SD
Cela étant, ce sont les conditions P = o, Q = o, R = o, S = o qui donnent les solutions doublement périodiques, au nombre de sept, tandis qu'on obtient les fonctions de M. Miltag-Leffler en posant A = o, B = o, C = o, D = o. Mais je lajsse de côté Télude détaillée de ces formules, en
( «29 ) me bornant à la remarque suivante, sur laquelle je reviendrai plus tard. Exprimons les quantités A^sn^co, Fcn^w, dn'co, en partant de Téquation
A'^sn^w —
I4-A-» -yj]
de cette nouvelle manière, à savoir :
A sn 0) 36/:/^-.- '
A en co 3G7(/^^^r^ô^ '
dn''(«) = z-r—^ — I-LJ.
36/(/* --/!)* On conclura facilement de 1 égalité
/v sn wcn wdn co - ^3^^^^,__ ^),j.
la relati h que voici :
i|>^(/)-3.i2V//2(/^-a)*d^(/)4-i2»A/^(/^-^)«=y(/)x'(/). Or elle conduit à cette conséquence, qu'en posant
on a
c'est donc un exemple de réduction d'une intégrale hyperelliptique de seconde classe à l'intégrale elliptique de première espèce.
La méthode générale que je vais exposer maintenant pour la détermination des constantes <*) etX repose principalement sur la considération du produit des solutions de Téquation de Lamé, qui viennent d*étre représentées par F(^) et F(— .r). Et, d'abord, on remarquera que, ayant
F(x-f- 2zK.') = fJi'F{.r) //. 17
( «30) et, par suite,
F(-x- 2K)=iF(-a:).
ce produit est une fonclion doublement périodique de première espèce, qui a pour pôle unique oc = zK'. Voici, en conséquence, comment s'oblient son expression sous forme entièrement explicite.
Soit
^{x) = (-. i)>'F(x) F(~ jr),
le facteur jui' ayant été introduit, pour pouvoir écrire
cD(/K'-h£) = (- i)"f;/F(/R'-4-6)F(~/K'-c) = (~ i)'' F(/K' 4- £} F( /K' - £).
Cela étant et posant, pour abréger,
gti g.|2 j/*4
nous aurons
F(/K'-6) = (-i)''(S-S,), d'où, par conséquent.
On voit ainsi que la partie principale de développement suivant les puissances croissantes de £ est donnée par le premier terme S^, et ne dépend point de la constante C, entrant dans le second terme, que nous ne connaissons pas encore* Faisons donc
j2« ' gin-i ' ,s/<-4
les coefficients A,, A^, « . . seront
2 If 2
-h Ifl,
2 If 3
et Ton eu conclut que, //, étant un polynôme de degré / en A,, il en est de
( i3i ) même, en général, pour un coefficient de rang quelconque A,-. Maintenant l'expression cherchée découle de la formule de décomposition en éléments simples, qui a été donnée au § II. Nous obtenons ainsi
-A„.,D,[®'^|]-f-const. La relation élémentaire
donnera ensuite, sous une autre forme, en désignant par  une nouvelle constante,
A«,(A^sn^a7) + A.
Pour la déterminer, nous emploierons, en outre de la partie principale de la série S^, le terme indépendant de £, qui sera désigné par A„. En déduisant ce même terme de l'expression de 0(x), et se rappelant qu'on a fait
Y" = -7 -f- «yQ "^ «^i ^ -f- . . . -f- •$■/£ -f- . . . ,
sii'c g'
nous trouvons immédiatement
A — A„ — A,i, Sq — A„2 "ô" — • ' • — A I —- 5 — - - •
6 in — o 2/1 — I
Beaucoup d*autres expressions s'obtiennent par un procédé semblable en fonction linéaire de dérivées successives de A* sn* jc, celles-ci, par exemple,
D:F(;r).DtF(-x),
que je vais considérer dans le cas parliculier de a = 1, |3 = i.
Soit alors
0,(a?)=(-i)«^«fx'F(a')F(-a?),
et désignons par S' et S'j les dérivées par rapport â s des séries S et S, , de sorte qu'on ait
( l'ia ) De la relation
on conclura celte expression, savoir Faisant donc, comme tout à l'heure,
OÙ le coefficient B/ est encore un polynôme en h^ de degré /, nous aurons
et la constante sera donnée par la formule
3 in — I 2 /î -f- I
J'envisage enfin le déterminant fonctionnel formé avec les solutions F(x) et F( — a:) de l'équation de Lamé, et je pose
<I)2(x) = (- i)«+'fjL'[F(x)P{-a:)4-F'{^)F(-a?)].
La relation suivante, qui s'obtient aisément, et dont le second membre ne contient que des termes entiers en s, à savoir
donne, comme on le voit, la proposition bien connue que cette fonction est constante; nous allons en obtenir la valeur en la mettant sous la forme
[in -h i.)C = V'N, que nous garderons désormais.
