Diy(x-«)-...-+-iiill!i!D;/(^-aK
le coefficient du terme en - dans le produit des seconds membres, qui est la quantité cherchée, se trouve immédiatement, en remarquant que
et a pour expression
A/(x- a)4-A,D^/{a*- a)-+-A2D*./(x - a) -h... .-+- AaD;/(a' — «).
La somme des résidus de la fonction 0(z), égalée à zéro, nous conduit ainsi à la relation
où le signe 1 se rapporte^ comme il a été dit, à tous les pôles de ¥{z) qui sont à l'intérieur du rectangle des périodes.
La fonction F {x) comprend les fonctions doublement périodiques; en supposant égaux à Tunité les multiplicateurs p. et jx', je vais immédiatement rechercher le que Ton tire, dans cette hypothèse, du résultat auquel nous venons de parvenir. Tout d'abord les relations
donnant nécessairement X = o et w = 2/wK, ou, ce qui revient au même, 0) = o, le nombre m étant entier, la quantitéy( j:) = — h/ iHfj-^" ^^ ^^"
vient infinie et la formule semble inapplicable. Mais il arrive seulement qu'elle subit un changement de forme analytique, qui s'obtient de la manière la plus facile, comme on va voir. Supposons, en effet, X= o et w infi-
(6) niment petite on aura, en développant suivant les puissances croissantes de co,
H(ar-f-«) H'(x)
d'où
Ck)
D*autre part, observons que les coefficients A, A,, ,.. doivent être considérés comme dépendants de co, et qu'on aura en particulier
A = a ~h a'co -4- ...,
a, a', ... désignant les valeurs de A et de ses dérivées par rapport à co pour S) = o. Nous obtenons donc, en n'écrivant point les termes qui contiennent 0) en facteur,
kfix — a)= - H- a' 4- a—) f -}-...
et, par conséquent,
2A/(a:-rt)= i 2a + 2a' H- 2a |-J-^^^J + ....
Or on voit que le coefficient de- disparait, les quantités a ayant une
somme nulle comme résidus d'une fonction doublement périodique, et la différentiation donnant immédiatement, pour o) = o,
nous parvenons à rez|3ression suivante, où a, ai, ..., a^ sont les valeurs de A, A<, ..., Aa pour w = o :
F(x) = 2a' + 2ra|:i^H-a.D,i;^+...-HaJ);|f^l.
C'est la formule que j'ai établie directement, pour les fonctions doublement périodiques, dans une Note sur la théorie des Jonctions elliptiques^ ajoutée à la sixième édition du Traité de Calcul dijférentiel et de Calcul intégral de Lacroix.
Revenant au cas général pour donner des exemples de la détermination de la fonction f{co)^ qui joue le rôle d'élément simple, et du calcul des coefficients A, A<, Aj, ... , je considérerai ces deux expressions :
oùa, 6, . . ., Z sont des constantes au nombre de n. On trouve d*abord aisément leurs multiplicateurs, au moyen des relations
e{x+aK) =
-f-efar),
H(x + 2K)e(.r + aiK') =
— e{sc)e
Elles montrent qu'en posant
puis, comme précédemment,
on aura
F(x 4- ait ) = |x F(x), F^(a^ H- aK ) = (- i)";! F,(x), F(a^ 4- 2 iK') = |xT(x), F^(a:4- 2ÎK') = fi'F,(jc).
