cnai\na r
sua sn2.a
Ce coefficient se réduiî^ant à une constante, l'équation précédente devient
(sn-o? — sn'-a)D^/ — 2sua:cna?dna7Dj.7"
2['ik''S\)^a — 2(1 -hP)sir-ri -H ij/ = o.
( 'o6) Soit donc, pour un moment,
^[x) = sn'jc — sn-a;
on voit qu'on peut l'écrire ainsi :
et Ton en conclut, par la différent ialion,
Ce résultat remarquable donne, en remplaçant D^y par z,
c'est précisément Téquation de Lamé dans le cas de ^z = 2, la constante qui y figure étant h = 6A- sn'a — 4 -" 4^*- Nous n'avons donc plus, pour parvenir à notre but, qu'à former l'intégrale de l'équation en ^, c'est-à-dire à déterminer les quantités cj et X au moyen des équations rappelées plus
haut. Iqtroduisons,àceteffet, lesconditions6 = — a, C =
7 en a an rf i
snn sn?.fi '
on en tirera successivement, en les retranchant et les ajoutant,
sn'w sn'a('2X^sn'rt — i — /')
sn^a — sn'w cn'û dn'«
^ sn&> cncd dn(k> sn « — sn'w
De là nous concluons d'abord, pouro), les expressions suivantes :
„ sn* a { 1 A^ sn"* a — i — /•»)
sn'^O) = r ■ 9
6A^SQ*a — 2 ( I -h A^ ) sa* a -f- i
2 cn*a{iA-^ sn'/i — i)
en W = — 5-7T ; j-T ; î
3 A* sn* a — 2(1-1- /-^ ) sn*tf h- i
. 2 iWa(isn^a — i)
" ^ ~ " 3X' ân*fl — 2 (iH- k')^n^a -+- 1 '
Ou a ensuite
^2 sn^'wcn'&xln'w (2/'sn'fl — i — X*)(2X^sn'</ — i] (2sn'rt — 1)
(in'w — sn^w)* ZA'sn*a — 2(1 -h X')î»n^« -i- i
et l'on voit que les constantes sn^w et X^ sont des fonctions rationnelles de sn^a ou de //. Nous remarquerons en même temps que, snca et, par conséquent, co ayant deux déterminations égales et de signes con-
traires, le signe de X est donné par celui de w, en vertu de la relation A = — ; — • Aucune ambig;uite ne s onre donc dans la formule
snV/ — sn'w "
nf ^ r 0'(w)i TT/ \ r «'(w)l r z=C , , el e(û.)J -f-C —^ e L t)(w)J ,
et Ton en conclut, pour l'intégrale de Téquation de Lamé
Texpression
Voici les remarques auxquelles elle donne lieu.
Nous allons supposer nulle ou infinie la quantité X, en nous proposant d'étudier les circonstances qu'offre alors la solution de l'équation différentielle.
Et d'abord, on voit, par l'expression de X*, que le premier cas a lieu en posant les conditions
2k^su^a — I — P= o,
^k^ sn^a — I = o,
2sn^rt — I = o,
qui donnent successivement snw = o, cnw = o, dnc«) = o. Les valeurs de 0) qui en résultent, à savoir, = 0, û) = K, c«) = K-i- /K', conduisent aux solutions considérées par Lamé, qui sont des fonctions doublement périodiques de la variable, avec la périodicité caractéristique de snx, cnoT, dno?. Nous avons, en effet, pour co = o et w = K : ^^D^snx, ^==:D^cnx. Il suffit ensuite d'employer les relations
— (a-r-hiK'
e'(K-4-/K') __ /TT pour conclure de la valeur w = R -h /K' l'expression j' = D^dn x,
( io8 ) Supposons maintenant X inBni, et soil à cet effet
3P>n*a — 2{i -h k'^) su^n 4-1 = 0;
en désignant une solution de cette équation par « = a, je ferai a = a -+- yj, 0) =/K'-i- £, les quantités >7 et s étant infiniment petites. D'après la relation
2 sn*rt(?.A-^sn*fl — 1 — /*)
3/i*sn*^ — 9.(1 -h /i*)sii*rt -h 1 '
on voit d'abord qu'on aura, en développant en série,
p^ Y étant des constantes. Cela étant, nous développerons aussi X suivant les puissances croissantes des, au moyen de l'expression
^ snfl>>cno)dn&> cnsdne 1
&ii*rt — sn*w sue I — X*sn*(« -+- JC isn*«
Or, ayant
vns (Inc I I -f- /^
SPC £ 3
-; ; ; ^ = I "h Xt^M)^ « . Ê*' -|- ..,
I — A-sir (a -+- >3 jsirc
on en conclut
Employons maintenant l'équation nous obtenons cette expression, qui est finie, pour s = o, à savoir
:^:rin = -7: -f- U" ^n-* a — - j £
Enfin^ je remplace, dans la solution de l'équation différentielle, la quantité H (a: -+- /K -h g) par
/0(.r -h î)e ^^ il viendra ainsi
( >09 ) en faisant, pour abréger,
•' — -^ Ik'siï^oL — — j .r.
Or, en développant suivant les puissances de 6, on obtient, si l'on se borne aux deux premiers termes.
il suffira donc de remplacer la constante arbitraire C |>ar -, pour avoir la liuîite cbercliée, lorsqu'on pose £ = o. Nous trouvons ainsi
où 1.1 constante sn^a e>t dôlermiiu»e par Téquafion
3/i^ >u*a — 2(1 -h A*^jsn*a -4- 1 =: o.
Ces deux solutions de Téquation différentielle, réunies à celles qui ont été obtenues précédemment, complètent Tenhcmble des cinq solutions de Lamé, qui sont des fonctions doublement périodiques, ces deux dernières ayant, comme on voit, la périodicité de sn^x.
La tiiéorie du pendule conique ou du mouvement d'un point pesant sur une spbère conduit à une application immédiate de l'équation qui vient de nous occuper. C'est M. ïissol qui a le premier traité cette question importante, par une analyse semblable à celle de Jacobi dans le [)roblème ile la rotation, et donné explicitement, en fonction du temps, les coordonnées du point mobile [Tlicse de Mécanique^ Journal de M. Lionvillej t. XVII, p. 88). tn ôuivant une autre marcbe, nous trouvons une autre forme analytique de la solution que j*ai indiquée, sans démonstration, dans une Lettre adressée à M. H. Gyidén et publiée dans le Journal de Borchardty t. 85, p. 246. Ces résultats s'établissent de la manière suivante.
Soient Jf ,y, z les coordonnées rectangulaires d'un point pesant, assujetti à rester sur une sphère de rayon égal à Tunité; les équations du mou-
