X -f- // = kV\u

et, par conséquent,

Nous supposerons 1/ = o, ce qui donne 2 = a, dans Téquation

JC'-^y^-i- z^=\', il viendra ainsi

AA,F(o)F'j(o)= I - a\ ou encore, au moyen de la condition a/S -4- /3y -h yd — — 1 ,

AA.F(o)F',(o)=-(a-HP)(a-h7).

J'emploie maintenanr, pour y faire u = o, la relation

on en tire d'abord

F'(o) cnfi>>dn&) »

t'^oj snw

puis, au moyen de la valeur donnée précédemment deX,

' — r = r-i-snwcnwdnw = 1 i r-^sn-'w)*

r^o; snw apy snw \ apy /

et enfin

F'(o) cnb>dn&)

F(o) pysnw

comme conséquence de la formule

sirw = ^^'- — '-■ \

mais l'expression de F(//) donne immédiatement

^ ^ e(o)0(w) et nous en concluons l'expression cherchée, à savoir

^w V Acnwdnw

Clhangeons enfin 1 en — /; la constante « = :i: K -h tj deviendra

co'=dbK-iu; on a donc

snûti' = snw, cncj'dncd)' = — cnwdnco,

et par suite

("6) De cette eipression nous tirons

AA, = (a-7)% de sorte qu'on peut écrire

9 désignant un angle arbitraire.

Ce point établi, je reprends l'équation

qui devient, si l'on introduit, au lieu de /, la variable £/,

et j'y fais m == o. En remarquant qu'alors — s'évanouit, on trouve

(«-Vj»F'fo)r.^o ='^.

ce qui nous mène à chercher la valeur de F*, o . Pour cela, je déduis de la relation employée tout à l'heure

la suivante :

A**sn'i/,

F «^ Pftf) sn» « -f-»»^

et j'en tire d'abord

F' o r*(o' ^ I rn'wcln»^ i

F o) "~ F*;o) ~~ sd'm "" p*7*sn*»» ~~ sd»»»'

puis, après une réduction facile et au moyen de la valeur obtenue pour Fro\

Cette expression restant la même lorsqu'on change / en — /, nous pouvons écrire

( 117 ) ef, comme on a déjà trouvé

nous en concluons

et, en employant la valeur de A*, l'équation suivante :

Si ou se rapproche maiulenant de la relation déjà donnée

^ ('/ — 61 sno) cnw flnw

OU trouve immédiatement

c'est le résultat quej*ai principalement en vue d'obtenir, afin d'avoir la détermination précise de la constante X, qui n'était encore connue qu'au signe près.

En dernier lieu, et à l'égard de w,on remarquera que la fonction F{^) change seulement de signe ou se reproduit quand on met ci)-f-2R et w H- ^/K' à la place de w. Et comme on peut obtenir un tel changement de signe pour la valeur de x -f- ijr^ en remplaçant (p par y-f-Tr dans l'argument du facteur constant A, il en résulte qu'il est permis de faire w = R-+-/'j, au lieu de w = zh K -f- lu, et de déterminer une valeur de u, comprise entre - K' et -+- K'.

Or, de la relation

se tirent deux valeurs égales et de signes contraires de celte quantité entre lesquelles il reste à choisir. C'est à quoi l'on parvient au moyen de la condition

// I « — P ) "^îi « en w (in ft»

1 1l apy

qui prend, si l'on y fait w = K -h I'j, la forme suivante,

( ii8 ) or, 7 étant négaîif, on voit ainsi queu aura le signe de / ou un signe contraire, suivant qtie la racine moyenne |3 sera positive ou négative. Dans le

cas de |3 = o, on a donc

w = R et, par suite,

c'est un exemple de ces fonctions particulières de seconde espèce qui ont été considérées par M. Mittag-Loffler dans un article intitulé, Sur les fonctions doublemenl périodiques de seconde espèce [Comptes rendus, \, XC, p. 177).