11 en résulte que, quand n est pair, la fonction *
JK-^)— H(«)H(x) '
ayant ces quantités |x et /x' pour multiplicateurs, peut servir d'élément simple pour nos deux expressions; mais il n'en est plus de même relativement à la seconde F| [x)^ dans le cas où n est impair : on voit aisément qu'il
( 8) faut prendre alors pour élément simple la foiiction
to>)H(x)
afin de changer le signe du premier multiplicateur, le résidu correspondant à JT = o étant d*ailleurs égal à l'unité. Cela posé, comme F(j:) et Y^ {x) ne deviennent infinies que pour x = iK', ce sont les quantités y (x — /K') etf^{x — iYJ) qui figureront dans notre formule. Il convient de leur attribuer une désignation particulière, et nous représenterons dorénavant, la première par 9 (jt) et la seconde par /(a:), en observant que les relations
Q{x + iYJ) = /•H(.r)e"4K^'-'"*"''''\ H (x -H /K') = /e {x) e~ à ^"^'^'^
donnent facilement, après y avoir changé x en — x, ces valeurs :
Nous avons maintenant à calculer dans les développements de F(/K'-h ê) et F^ (iR'-h s), suivant les puissances croissantes de s, la partie qui renferme les puissances négatives de cette quantité, et qu'on pourrait, pour abréger, nommer la partie principale. A cet effet, je remarque qu'en faisant, pour un moment,
on aura
Nous développerons donc n(e) et 1X4 (e), parla formule de Maclaurin, jusqu'aux termes en €"~~\ et nous multiplierons par la partie principale de
> , qui s'obtient, comme on va voir, au moyen de la fonction de
M. Weierjslrass :
Al (a:), =x -^ — a' H jc' —
(9) On a 'en effet, d'après la définition même de l'illustre analyste,
if!
et Ton en déduit
Je vais appliquer ce qui précède au cas le plus simple, en supposant n = 3 et X = o, ce qui donnera
et, par conséquent,
^nfs) = H(a)H(A) + [H(a)H'(*) -h K{b) H'(a)]6 + ...,
'-Ji^{i) = Q{a)Q{b)-^[6{a)e'{b)+Q{b)e'{a)]e-h ....
Maintenant la partie principale de gjy-r ne contenant que le seul ternie .., , , -> on a immédiatement
?^F(lK' + 6) = "^''^°^*) + H (a) H' (&) + H jb) E' (g)
H"(o)p.,.j^, , ^^ eWe(^) ^ e{a)e'{b) + B{b)B'(a] ^
et, par conséquent, ces deux relations
Vf* ® w
( lo) En y reroplaçanl tf (x) par «a valeur , °!.^^^ ""ïlaUl '° ''* *"'''^' sous la forme suivante, qui est plus simple :
--"' ew "^LuW ' 11(6) J «H H'(olU(^-t-t)U(«->-«)ll|:-+t) eWel»)6'W e(^+. + t) re'(.) e'W-| 8(«+» + t )
- "' eW + Le(«) "^ »W J «W On en tire d'abord, à l'égard des fonctions 6, cette remarque que, sous [a condition
fl-t-6 + e-f-f/=o,
on a l'égalité (')
ir (o) H (n + *) H (a + c) H (t +- c) - 6- (<i) e [b) 6 (c) 6 (il) + »-{bi»{c)»{,l)H{n}
+ e'(c)e(rf)e(<i)e(i) + e'{(/)e(n)e(4)e(c).
Mais c'est une autre conséquence que j'ai en vue, et qu'on obtient en mettant la première, par exemple, sous la forme
. ej
OH
"""'«Blir+Hw-
Si nous multiplions par e'^, eile devient, en efTet,
* (x) e~P'= - D^ {fe-f"), d'où
r*(x) e-i"da: = —fe'P'.
Ce résultat appelle l'atteution sur un cas particulier des fonctions f (x),
(') Elles élé donnée par Jacobi, Joaraalde Crelle [Formula noç(c in theoria dentium ellipticarum fundamentalei, t. 15, p. 199)-
où, par suite d'une certaine détermination de X, elles ne renferment plus qu'un paramètre. On voit qu'en posant
ce qui entraîne, pour le multiplicateur jx', la valeur
l'intégrale / 9 (.r, a) (f [Xy b) dx s'obtient sous forme finie explicite. Un calcul facile conduit en effet à la relation
Faisons, en second lieu,
^^ ' ^ v/fx'e(«)e{x) en désignant alors par 11' la quantité
et nous aurons semblablement
fxi^y ^) X(^i '0 dx = '^(p{Xya-^ i)e'
Un en déduit aisément qu'en désignant par aet b deux racines, d'abord de l'équation li'{x) = o, puis de l'équation S'{x) = o, on aura, dans le premier cas^
J/>aK ' f (.r, a)(p (x, h)dx = o; o
et dans le second,
X{x,a)y^{Xyb)dx = Oj
sous la condition que les deux racines ne soient point égales et de signes contraires. Si l'on suppose 6 = — a^ nous obtiendrons
X(x, a)x(x, — a)dx = 2(J — *'Ksn*fl).
