IK/IX

^ ' ^ ' sm — [» -h (2/î -h iJiK'j

puis, en multipliant les deux membres par Teiponentielle, et posant m = 2/2 4- I,

i«/nx

^ ' ^ ' sm— - » H-//i*K )

Mettons enfin, dans les deux formules que nous venons d'établir,

w -H K à la placç de^, et Ton obtiendra les suivantes, qui nous restaient à trouver :

?.R H'(o)0,(x-|- w) __iç« ^

n H,(«)0(x) "'^ ir

Voici à leur sujet quelques remarques.

Elles sont d'une forme différente de celles de Jacobi et Ton peut s'en servir utilement dans beaucoup de questions que je ne puis aborder en ce moment. Je me contenterai, sans en faire l'étude, d'indiquer succinctement comment on en tire les sommes des séries suivantes :

innx iTtmx

où J {z) est une fonction rationnelle de sin — j7et cos— 7 sans partie entière et assujettie à la condition f{z -|-2K) = — /(z)- H suffit, en effet, d'employer la décomposition de cette fonction en éléments simples,

c'est-à-dire en termes tels que D* , pour obtenir immédiate-

sio — -- [2^- w)

ment la valeur des séries proposées, au moyen de ces deux expressions :

tnnx

yn«r ' "L ^ p.,^KH^ (o)e(x4-a>)

^^^ I — I ^ — ^« iTT — r^f — \ — >

ir H(«)e(xJ

I 8in►^,- («-i-2/iiKM I

iTtmx

vn-r ' 1. ""^ ^.?.K B'(o)H(x + >.)

"' '^ ""■^- ir e(«)e(x)

I 8in— ^ (w-i- miK') I

J'ajouterai encore qu'on retrouve les résultats de Jacobi, si l'on réunit les termes qui correspondent à des valeurs de l'indice égales et de signes

contraires. II vient ainsi, en effet, en désignant par m un nombre qu'on fera successivement pair et impair,

irmx ir.mx WfCX /WlT/K. , TTOl

—ZyT -u- 2 COS 77- COS Sin — —

Tf / ..... . îf - . ^^ f V . 'ïf

sin-— (w + iifiKM sin-— [« — /If I KM sin -- («-J-m«K') sin---.(6.--/iiiRM

2 sin — -r- sm =— COS-— r

sin -W ( » 4- /wi R' ) sin — — ( u — /w/K' ) 2R^ ' aK.^ ^ •

employons ensuite les équations de la page 85 des Fundamenia^ qui donnent :

mniK' i -+- a"*

2JV 2VC**

. iwtt/K' .1 — 7"*

Sin — =1 =-»

vrb) I — 27'" COS — -4- 7*"

sin — (w -f- m/K') sin -^ (« — m/K') = >

et nous parviendrons à cette nouvelle forme :