H = COS

/Wïr.r

s">-Tr(» -f- wiKM sin-—- w — m*K' i— 27'"cos--— -+- 7^"

4v'y" i-y- COS —

2 KL tnitx

H sin

C'est celle qu'on voit dans la lettre adressée à l'Académie | des Sciences et publiée dans les Comptes rendus du 3o juillet i84g; car, en introduisant la

constante 6 = rr;» on peut écrire

TTW —7" -f-7 '

sin— ^ =. ~ : 1

COS-=r = ^ ^

TTW

I — 29'" COS ^ + 9»'" = (i — 9"»+») (1 ç-»-»).

Mais une faute dMmpression, reproduite dans les Œuvres complètes, t. II, p. 143, et dans le Journal de Crelle, t. XXXIX, p. 297, s'est glissée dans ces formules. Les équations (3), (4), (5), (6) renferment en effet les quantités

yJq{\T~q), Vy(ï + 7')» • • • et \/q[i — q), v'7*(i — ç'), . . ., q^i doivent être remplacées par v'^9(n-ç), \/y'(i -h ^•), .. . et ^^(i — 7), \/iy*(i — 7'), .... On peut d'ailleurs parvenir par d'autres méthodes à ces résultats importants. M. Somoff les obtient en décomposant la quantité

(i — qvz) (i — g^vz] (i — q^vz), . .(i — 7t>-*z~')(i — 7*p-'2~*](i — ^^p-'j-'K . •

(3— iji^i - q^z)[l —q'z), . .[l -^ q^Z-^)[l — q*Z-'). ..

en fractions simples :

Le P. Joubert m'a communiqué la remarque qu'on peut, en suivant la même marche, partir de ces expressions finies :

z(g— 7^-*) [z — y»-^) . . . (g — q^^-^){i — q''**z){l — q^z). . .(l — q^'-*^z) (3 - y) (2 - q')...[z--q^^^){l - yz) (1 - q'z] . .(l - ly-^'î) z(g — q*-^) {z — y<-^). . .(z— y»»»-^) (i — q^-^^z) (l — y«-^^z) . . . (i — y"-^*z) ^

et faire ensuite grandir indéfiniment le nombre n.

Enfin, et en dernier lieu, je remarque qu'au moyen de la formule

F(xq -\-x)dx= ,

qui a été le point de départ de mon procédé, nous pouvons très-simplement démontrer les relations établies au § IV, p. 11 :

Jo ®'W

où a et 6 désignent, dans la première, deux racines de Téquation H'(x) = o, et dans la seconde, deux racines de l'équation Q'{x) = o. Si l'on prend, en effet, successivement

on aura |x = i et fi' différant de l'unité, sauf la supposition que nous excluons de 6 = — a. On obtient d'ailleurs, dans le premier cas,

et, dans le second,

^ - H'«(o) Vf^ '

de sorte que, sous les conditions admises^ les deux valeurs de S s'évanouissent. Cela étant, nous pouvons, dans la relation ainsi démontrée

^{Xq -h x)dx = o,

supposer a:© = o; car l'intégrale est une fonction continue de x^^ non-seulement dans le voisinage de cette valeur particulière, mais dans l'intervalle des deux parallèles à l'axe des abscisses, menées à la même distance K' au-dessus et au-dessous de cet axe.

Dans la théorie de la rotation d'un corps autour d'un point fixe O, le mouvement d'un point quelconque du solide se détermine en rapportant ce point aux axes principaux d'inertie Ox\ O/', Oz', immobiles dans le corps, mais entraînés par lui, et dont on donne la position à un instant quelconque par rapport à des axes fixes Ox, O/, Oz, le plan des x/ étant le plan invariable et l'axe Oz la perpendiculaire à ce plan. Soient donc x, j*, z les coordonnées d'un point du corps par rapport aux axes fixes, et Ç, y], Ç les coordonnées par rapport aux axes mobiles; ces quantités seront liées par les relations

x = a^ -h bri -hcÇ, X = <i'^ -+- b'fi -h c'Ç,

et la question consiste à obtenir en fonction du temps les neuf coefficients a^ b^ Cy .... Jacobi le premier en a donné une solution complète et définitive, qui offre Tune des plus belles applications de calcul à la Mécanique et ouvre en même temps des voies nouvelles dans la théorie des fonctions elliptiques. C'est à l'étude des résultats si importants découverts par l'im-

inorlel géomètre que je dois les recherches exposées dans ce travail, et tout d'abord Fintégratioii de Kéquation de Lamé, dans le cas dont je viens de m'occuper, où Ton suppose /i = i ; on va voir en effet comment la théorie de la rotation, lorsqu'il n'y a point de forces accélératrices, se trouve étroitement liée à cette équation.

Pour cela je partirai des relations suivantes, données dans le tome II du Traité de Mécanique de Poisson, p. i35 :

dfi , fin' t, , (ta" ,„ „

.^^^br-cq, - = br-cq, - = b r - c q,

db ab' , , dh'

de , de , ,, de" „ ,„

^.=aq^bp, —^aq^bp, —=aq^bp,

dans lesquelles p, g, r sont les composantes rectangulaires de la vitesse de rotation, par rapport aux mobiles Ox', O^', Oz\ Cela étant, des conditions connues

p = aa\ q = ^b% r = yc",

où a, j3^ 7 sont des constantes, on tire immédiatement Ich équations ^ = (y - P) Z»"c", f:=(a-y)c"«% ^=(|3-«)a"é", dont une première intégrale algébrique est donnée par l'égalité

et une seconde intégrale par celle-ci :

aa ' -h p6 ^ -H 7(; - = o,

5 étant une constante arbitraire. Ces quantités a, p, y, 5 sont liées aux constantes A, B, C, A, / du Mémoire de Jacobi, par les relations

elles sont donc du signe de / qui peut être positif ou négatif, comme représentant le moment d'impulsion dans le plan invariable. Dans ces deux cas, ^ sera compris entre a et y, puisqu'on suppose B compris entre A et C ;

mais j'admettrai, pour fixer les idées, que /soit positif. On voit de plus que, (fêtant une moyenne entre a, |3, 7, peut être plus grand ou plus petit que ]3 : la première hypothèse donne BA>/^, et Jacobi suppose alors A > B > C; dans la seconde, on a BA < /^, avec A < B < C; ces conditions prendront, avec nos constantes, la forme suivante :