Ou voit les recherches auxquelles ces théorèmes ouvrent la voie et que je me réserve de poursuivre plus tard ; je me borne à les indiquer succiuctenien(,afin de montrer l'importance des fondions y (x) et x{x). Voici maintenant comment on parvient k les définir par des équations différentielles.
Nous remarquerons, en premier lieu, que les foncrions f{x) et /(j:) peuvent être réduites l'une à l'autre; leurs expressions, si l'on y remplace le multiplicateur fi' par sa valeur, étant, en effet.
on en déduit facilement tes relations suivantes :
f{jc, a + iK.') = lia:, w),
dont nous ferons souvent usage. Cette propriété établie, nous rechercherons le développement, suivant les puissances croissantes des, de;((tK'+£), qui jotiera plus tard un rôle important, et dont nous allons, comme on va voir, lirer l'équation différentielle que nous avons en vue. Pour le former, je partirai de l'égalité
DJogxW = |
d'où
l'on déduit
D.los.x(i-K'+s) =
-Hf
Cela
>osé, nous aurons d'abord
mais
l'équation de Jacobi
D ?ïi-
sd'x
donnant en général
( '3) ce développement prend celle nouvelle forme
Joignons-y le résultat qu'on tire de l'équation de M.Weierstrass :
Ce)
Ji
H(€) = H'(o)e^»^Al(6)., en prenant la dérivée logarithmique des deux membres :
et nous aurons
DelogY(îK'-h ê) = - fiA^sn^o) - -îlOeoA'sn^w ^!^,
d'où^ par conséquent ,
sans qu'il soit besoin d'introduire un facteur constant dans le second
membre, puisque le premier terme de son développement est -9 comme
il le faut d'après la nature de la fonction x(^). Cette formule donne le résultat cherché par un calcul facile; elle montre qu'en posant
on aura
û = A* sn^co 5 — f
(2| = k^ sntùcntù dn o), '
lîj = k^ sn* (ù ' — 5 sn' w — j= '— >
En voici une première application.
Considérons» pour la décomposer en éléments simples, la fonction k'sn'xy^{x), qui a les multiplicateurs de xi^) ^' "* clevîenl infinie que pour X = l'K'. On devra, à cet effet, en posant x = iR'4- t, former la ' partie principale de son développement suivant les puissances croissantes de s, que nous obtenons immédiatement en multipliant membre à membre les deux égalités
>i "^^^"^ 5 ('"*■*"' "^•■■■ Il vient ainsi
= ~Ti^r' -i- -(i -4- A*) — -i' bii'u £-• + ...,
et l'on en conclut la formule suivante : ,
i'm'xxix) = ;I>îx(-ï) + [î (' + *') - -J''"'<']x(^)-
Elle montre que, en posant j = '/X-^)y »ous obtenons une solution de l'équation linéaire du second ordre
qui est celle de Lamé dans le cas le plus simple où l'on suppose n = i, la constante A = — i — A* + A' sn' u étant quelconque, puisque u est arbitraire; et, comme celte équation ne cbange pas lorsqu'on change x en — X, la solution obtenue en donne une seconde, j ^ /( — •'^)i d'où, par suite, l'intégrale complète sous la forme
^=Cx{x) + C'x(-x).
A ce résultat il est nécessaire de joindre ceux qu'on obtient quand on remplace successivement d) par u + iK.', u + K, <;.> -4- K -f- iK.', ce qui conduit aux équations
'—^ = (ai'sn'x — i — jt' H T")T'
(ai* sn'x — i — A* + -
( '5) La première, d'après Tégalilé /(a-, w -+- /K') = ç(jr, w), a pour intégrale
et, en introduisant ces nouvelles fonctions, à savoir :
/y,(x, w) = 9(0:, w H- K), nous aurons, sous une forme semblable, pour la seconde et la troisième :
7 = Cx,(x)-^C'x.(-^),
Les expressions de Çi {x) et ;f, (jr) s'obtiennent aisément à Talde des fonctions &^{x) = &{x -h K), H|(a?) = H(x-+- K); on trouve ainsi
Nous allons en voir un premier usage dans la recherche des solutions de l'équation de Lamé par des fonctions doublement périodiques.
