ^ p^p i , et prenons SQ = a\ il viendra, avec le même ordre d'approximation,

x = s :; r3(jr— a)*— \oa^[s — a)^-^ iSri*].

I^ développement de c^jr résulte ensuite de l'équation

mettant au lieu de 2 et déterminant la constante amenée par Tinté-

gration de manière qu'on ait j^ = o pour ^ = a, on en tire, par un calcul facile.

Le second membre, dans cette expression de l'ordonnée, est exact aux termes près de Tordre ~9 comme la valeur trouvée pour l'abscisse.

Les équations différentielles de l'élastique, dans le cas le plus général où la courbe est à double courbure, se ramènent par un choix convenable de coordonnées, comme l'a remarqué Wantzel, à la forme suivante,

z'x" — z"af = uf — ^Xy x'j" -- x"y'= a 2' -4- 7,

où x\ y ^ z\ x'\ y'\ z" désignent les dérivées par rapport à Tare s de 07» y^ z et a, /3, 7 des constantes dont les deux premières sont essentiellement positives.

Cela étant, j'observerai en premier lieu que, si on les ajoute après les avoir multipliées respectivement, d'abord par x\ f ^ z\ puis par x"^y\ z'\

on obtient

a(^'^4- /' + z'^) 4- ^{x'y — xf) -h ya' = o,

a(a7'a?"-h jy -4- tIz") + ^{x"y — xf) 4- 72" = o. Or la première de ces relations donne, par la différentiation,

aa(^'^''4-7'y-hz'z")-+- ^{x"y — 07") + 72^ = 0;

nous avons donc

x'x" -h ff 4- s'z" = o, d'où

xf^ H-y* -h z'* = const.,

et Ton voit que, en prenant la constante égale à l'unité, on satisfera à la condition que l'arc s soit, comme on Ta admis, la variable indépendante.

Cela posé, et après avoir écrit les équations précédentes de cette manière,

|3 {xf — x'j) = yz' H- a, j3 [xjr" — x'jr) = 7 z^^ j'en déduis

mais le premier membre, étant écrit ainsi,

/3[(/z" ^rz^)x H- (zV - z-'o;')/], se réduit à

(94 ) de sorte que nous avons

puis par l'intégration, en désignant par d une constante arbitraire,

Soit maintenant 2*= Ç; nous remplacerons le système des équations à

intégrer par celles-ci :

Or l'identité

{x' -H r')(x'* ■+- / *) = {xx' + //)' -*- {xf - x'xf donne en premier lieu

et Ton trouve ensuite facilement

ces résultats obtenus, les expressions des coordonnées en fonction de Tare s'en déduisent comme il suit.

Soient a, b^ c les racines de Téquation

ap(Ç-î)(i-Ç»)-(7Ç + «)»=o.

de sorte qu'on ait

Désignons aussi par Ço une des valeurs de Ç, qu'on doit, d'après la condition jc'* -h j'* 4- Ç'= I , supposer comprise entre H- 1 et — i . Le facteur |3 étant positif, comme nous l'avons dit, le polynôme ^^(Ç— /2)(Ç— /?)(Ç— c) sera négatif en faisant Ç = Ço- Mais il prend pour Ç= -hi et Ç= — i les valeurs positives (7 H- a)' et (7 — a)*; par conséquent, les racines a, A, c sont réelles, et, si on les suppose rangées par ordre décroissant de grandeur, a sera compris entre H- i et Ço» ^ entre Ço et — i, et c entre — i et — qo . Remarquons aussi que, ayant pour 2=: Ç un résultat positif, il est nécessaire que cette constante d soit supérieure à a ou comprise entre b et c. Mais la relation Jc'-f-7'= 2(Ç — d) montre que la seconde hypothèse est seule

(95) possible, car dans la première x^-hjr^ serait négatif. Cela posé, pui^ue Ç a pour limites a et by nous ferons

soit encore

A«=izu^, k'*=Lzf,

on aura

(Ç-a)(Ç-*)(Ç-c)=-(a-A)»(a-c)U»(i-U»)(i-A»U»). et de Téquation

r=-2p(ç-fl)(ç-6)(ç-6)

nous conclurons

Faisons donc /i = i/^ — —\ puis, en désignant par Sq une constante

u = n{s — s^)f on aura

D = sntt, Ç = a— (a— 6)sn*tt, et par conséquent

Zq étant la valeur arbitraire de z pour 2^ = 0.

