VIII

Un dernier point me reste à traiter avant d'aborder, au moyen des résultats qui viennent d'être obtenus, le problème de la rotation d'un corps autour d'un point fixe, dans le cas où il n'y a point de forces accélératrices. On a vu que les quantités (p(x), ;^(.r), ?i(^), /«v*^) ^^"^ '^^ produits d'une exponentielle par les fonctions périodiques

H^(o) ej^a:-h ft); H^o)H(x -f-«) H^(o) e,(x -4- «) H^(o) H.(.r -4 -fe))

H(w) 0(x) ' e(w)0(xj ' ~~H^«)e(d:)~ ' 0j[»)e(-r)'""'

développables par conséquent en séries simples de sinus et cosinus de

multiples entiers de — - Ces séries ont été données pour la première fois

par Jacobi, à l'occasion même de ses recherches sur la rotation ; et, comme l'observe Tilluslre auteur, elles sont d'une grande importance dans la H. 3

{ i8) théorie des fonctioDs elliptiques. Je vais montrer comment on peut y par* venir au moyen de l'équation suivante :

aK /.aïK

F{Xo'h x)clx -{- f F{x^-h2K-\-x)dx

F(a'o-+- 2iK'-{- a')^a: — / F{Xo'h x)dx = 2inSy

ou, les quatre intégrales étant reclilignes, S représente la somme des résidus delà fonction F{x) qui correspondent aux pôles situés à l'intérieur du rectangle dont les sommets ont pour affixes les quantités Xq, Xo+ tiK, o^^-f- aK 4- a/K', Xo -\- 2iKf. Supposons à cet effet qu'on ait :

F(j:4- 2 ¥i) = iiF{x), F{x^2i¥i') = ii/F{x),

on obtiendra la relation

F(:ro4-x)r/x — (ï — fx) I F{x^'^x)(ix =2inSy

et si Ton admet en outre que le multiplicateur |x soit égal à l'unité, on en conclura le résultat suivant :

Cela poséy soit, en désignant par n un nombre entier quelconque,

^^^^"" H(«)e(ïp ^ '

on aura

|X = I, fX =c ^

et, en limitant la constante Xq de telle sorte que le pôle unique de F{x) qui est à l'intérieur du rectangle soit x= /K', nous obtiendrons pour le résidu correspondant, et par conséquent pour S, la valeur

{ -9) De là résulte, pour Tintégrale définie, Texpression suivante ;

sin -— -(«-ha/ïiK')

et Ton voit qu'en posant l'équation

on en déduit immédiatement la détermination de „. Nous avons, en effet,

F (Xo + Jc) dxj et, par conséquent,

n TT

sin — r (»-+-2/îiK')

La constante Xq que j'ai introduite pour plus de généralité, et aussi pour éviter qu'un pôle de F(x) se trouve sur le contour d'intégration, peut maintenant sans difficulté être supposée nulle. Nous parvenons ainsi à une première formule de développement :

ir/ix

^ ^ ^ ^ sin--- «4-2 mK'

dont les trois autres résultent, comme on va le voir. Qu'on change, en effet, w en w -f- /K', on en conclura d'abord