VU

Nous supposons à cet effet u = o dans les équations précédentes, en exceptant toutefois celle où se trouve le terme — — qui deviendrait infini. On obtient ainsi, pour la constante //, les déterminations suivantes :

Ce sont précisément les quantités qu'on trouve en appliquant la méthode de Lamé; et en même temps nous tirons des valeurs des fonctions x{x), X^i^)'» 9i(«^)> pour = 0, les solutions auxquelles conduit son analyse:

r^Jl]llfl, r^jJP^iilf}, y-JV?ilfl ^-V>te(x)' ^-V^^0(x)' '^"V^0(x)

on, plus simplement, puisqu'on peut les multiplier par des facteurs constants, '

j = sn;r, / = cn^:, j=:dnA\

( '6) Mais une circonstance se présente maintenant, qui demande un examen attentif. On ne peut plus, en effet, déduire de ces expressions d'autres qui en soient distinctes par le changement de signe de la variable, et il faut, par suite, employer une nouvelle méthode pour obtenir l'intégrale complète. Représentons, dans ce but, la solution générale de Tune quelconque de nos trois équations, en laissant co indéterminé, par la formule

j = CF(j:, «) H- CT(— X, (ù).

Je la mettrai d'abord sous cette forme équivalente

7 = CF(x, a))-+-CT(x, — w); puis, en développant suivant les puissances croissantes de o), je ferai

F{x^ w) = Fo(x) 4- (ùF^ [a:) + a)'F2(^) -4- . . . , ce qui permettra d'écrire

j = (C + C')Fo(jr) + (o(C - C')F^ (x) -+- co»(C-i- C)F^{x) + •. . ,

ou encore

y = CoFo(x) + C,F,(ar) + wC,Fj(j:) -t- . . . , en posant, d'après la méthode de d'Âlembert,

Co = C -h C, C, = co(C - C).

Si l'on suppose maintenant u = o, on parvient à la formule

j=C„F,(ar)-f-C,F,(a-), qu'il faudra appliquer en faisant successivement

mais le calcul sera plus simple si l'on prend

( 17) ces quantités ne différant des précédentes que par des facteurs constants. Observant donc que, pour co = o, on a

rr — ï

nous obtenons immédiatement les valeurs que prennent leurs dérivées par rapport à w, dans cette hypothèse de w = o

F (:r\ - :?^ - (lirJ^'t^' ^

'*^^^ ~ 0(x) Ke(x) '^•

La solution générale de l'équation de Lamé, dans les cas particuliers que nous venons de considérer, peut donc se représenter par les formules suivantes :

i"* /i=— I — A*, J = Csn j: -h C'sn xhgj^ — ^or h

A = - I, J = C cnx ^ C cno: I ^-j - - — orj

/i = -A», ^. = Cdn^ + Cdnx[^-^x].