Considérons, pour obtenir la valeur de 07+1/, Texpression

(r-^'t\ ^ ^"^ ^^ représente la dérivée logarithmique. C'est une fonction

doublement périodique de la variable i/, ayant pour pôles, d'une part u = iK' et de l'autre les racines de l'équation Ç — c? = o. Mais des deux solutions u =±(ù qu'on en tire, une seule est en effet un pôle, comme le paontre la relation Ç'*-+-(7Ç -4- a)'= 2p(Ç ~ î)(i ~ Ç^), d'où l'on déduit

en faisant Ç = d. Il en résulte que, si nous prenons pour i^ = co la valeur Ç'= -f- /(vJ-h a), on aura Ç'= — /(yJ + a) pour m= — cj, la dérivée changeant de signe avec la variable. £n même temps on voit que le résidu de la fonction qui correspond ou pôle e/ = &> est +n; le résidu relatif à l'autre pôle 2/ = iK' est donc — 71 et, par la décomposition eu éléments simples, nous obtenons

(C — d) /iL e{«) "^ U(a- »)J

(96) La constante X se détermine en supposant u = o ou !^ = a, ce qui donne immédiatement

* in{ay-hoL] H'(6))

et Texpression cherchée se conclut de la relation

au moyen d'une fonction doublement périodique de seconde espèce :

Dans cette formule, o^o et ^^ désignent les valeurs que prennent a? et 7* pour u = o'j elles sont liées par l'équation

et ne contiennent, par conséquent, qu'uneseule indéterminée. En y joignant les constantes jZq, Sq et $, on a donc quatre quantités arbitraires dans l'expression générale des coordonnées de l'élastique. A l'égard de $» nous avons vu que sa valeur doit rester comprise entre b et c; de là résulte que sn'o,

déterminé par la formule sn'û) = ^ , > a pour limites i et 75 • On peut

écrire par suite w = K h- /u, u étant réel, et poser

Changeons / en — 1, ce qui change X en — X, on aura

et ces relations, jointes à celle qui a été précédemment obtenue, à savoir :

donnent la solution complète de la question proposée.

F.es expressions des rnyons de courbure et de torsion, R et r, se calculent facilement,' sans quM soit besoin d'employer les valeurs des coordonnées, et comme conséquence immédiate des équations différentielles

On trouve, en effet, après les réductions qui s'offrent d'elles-mêmes,

puis

(ax'+ |3/)^-l- (a/- /3:r)^-f- (az'-h 7)^

2 |3(Ç -(?) 4- 7^- a»=2p[a -(?-(«- 6) sn^w]-+- 7^ --a^

= a/3(Ç-î)-/3(ac^.^7)^-a(7^-a^),

et, par conséquent,

Cette expression du rayon de torsion conduit naturellement à envisager le cas particulier où elle devient indépendante de Ç et a la valeur cou-

stante r = -• La condition à remplir à cet effet étant

je remarque que, en< remplaçant l'indéterminée Ç par —-9 dans Tégalilé

2p(Ç J)(,Ç«)(yÇ+«)«=2^(Ç-a)(Ç-A)(Ç-6'), le résultat peut s'écrire ainsi :

(7'— a^)[2P(ac^H-7)— a(7*— a^)] = 2/3(74- aa){y -^ ba ) {-^ -h c a)^

- - • Mais

par où Ton voit que l'une des racines a^ b, c est alors égale à notre condition donne

ainsi Ton doit poser

cfH ^ = a^b ou Cj

et voici la conséquence remarquable qui résulle de là. Nous avons trouvé tout à rheure

ou plutôt

i. = 2/3(fl-$-^')-2r5(«-ft)sn««;

or cette expression montre que le premier cas, où Ton suppose

doit être rejeté, comme conduisant à une valeur négative pour R^. Mais les deux autres peuvent avoir lieu et donnent successivement, en employant

la valeur du module A' =

^, = 2|5(rt — /;)cn-//, ~ = 2|5(fl-c)dn^«.

