TT
Ce premier développement obtenu, nous en concluons immédiatement un second. Effectivement, le coefficient ri{n -4- i) ne change pas si l'on remplace n par — (w -h i), de sorte qu'en désignant par A'j, h^^ ... ce que deviennent A,, ^3, ... par ce changement, Téquation différentielle sera de même satisfaite en prenant
OU bien
Je remarque enfin qu'en substituant dans l'expression
la partie de la première série représentée par
I hé hi
tous les termes en -^:;:5> — > • • » n^ii-^% disparaissent, de sorte que le résultat
ordonné suivant les puissances croissantes de e commence par un terme en -^^zii* On en conclut qu'en supposant /i pair et égal à 2v, ou bien w = 2v — i,
on n'aura aucun terme en -> si l'on prend dans le premier cas
r = ;?; + Tïé-, + • • • + V "^ *^' H. 16
et dans le second
Ce point établi, nous obtenons facilement, comme on va le voir, la solution générale de Téquation de Lamé.
Je considère l'élément simple des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, en le prenant sous la forme suivante :
où Ton a, comme au § V,
I^e résidu qui correspond au pôle unique x = /K' sera ainsi égal à l'unité, et nous pourrons écrire
J[iYJ -{- e) = --f-H,,-hH<£ -f- ... -f-H,-Ê'-h ....
Cela posé, je dis que les expressions
'^^^)- r(2v) ^* r(2v-2) ••• '^v-ii^xyi^J,
satisferont, suivant les cas de 7i= 2v et /i — 2v — i, à l'équation différentielle en déterminant convenablement les constantes u et X.
Pour le démontrer, je remarque que, si Ton pose jc = iK'+g, les
parties principales de leurs développements proviendront du seul terme qui entre dansf(iK'-h s), et seront, par conséquent,
et
il ,. ,
Disposons maintenant de w et \ de lelle sorte que dans le premier icas le terme constant soit égal à h^ et le coefficient de s, dans le suivant, égal à zéro; nous poserons pour cela les conditions
Hav-i -H A, H2^3 -f- AoHjv-sH- ... -H Av-|Il| -+- hy= o, •iv Hjv-h (2y — - 2)A|H2v-2 -+- (2v — 4)A2H2v-4 -I- . . . -f- sAv-i Ha = o.
El semblablement, dans le second cas, faisons en sorte que le terme constant soit nul et le coefficient de e égal à fi^^ en écrivant
(2v — ijllov , -f- (îiv — 3)//,H2v- 1 -+- ... -H //v-i H, — //v = o. On a donc ces deux développements, à savoir :
F ( / R' -f- £ ; = ^ 4- ^, 4- . . . -4- -^ + // V -f- . . . , puis
il en résulte que les deux fonctions doublement périodiques de seconde
espère
D2F(x) - [n{n-h i)A^ sn-a: -h //]F(j?),
étant finies poiu* x = /K', sont par conséquent nulles. Nous avons ainsi démontré que l'équation se trouve vérifiée en faisant j" = F(a:), de so»t(» que l'expression
en donne l'intégrale générale.
La question qui s'offre maintenant est d'obtenir w et X au moyen des relations précédentes, qui sont algébriques en snw et X. Or, on est de la sorte amené à un problème d'Algèbre dont la difficulté se montreau premier coup d'oeil et résulte de la complication des coefficients H©, H<, ....
Revenons, en effet, au développement déjà donné § V, à savoir :
X(/K'-f sj = 1 - l£ÎÊ « La,r - giÎ2Ê' - ^ûas* - . . M
OÙ Ton a
iîg r= A:* su* 0) ^^ — g ^ sn* w — ^ ^^ — '— >
A^sn*G) ^ — h
Les coefBcients Ho, H|, ... résultant de l'identité
7 + HoH- Ho£ -4- .. . ==U ^- XêH- -^ +...] (^ -- ;^fîs -- ...j seront
et Ton voit que, H;, étant du degré n -f- i en X, Tune de nos deux équations est, par rapport à cette quantité, du degré n^ et la seconde du degré n-h i. A l*égard de snoj, une nouvelle complication se présente en raison du facteur irrationnel cncù dnco, qui entre dans ^olî,, ^5, ..•; aussi paraitil impossible de conclure de leur forme actuelle qu'elles ne donnent pour X^ et sn^G) qu'une seule et unique détermination. Et si Ton considère ces quantités comme des coordonnées, en se plaçant au point de vue de la Géométrie, on verra aisément que les courbes représentées par nos deux équations n'ont aucun point d*intersection indépendant de la constante h qui entre sous forme rationnelle et entière dans les coefficients. Il n'est donc pas possible d'employer les méthodes si simples de Clebsch et de Chasies qui permettent de reconnaître^ a priori et sans calcul, que les points d'un lieu géométrique se déterminent individuellement en fonction d'un paramètre. Le cas de n = 3, qui sera traité tout à l'heure, fera voir en effet que les intersections des deux courbes se trouvent, à l'exception d'une seule^ rejetées à l'infini. Mais, avant d'y arriver, je ferai encore cette remarque, qu'on peut joindre aux équations déjà obtenues une infinité d'autres^ dont voici l'origine.
