MO

veraent, si Ton désigne par g la pesanteur et N la force accélératrice, seront (* )

-- -f- Nr = o,

Elles donnent d'abord, comme on sait, en désignant par c et / des constantes :

fix dy ,

' fit f/t

Cela étant, j'emploie la combinaison suivante :

, . ,/dr 'dr\ dr dy ./ dx dy\ dz .,

et je remarque que le carré du module du premier membre,

s'exprime par

de sorte qu'on obtient, en l'égalant au carré du module du second membre,

ou bien

^;)'=2g(z-Hc)(.-z^)-/».

La variable z étant déterminée par cette relation, une première métbode pour obtenir les deux autres coordonnées consiste à diviser membre à

(*) Traité de Mécanique de Poisson, t. I, p. 386.

membre les équations

. . . I (l.r . dr\ riz ,

On obtient facilement ainsi les expressions qui conduisent aux résultats de M. Tissot, à savoir :

puis, en changeant / en — /,

/zdz-^ildt I— =«

Mais j'opérerai différemment; je déduis d'abord des équationsdifférentielles, et les ajoutant après les avoir multipliées respectivement par x, y, z,

dl^ ^ dt^ dt* O '

puis de l'équation de la sphère, différentiée deux fois,

d'-x d'y d^z ida-y [dry idzy

!Nous avons donc

et, par conséquent,

d^ l /r -f- îy )

or on est ainsi amené à l'équation de Lamé, dans le cas de n = 2, comme nous allons le voir.

Formons pour cela l'expression dez, et soit à cet effet

ag{z -+- c)(i - z-)- l'' = -ig{z - a)[z - /3)(2 - 7),

ce qui donne les relations suivantes :

a -h]S -4-y =— c, a/3 -h jSy -h 7a = — 1 ,

On sait que les racines a, |3, 7 sont nécessairement réelles, et qu'en les

rangeant par ordre décroissant de grandeur a sera positive, |3 positive ou négative, et toutes deux moindres en valeur absolue queTunilé, tandis que Y sera négative et supérieure à l'unité en valeur absolue. Soit donc

éTl^-— 7;

on aura

2 = a — (a — j5) sn^(w, A-\

/o étant une constante elle coefficient n étant pris positivement. Introduisons maintenant la variable u dans Téquation du second ordre, elle deviendra

D?.(-^-+ '» = 5l3(« - ,'5)sn^« - ;ia ^ ïc] (.r + iy) et, en simplifiant,

D^(x -^ /» = (6>t'sn^// - 2 ^"^^7^^^ ) (.r 4- //).

C'est donc Téquation de Lamé dont nous avons donné la solution complète au moyen de deux fonctions doublement périodiques de seconde espèce à multiplicateurs réciproques. Or une seule de ces fonctions doit figurer dans l'expression de j^ -h (7*, comme le montre la formule obtenue tout à l'heure

par conséquent, nous pouvons immédiatement écrire

X 4- i r = CD» — — - e^ ""' '

ou, sous une autre forme, en modifiant la constante aibitraire.

maintenant il nous faut déterminer cette constante, ainsi que les quantités &) et X.

XLIT Efi posant la condition

et employant Tcxpression du module A'^= *-, on trouve d'abord

sira = —

De là se tirent ensuite» après quelques' réductions faciles où Ton fera usage de la relation

les formules suivantes :

su' r^ =z

a -fi

5^2 ^ (a-hS1(.5-4-7)(y4-a)

G^la étant, nous remarquerons en premier lieu que, d'après les limites entre lesquelles sont comprises les quantités a, |3, 7, on obtient pour sn-co et dn^o) des valeurs positives, tandis que cn^w est négatif. Il en résulte que sn^û) est plus grand quePunité et moindre que 7^» de sorte qu'on

doit supposer

j étant réel et donné par ces expressions