Le rayon de courbure devient donc, comme les coordonnées elles* mêmes, une fonction uniforme de l'arc, en même temps que le rayon de torsion prend une valeur constante. Ces circonstances remarquables me semblent appeler l'attention sur la courbe qui les présente, mais ce serait trop m'étendre d'essayer d'en suivre les conséquences et je reviens à mon objet principal, en donnant une dernière remarque sur la formation des équations linéaires d'ordre quelconque dont les intégrales sont des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, unipolaires ( V •

(') On doit ù M. de Saint- Venant un travail important sur les flexions considérables des verges élastiques, c|ue réininent géomètre a publié dans le Journal de Mathématiques de M. Liouville (l. IX, i844j> ^^ auquel je dois renvoyer; je citerai aussi, sur la même question, un Mémoire récemment publié par M. Adolph Steen, sous le titre : Der clastike Aun'Cy og (Ivns anvcndeise i bojningsthvoricn, Copenhague, 1B79.

Soir, comme an § XXX (p. 79). /(«)= îî!^^^^ «[*--] "; dési-

gnons par /(//) ce que devient cette fonction quand on y remplace les quantités o), X par co/, X,-, nommons enfin jui/ et ii\ ses multiplicateurs. Si Ton pose

IVqualion différentielle linéaire d*ordre /i, admettant cette expression analytique pour intégrale, se présente sous la forme suivante :

y /» A» .-. Min)

r /M y;'» • • Jn»

D*après cela, j'observe que, le déterminant étant mis sous la forme

a),(w)7-"-ha),(a)r''*-^...-4-<i)„(w)7,

les coefficients ^i{u) sont des fonctions de seconde espèce, aux multiplicateurs fJLifjLa ,. .|x^, fjLiU.',. ..|x'„, ayant le pôle w = o, avec Tordre de multiplicité /i + i, sauf le premier 4>o(2^)i où Tordre de multiplicité est n, C*est ce que Ton voit immédiatement en retranchant la seconde colonne du déterminant de celles qui suivent, attendu que les (lifférencesy2(M) —J][u), Ji{^)—J\{u)^ . . . , ainsi que leurs dérivées, ne sont plus infinies pour w = o. Nous pouvons donc poser, comme je Tai fait voir ailleurs {Sur Vinlégni" tion de r équation différenlielle de Lamé, dans le Journal de M. Borclwrdty t. LXXXlX,p. 10),

G.H> — n.) H (// — /?,). . H(m — /ije*.*

H" f II

les quantités Go,g[o9^{ étant des constantes, puis d'une manière semblable, pour les coefficients suivants :

Il en résulte qu'en décomposant en éléments simples les quotients—-^

( loo ) qui sont des fondions doubh ment périodiques de première espèce, on aura

avec la condition

A o —^ — { A. I "T" Aj "4" . . "T~ A ;i ) •

C'est donc la généralisation du résultat trouvé au § XXI (p. 106) pour les équations du second ordre, et il est clair qu'on peut encore écrire

*W(") ^^ . , A,sn/7, Aasn^i, A,sn/7„

— — - = const. -f- -f" H"" • • • "H •

<I>o(fl) * snasn(ii — fl,) sni^sn[tf — a^) snusn(u — un]

La détermination des constantes A|, A 2, . . . , qui entrent dans ces expressions des coefficients de Téquation linéaire, par la condition que les solutions soient des fonctions uniformes, est une question difficile et importante, que je n'ai pas abordée au delà du cas le plus simple de n= 2; je me borne à donner la forme analytique générale de ces coefficients et à observer que, chacune des fonctionsy/( w) contenant deux arbitraires, l'équation différentielle en renferme en tout 2/1. Les remarques que j'ai à présenter ont un autre objet, comme on va le voir. Je me suis attaché à cette circonstance que présente l'équation de Lamé, /'= (2A* sn^w-f- A);^, de ne contenir aucun point à apparence singulière; elle m'a parudonr>er l'indication d'un type spécial, à distinguer et à caractériser, de manière qu'on ait ses analogues, si je puis dire, pour un ordre quelconque. Introduisons donc la condition $0 (£<)=: const. pour amener la disparition des points à apparence singulière 1/ = ^i, a,, . . . , a„, et posons, à cet effet, les /i + i

conditions

rti=o, ^2 = 0, ..., /ï„ = o, go = o.