J'observe, à cet effet, que de l'identité
(ss'~s,s;)' = (ss; -s,s'j^4-(s'-sî)(S'^ -s;-)
on conclut immédiatement, entre les fonctions dont il vient d'être ques-
tion, la relation suivante
j<1)'-(/K'4-ê) = j*^(/R'-4-0 4-$(/K'-l-6)(D,(/K'4-£) et, par conséquent,
Elle fait voir qu*en attribuant à la variable une valeur particulière, en supposant, par exemple, jr = o, N s'obtient comme un polynôme entier en A, (lu degré 2/2 -t- i, puisque cette quantité entre, comme on Ta vu, au degré n dans 0(x), et au degré n -f- i dans $, [x]. Ce point établi, nous remarquons que, en posant la condition N = o, le déterminant fonctionnel
^^[x) est nul, de sorte que le quotient /'^> se réduit alors à une constante. Désignons-la pour un instant par A, on voit que le changement de X en — X donne A = — ; on a donc A = ± i, et, par conséquent,
Remplaçons ensuite x par a? 4- 2K et XH- 2zK': le quotient se reproduit multiplié |)ar [j? et jui'*; ainsi il faut poser }j? = i ,* jjl'^ = i , c'est-à-dire
La condition N = o détermine donc les valeurs de A, pour lesquelles l'équation de Lamé est vérifiée par des fonctions doublement périodiques. Ce sont ces solutions» auxquelles est attaché à jamais le nom du grand géomètre, et dont les propriétés lui ont permis de traiter pour la première fois le problème difficile de la détermination des températures d'un ellipsoïde, lorsque l'on donne en chaque point la température de la surface. Elles s'offrent en ce moment comme un cas singulier de l'équation différentielle, où l'intégrale cesse d'être représentée par la formule
r = CF(a:)-+-(/F(~-a?)
et subit un changement de forme analytique. Je me borne à les signaler sous ce point de vue, devant bientôt y revenir, et je reprends, pour en tirer une nouvelle conséquence, l'équation
Introduisons sn^a? pour variable, en posant sn^ir= t\ on voit que ^[x) et 0,(^), ne contenant que des dérivées d'ordre pair desn^a?, deviendront des polynômes entiers en t des degrés n et n -h i, que je dési-
gnerai par n{t) el n,(/). Soit encore
R(<) =t{i- t){i-kU); la relation considérée prend cette forme
R(<)n'='(/) = N4- U{t)ïl,{t);
et voici la remarque, importante pour noire objet, à laquelle elle donne lieu.
Développons la fonction rationnelle —j-^ en fraction continue, et distinguons, dans la série des réduites, celle dont le dénominateur est du degré v, dans les deux cas de n = 2v et n = 2v — i. Si on la représente
par -j-jî le développement, suivant les puissances décroissantes de ty de la différence
commencera ainsi par un terme en -;^'i et, en posant
on voit que, dans le premier cas, ^{t) sera un polynôme de degré v — i, et, dans le second, de degré v — 2. Cela étant, je considère l'expression suivante
on trouve d'abord aisément, en employant la relation proposée et la valeur de ^(^), qu'elle devient
et contient, par conséquent, en facteur, le polynôme n(^). On vérifie ensuite qu'elle est de degré n -h i en ^, dans les deux cas de n= 2V et w = 2v — I ; nous pouvons ainsi poser
et nous allons voir que u est donné par la formule
sn''û)= ^,
tr
OÙ le second membre est une fonction rationnelle de h
Considérons dans ce but une nouvelle fouction doublement périodique déBnie de la manière suivante
W{x)=-ii.'/{-x-)F{x\ en faisant toujours
desorteque les deux fadeurs f[-^ x)et¥{x) soient encore des fonctions de seconde espèce à multiplicateurs réciproques. Nous aurons d abord
et, en employant Tégalité, qu'il est facile d'établir :
jjL'/(a:)/(— x) = — k'{sn^x — sn^oi),
on parvient à cette relation
W{x)W{—x) = {- i)«-^'A-=(sn='x — sn^co)0(a:),
dont on va voir Timporlance. Formons à cet effet l'expression de¥(:r) qui s'obtiendra sous forme linéaire au moyen des dérivées successives de A-^n^x, puisque cette fonction, comme celles qui ont été précédemment introduites, a pour seul pôle x = /K'. Nous déduirons pour cela un développement, suivant les puissances croissantes de e, de l'équation
développement que je représenterai par la formule
en posant
et nous observerons immédiatement que cette série ne contient point le terme -^^- On a effectivement, pour w = av,
puis, en supposant // = 2v — i,
*/r-l ~^ V "av-i ~J~ "< 'tjy . ^ -f- /I2 tl2v-.6 "^ ... -H "v-i ■ "o /•
Or on voit que, d'après les équations obtenues pour la défermination de w et X, au § Xr.V, le coefficient a„, est nul dans les deux cas. La partie principale du développement de ^^/R'-h e), à laquelle nous joindrons le terme indépendant de g, est donc '
I ao a, ^r,-i
On en conclut, quand « = 2v, la constante ayant pour valeur
puis, dans le cas de « = 2V — i ,
^- «I — f— 7r — •••-+- «2v-3('t^si»-jr) -f-a,
en posant
Soit maintenant sn^a:=^; les expressions auxquelles nous venons de parvenir prendront cette nouvelle forme, à savoir
où G(^) et G,(/) sont des polynômes entiers en ^ des degrés v et v — i dans le premier cas, v et v — 2 dans le second. Observons aussi que, le radical
VK(f ) changeant de signe avecjc, d'après la condition
y/K(^]= snxcn:rdn.r, on aura
iF(-^) = G(0-v/H(7jG.(0;.
nous concluons donc de l'égalité donnée plus haut
( »37) la suivante :
G-(/) - R(ooî(0 = {- iY-^'k'{t - sîi^co)n(o.
Cetre forme de relation est bien connue par le théorème d*Abel pour l'addition des intégrales elliptiques, et Ton sait que les polynômes G(^), G,(^), étant des degrés donnés tout à Theure, se trouvent, à un facteur constant près, déterminés par la condition que l'expression