Je terminerai par une remarque sur Téquation

qui exprime que les coordonnées a? et y se reproduisent sauf le signe, lorsqu'on change 11 en « -h 2K. Soit j.) = K -h /u et posons

cette fonction n(u), évidemment réelle, finie et continue pour toute valeur réelle de u, a pour dérivée l'expression

qui est toujours négative. On a, en effet,

J</tVK, comme conséquence des formules

Jo v/(i-^^)(i-X-«x*)' "" Jo v/(i-**)(i — XT?)'

et l'on sait d\iilleurs que sn'(K-f-/u) est supérieur à l'unité. La fonction n(v), étant décroissante, ne peut s'évanouir qu*une fois; or on a, en désignant par a un nombre entier,

e'(K-+-2mK') fa 7:

e(K-h2//iK.'j

( "9) et par conséquent

n(o) = i, n{2ai<.') = L-.-Ç

Nous érablissons ainsi l'existence d'une racine, puisqu'on peut disposer de a de manière que ^ soit de signe contraire à -• Mais c'est en déterminant les quantités c et Z qu'il serait surtout important d'obtenir les cas où le mouvement du pendide est périodique, ces constantes représentant les éléments essentiels de la question. N'ayant pu surmonter les difficultés qiu s'oftVent alors, je me borne à donner de l'équation précédente une transformée où ces constantes se trouvent plus explicitement en évidence. Soit, à cet effet,

on aura, en premier lieu,

Iv = / ? J = I :^ — :;

on trouvera ensuite

z =^ OL — [^d — fi) sh^oj = — «[iy,

d'où

Enfin, en partageant Tintervalle compris entre les limites, en deux parties, l'une de — a^y à /3, et l'autre de |3 à a, 1 équation se présentera, après une réduction facile, sous la forme suivante :

tJ r jIz r zcfz r^ f/z /•" r/z r^ zdz

La qutstion qui vient d'éire traitée termine les applications à la Mécanique que j'ai annoncées au commencement de ce travail, et j'arrive maintenant, pour la considérer dans toute sa généralité, à l'équation

D^j = [n{n 4- i)/i^ sn^jc -h //] j,

dont la solution n'a encore été obtenue que pour /i = i et w = 2. Au moyen des méthodes de M. Fuclis, permettant de reconnaître que l'intégrale est une fonction uniforme de la variable, et de l'importante proposition de M. Picard, que cette intégrale est dés lors une fonction doublement pé-

riodiqiie de seconde espèce, la solution de Téquation de Lamé est donnée directement par l'application de principes généraux s'appliquant aux équations linéaires d'un ordre quelconque. J'exposerai néanmoins une méthode indépendante de ces principes; je m'attacherai ensuite, et ce sera mon principal but, à la question difficile de la détermination, sous forme entièrement explicite, des éléments de la solution. La considération du développement en série, qu'on lire de Téquation proposée lorsqu'on suppose X =^ /R'h- ê, aura, dans ce qui va suivre, une grande importance; voici, en premier lieu, comment on l'obtient.

Soit, pour abréger,

les expressions des premiers coefficients étant

So =

Je dis qu'on vérifie Téquation

en posant

La substitution donne en effet les conditions

(/i — I )(// — q)//i = // -h /î(/i -f- i)(A| -h jr„),

et nous allons voir qu'elles déterminent de proche en proche les coeffi cients A,, 7/2, .... Mettons-les d'abord sous une forme plus simple; en élimi

liant la quantité h au moyen de la première, on aura, après une réduction facile^

où j'ai écrit, pour abréger, w(/i 4- i) = 2/w.

Or, le facteur in — 21 h- i ne pouvant jamais être nul, on voit que le coefficient de rang quelconque A,- s'obtient au moyen des précédents, /i/|, A,2, — En particulier, on trouve

* 2(2/1 — 3) 2(2/1 — 3) , {in — i)*AJ m[6n — 7)^1^1 /w^i