II. i

( ri8 )

Or on en déduit, en faisant x = /K' -t- s et se rappelant qu'on a sup posé n = av, l'égalité suivante :

d*où nous tirons

Éliminons l'indéferminée p et remplaçons les coefficients «oi ««» • • P^'' leurs valeurs § L (p. i35); on aura ces relations

La première donne l'expression de X, et nous reconnaissons^ par celte voie,

qu'elle ne contient d'aulre irrationnalité que y^. On obtiendrait la même conclusion dans le cas de « == 2V — i , et c'est le résultat que j'avais principalement en vue d'établir, après avoir démontré que sn^o) est une fonction rationnelle de A. L'étude des solutions de Lamé qui correspondent aux racines de l'équation N = o nous permettra, comme on va le voir, d'aller plus loin et d'approfondir davantage la nature de ces expressions de X et

sn^o).

On a vu au § XLIX (p. i33) que l'intégrale générale de l'équation différentielle n'est plus représentée, lorsqu'on a N = o, par la formule

7 = CF(a') + CF(-«jc),

le rapport . — se réduisant alors à une constante, et, comme conséquence, nous avons établi que les multiplicateurs delà fonction de seconde espèce deviennent, au signe près, égaux à l'unité. Suivant les diverses combinaisons des signes de fx et \xl^ nous pouvons donc avoir des solutions

( «39 ) paiiiculières de qualre espèces, caractérisées par 1rs relalions suivantes :

(II) F(x 4- 2K) = - F(^), F(:r -+. 2/K') = - F(x),

(III) F(x -+. aR) = + F(.r), F(ar 4- 2/K') = - F(jc),

(IV) F(.r -H 2R) =: -H F(x), F> -h 2/R') = -+- V{x).

Toutes existent eu effet, et les trois premières, où F(a?) a successivement la périodicité de sna?, cna:, dnj?, s'obtiennent en faisant, dans l'expression générale de cette formule, X = o, conjointement avec = 0, o) ~ K, 0) = K -t- iK\ Nous remarquerons, pour l'établir, que, les valeurs de l'élément simple

étant alors y (.r) = Asnjr, ikcnxj idux, dans ces trois cas, les développements en série de f{i¥J-^ e) ne contiennent que des puissances impaires de £, de sorte que les coefficients désignés par H,- s'évanouissent tous pour des valeurs paires de l'indice. Ues deux conditions obtetiues au § XLY ( p. 1 23), pour la détermination de o et X, à savoir :

H.j^., -h //,Il2v-3-i- /'2H2V-5-+- ..-f- Av,H,-l- h^ = o,

2vll2v-f- (2V — 2)/i,Il2v 2H- (av — k)hj\2>i-k-^ ... H- 2//v, Ilg = O,

dans le cas de n = 2v; puis, en supposant /i := 2v — i ,

II2V-2 ^~ ''< TI2V-» "^ ^'^2TIov-6 4- ... 4- //v-i Ho =^ O1

(av — i)H2v-i H- (av — 3)/i,Il2v-3 -r ... -h //v-|TI| — //v = o;

on voit ainsi qu'iuie seule subsiste et détermine la constante h, Tautre étant satisfaite d'elle-même.

Mais soit, pour plus de précision,

/rsn(iR'-f- s) = - -h/?, s -^ Pi'^ 4- ... -f- pii^^"^ -f- ...,

/A'cn(zR'-f- c) = - -1-7, £ -H^oS'* H- ••• -H7/e-'~* 4-...,

nln(/R'-f-c) = --h /', £-4- rjS-H-... 4- r,£-'"' 4-...;

je poserai, dans le cas de n = 2v,

P = />v 4- //,pv-, 4- //2/?v-2 4- ... 4- //v-i/^i 4- //v,

R = /'v 4- //, Ty., 4- h., /Va 4- . . . -f- //v-i r, 4- //v ;

puis, en supposant w = 2v — i,

Il = (2y — i)rv-f- (2v — 3)//, Tv^, -f- ... -h //v i r, — K\

cela étant, les équations

détermineront les valeurs particulières de h auxquelles correspondent les trois espèces de solutions que nous avons considérées, et Ton voit que dans les deux cas elles sont toutes du degré v.

Il ne nous reste plus maintenant qu'à obtenir les solutions de la quatrième espèce dont la périodicité est celle de sn^o?, mais elles se déduisent moins immédiatement que les précédentes de l'expression générale de F [x) ; il est nécessaire, en effet, de supposer alors la constante >. et snu infinis; je donnerai en premier lieu une méthode plus directe et plus facile pour y parvenir.

Soit d'abord /j = 2v; je remarque que toute solution de l'équation différentielle par une fonction doublement périodique de première espèce résulte du développement

et sera donnée par l'expression

Y{x) = '^^. — : — ^ -i- h,-^ -.-^ -f- ... -f- //v-,(A^sn-x)

Cela étant, disposons de h de manière à avoir

F(/R'+ t) = ^, + ^, + ... + '^ + //v+ //v. .r, ce qui donne la condition

je dis que la fonction doublement périodique

D'^F(a;) - [n{n -h i)k^ sn^x -h A] F,»

esl nécessairement nulle. Si, après avoir posé x =■ /K'H- e, on la développe en effet suivant les puissances croissantes de e, non seulement la partie principale, mais le terme indépendant disparaîtront, cou)me on Ta vu au § XLIV, p. 121. De ce que la partie principale n'existe pas, on conclut que la fonction est constante; enfin cette constante elle-même est nulle, puisqu'elle s'exprime linéairement et sous forme homogène par le terme

indépendant de e, et les coefficients des divers termes en -•

Soit ensuite /2 = 2v — i; le développement qu'on tire de Téqualion différentielle, à savoir

contenant un terme en -y on doit tout d'abord le faire disparaître en posant /iv-,1 = o, pour en déduire une fonction doublement périodique de première espèce, qui sera de cette manière

Cela étant, et en nous bornant à la partie principale, on aura

il en résulte que, si on laisse indéterminée la constante //, le développement

de Texpression

D]F(jc) -« [n[n 4- i) ^-^ sw^x -f- h]¥[a ),

après avoir posé x = / K' -+■ £, commencera par un terme en — • Mais faisons //^, = o; comme on peut écrire alors

on voit que ce déveloj)pement commencera par un terme en -y qui luimême doit nécessairement s'évanouir, et il est ainsi prouvé que, sous la condition posée, le résultat de la substitution de la fonction F(x), dans le premier membre de Téquation différentielle, ne peut être qu'une constante. 3*ajoute que cette constante est nulle, le résultat de la substitution étant, comme F(a'), une fonction qui change de signe avec la variable. Soit

donc, dans le cas de n =- 2v,

puis, en supposant « =: 2v — i ,

on voit que les équations

déterminent les valeurs de h auxquelles correspondent les quatre espèces

de solutions doublement périodiques découvertes par Lamé, ces solutions

ne se trouvant plus distinguées par leur expression algébrique, comme Ta

fait l'illustre auteur, mais d'après la nature de leur périodicité. On voit

aussi que la condition N = o, d'où elles ont été tirées, se présente sous la

forme

PQRS = o,

et Ton vérifie immédiatement que le produit des quatre facteurs, dans les deux cas de w = 2v et /i = 2v — i, est bien du degré 2n -f- i et //, comme nous l'avons établi pour N au § Xl^IX, page i33.

Voici maintenant le procédé que j'ai annoncé pour déduire les sobitions de la quatrième espèce de la solution générale.