Nous avons vu au § XLIY que réquation de Lamé donne, en faisant X = /R -h 6, ces deux développemenis, à savoir :
Il en résulte que, si l'.on pose de même x = /K'-f- £ dans la solution représentée par F(Ar), nous aurons, en désignant par C une constante dont on obtiendra bientôt la valeur.
On peut donc identifier ce développement avec celui que donnent l'une oi' Tautre des deux formules
F(x) = -f. •" - ^ ; -f- ht ^1^ ' ^ ^\ 4-. . .H- K^Jix) ^ ' r(2v — i) ' r(2v — 3) -^ ^ '
lorsqu'on pose x = /K'-f- £.-Bornonsnous, pour abréger, an cas de /i = 2v, et représentons la partie qui procède, suivant les puissances positives de £, par
On trouve facilement, si l'on écrit
l'expression
Nous aurons donc, pour 1 = i , 3, 5, . . ., 2v — i, les équations on trouvera ensuite, pour les valeurs paires de l'indice,
i-*-av— 3
et enfin, pour les valeurs impaires supérieures à 2v — i,
Telles sont les relations, en nombre illimité, qui doivent toutes résulter des deux que nous «avons données en premier lieu, à savoir :
on est amené ainsi à se demander si leurs premiers membres, J^,, i^^î — lh^v^ ^2/4-2v4-i — CAj-, ne s*exprimeraient point, sous forme rationnelle et entière, par les fonctions j$, et j^o ~~ ^v Mais je laisserai entièrement de côté cette question difficile, et j'arrive immédiatement à la résolution des équations relatives au cas de /i = 3.
Ces équations ont été données au § XXXV, et sont
Si Ton met en évidence les quantités (î, et qu'on fasse A, = -9 ce qui donne
elles prennent la forme suivante :
X^ — 3îîX — 2Î2< -h 3/X = o, X*- 8ÛX^- 8i^,X- 3iÎ2-4- 2/X^= ^ - 85,.
Cela étant, j'emploie ces identités, à savoir :
iî« — îîj = 4^,, iîiîj — û^ = iî^i -t- 7^2,
et je remarque qu'on en tire, par l'élimination deû, et iîs* deux équations du second degré en 12. Mais il convient d'introduire H| au lieu de 12; en
( '27 ) faisant alors, pour un moment,
ces relations seront
36H; - la/H, -f- 36/X^ 4- 5/^ - 4^ = o, 72/H'; - 6(5/^- a)H, 4- 72/n^ - ft = o.
Eliminons X^, elles donnent immé liatement
-- 10/^ — 3al — ô
nous obtenons ensuite
.2__ 4(/«-<i)^H-(il/^-9g/-^l
ou bien
12 — yiO
si Ton pose, pour abréger,
y(/) = i25/« — 210^/* - 226/' -f- 93£ïV* -+- 1 8aW -f- *' - 4«%
soit encore
ij;(/) = 5/«-f-6a/*-ioW'-3a^/^4-6rtA/-f-6^-4rt» = y (/) - 1 2/(/2 - a) (10/» - Hal - A) ;
de la relation X^ — 2H, = Û ou conclura :
(î = A:'sn*&) —
i-fA«__ ^(l)
Enfin j'observe qu'on déduit des équations proposées la valeur de Û, exprimée en (î et X, par cette formule,
2Û, = (X'-3Q-+-3/)X; faisant donc
nous parvenons encore à la relation
lî, == ^^ sn û) en Cl) dn w =
Le signe de X se trouve ainsi déterminé par celui de co, et la solution
( 128) complète de l'équation de Lamé dans le cas de /> = 3 est obtenue sans aucune ambiguïté au moyen de la fonction
On n'a toutefois pas mis en évidence dans les formules précédentes les valeurs de la constante / qui donnent les solutions doublement périodiques, ou les fonctions particulières de seconde espèce de M. Mittag- Leffler, comme nous l'avons fait dans le cas de n = 2.
Voici, dans ce but, les nouvelles expressions qu'on en déduit.
Posons, en premier lieu,
P = 5/» - a(i -t- A»)/ - 3(1 - yt»)S Q = 5/* -2(1 -2/6')/ -3, R = 5/*-2(it*-a)/-3if% S = 36/,
et, d'autre part,
on aura
A = /»-(i4-yt»)/-3P,
B =./» - (i - 2*»)/ -f- Xk'-k*),
^ - ~ SD* ' A«sn«a, = -^,
dn^û) =4-