» J'observerai, en premier lieu, que, dans ce type particulier d'équations, le nombre des arbitraires se trouve réduit à 2/1 — (n -f- i), c'est-à-dire à /2 — 1 . Je remarque ensuite que, les fonctions 0/(w) ayant toutes les mêmes multiplicateurs, ces multiplicateurs seront nécessairement l'unité, puisque l'une d'elles, Oo(")» est une constante. C'est dire qu'elles deviennent des fonctions doublement périodiques de première espèce, ayant pour pôle unique u = o^ avec l'ordre de multiplicité maximum /z + i . Nous avons, par conséquent, l'expression

que la considération suivante va nous permettre encore de simplifier.

( lor ) Et, d'abord, il résulte des expressions de $o(") ^^ ^i(«)> sous forme de déterminants, qu'on a, en général,

O.(/0 = -D„<&o(«). La condition ^o{u) = const. donne donc

et Ton voit qne Téquation d'ordre n, analogue à celle de Lamé, a la forme

Je ferai maintenant un nouveau pas en appliquant l'un des beaux théorèmes donnés par M. Fuchs, à savoir que le point singulier effectif u = o doit être, dans le coefficient ^/(w), un pôle dont l'ordre de multiplicité ne dépasse pas /, pour que l'intégrale de l'équation différentielle soit une fonction uniforme de la variable. On a, en conséquence, les expressions suivantes des coefficients, en remplaçant u par w-h/K', afin de nous rapprocher autant que possible de l'équation de Lamé :

$3(1/) = j3^-|- j3^ sn^w-h/SaD^su^tt,

0^(m) =^0 4-7, sn^w4- 72D„sn^w-h y,D^sn*w,

La question de déterminer les constantes «o, a,, ..., de manière à réaliser complètement la condition que l'intégrale soit une fonction uniforme, offre, comme on le voit, beaucoup d'intérêt. Elle a fait le sujet des recherches d'un jeune géomètre du talent le plus distingué, M. Mittag- Leffler, professeur à l'Université d'Helsingfors, et je vais exposer les résultats auxquels il est parvenu.

Considérons en premier lieu les équations du troisième ordre, que nous savons devoir contenir deux constantes arbitraires. Elles présentent deux types distincts, et l'un d'eux, découvert antérieurement par M. Picard, a offert le premier et mémorable exemple de l'intégration au moyen des fonctions elliptiques d'une équation différentielle d'ordre supérieur au

second (*). C'est Téquation

à laquelle on satisfait de la manière suivante. Soit

^H(^^±^) [;-lg;i«

et posons, comme au § V (p. i3)

iî =/r'sn*w g — j

12,=:^^snci> cncodnoj.

na=A'sn*w— -, 'sn'o) — -^ 77 — '—

de sorte que Ton ait, pour u = /R'-f- £,

C désignant un facteur constant. Les quantités o>) et X se déterminent an moyen des relations

3(X^ - fi) -f- a - a ( I -f-)fc^) = o,

2X»-6)i2 — 4iî,-/3 = o.

et il a été démontré par M. Picard qu'elles admettent trois systèmes de solutions, d'où se tirent trois intégrales particulières et par conséquent l'intégrale complète de l'équation considérée.

Le second type qu'il faut joindre au précédent pour avoir, dans le ^ troisième ordre^ toutes les équations analogues à celle de T^amé, est

^'^-h (a — 3 A* sn^f/)^'-f-(/3 -4- yk^ sn'i/ — 3A^ sn 11 en « dn^)?^ = o,

avec la condition

Il présente cette circonstance bien remarquable que, dans les trois intégrales particulières, la constante X a la même valeur, à savoir : X= — ^*

(*) Sur une classe adéquations différentielles [Comptes rendus ^ t. XC, p. 128;.

( i"3 ) Cela étant, s) s'obtient par la relation

aX' — ). ( 3îî — I - A^) - 12, - /i = o.

En passant maintenant au quatrième ordre, on obtient quatre équations A, B, C, D avec trois constantes arbitraires^ et pour chacune d'elles les constantes u et X se déterminent ainsi que je vais Tindiquer.

r'^-l-(a — i2A^sn^//)/'-+-/3j'-l-(7H-JA'^sn^w)7=o,

avec la condition

aa — 8(i4-A:')-f- J = o,

Les relations entre o) et X sont

/iX^ — X(i2i2 4-î)-8iî,-f-/3 = o, i8X*- 3X^(3612 4- 7) — i44Xiî|-54i2j-3în

7*^4- (a — 8A* sn^//)7'"-H(/3-f-7A*sn*tt — 8A:^snttcnttdnw)/'

-+-(5-l-6A:^sn^w — 7P sni^cni/dni/JT* = o, sous les conditions

4ê = 7^, ya-i-8y(a— 2 — 2A1*) H- i6|3 = 0.

On a ensuite

48(X^- Q) -H 1 2X7-1- 24a 4- 37^ -~ 64(i 4- )fc') = o,

1 2t)X* — 720X^12 — 96oX(2| — 36oî22— 6o(X* — 3Xî2 — 2l2|)7 -i5(X*— û)7'-i2oJ— io(i4-A^)7*4-64(i — >t»4-A')=o.

j*^4-(a — 6A:*sn^w)7-''4-(jS — i2A:^snttcnwdnii)7-'4- (74- $k^sn^u)x = o^

avec la relation

I^s équations en o et X sont

( io4 )

7^^4-(a — 4A^sn*w)y'-f-(|3 4-7^^sn*tt — 8A:* snwcnttdni/)^-'

{â -h ik^ sn^ u — Sk*sn*u -hyk^ suucnudnu)^ =o. On a entre les constantes les deux conditions

4/3-f-7[£--4(i-HA-^)j=o.

Ce dernier cas présente un second exemple de la circonstance remarquable qui s*est offerte dans l'une des équations du troisième ordre, la quantité X ayant dans toutes les intégrales particulières la même valeur, à

savoir 1 = — ^•LVqualion en w est ensuite

9oX*-i5(X--Û)[3f~8(n-A»)]-.36oX^fi-.36oXfi, — goÛj — goc^— 3o£(i -f- A^)h- i6(ii -4- 4*^H- nk*) = o.

Les recherches dont je viens d'énoncer succinctement les premiers résultats ont été étendues par M. Mittag-Leffler aux équations linéaires d'ordre quelconque, dans un travail qui paraîtra prochainement. Il sera ainsi établi que la théorie des fonctions elliptiques conduit aux premiers types généraux, après celui des équations à coefficients constants, dont la solution est connue sous forme explicite, l/équation de Lamé

ayant été l'origine et le point de départ de ces recherches, doit d'autant plus appeler notre attention, et j'y reviens pour aborder un second cas, celui de ?i= a, en me proposant d'en faire l'application à la théorie du pendule. Je traiterai ce cas par une méthode spéciale que j'expose avant d'arriver au cas général où le nombre n est quelconque, afin de réunir divers points de vue sous lesquels peut être traitée la même question. Reprenons à cet effet l'équation considérée au § XXX (p. 79) et dont nous avons obtenu la solution complète, à savoir :

r Asna Bsn6 i ^J\

-*" ? \ ^ ? T\ -« Ti 1 — C^ r = O.

l^sniisn[« — a] sniisn(«— 6) sn'(a — b y

l io5 ) Soii II =: .V "h iK\ et changeons aussi a ei b en a -h iK'el h -f- iK\ (Je sorte que les constantes A et B deviennent

LVquation prendra la forme suivante :

"'-' I sii//sn(j: — il] snosn(.r — b) \ «^

r A sn.r R sn r i ^ . |

-•- \ • — I — ■ n -< — Ti 77 — ^' \y = ^>

|bUtfsn(jr — a) su 6 su (x — /> ' sn'(r/ — b] \^

et aura pour solution la fonction de seconde espèce

les quantités o) et X étant déterminées maintenant par les conditions

» , sn// rnadn^ snw

sn/'sQ(a — b] sn« sn/2sn(a -r-o))

^ ,, . sn^ cïih^wh snw

sn^/sn[/> — rt) sn^ sn6sn(^ -{- o)]

Cela posé, considérons le cas où A = — a; on trouve aisément, en chassant le dénominateur sn^o? — sn^<7, Téquation

(sn-.r — sn^a)D| j — 2 sn^cna7dna:D^j*

-h sirx -h — C^ (sn^it; — sr»^^) r = o.

I sna \sn^2fl /^ ' J ^

Particularisons encore davantage et, observant qu'on a

sn2a

faisons disparaître le terme en sn^ j? dans le coefficient de x, ^" posant