IV

5. En comparant cette formule (TV) avec la formule (7) du chapitre (I), on aura Texpression générale du coefficient c^^^ dans le développement de rintégrale

en fraction continue.

En effet, la formule (7) du ch. I, donnant

on a

et, diaprés la formule (IV) on a

Jn 2«.n(g-t-n-l)(p-i-n-l)(tt-i-p-*-n-2) ^ov

«-^1 Jn— 1 («-♦-p-+-2n— l)(a-Hp-*-2n — 2)2(a-*-P-fr.2n — 8)'^^/

Cette formule donne les valeurs de Cg, Cj, c^,. . . ; quand à Cj, on aura sa valeur, en remarquant que c^ est le coefficient de j dans le développement de l'intégrale

suivant les puissances décroissantes de e; donc

6. Pour avoir l'expression générale du quotient incomplet g„, il suffit de remarquer que les trois fonctions T^, ^n—iy ^n— « ^**°* liées, comme cela suit de leur définition, par la relation

la fonction q^ s'obtient comme le quotient entier dans la division de T^ par T^j . Pour calculer ce quotient il suffit de connaître les deux premiers termes dans l'expression de

T^z^'-^py-'^ (10)

rangée suivant les puissances décroissantes de z et qui se déterminent aisément à l'aide de l'équation (H). En mettant pour T^ son expression (10) dans l'équation II, et égalant à zéro le coefficient de ^r^*""*, on aura

On aura de môme

OÙ

et

(tt,p)(a-i.p-2)

Un '^^^I^n rn—i—^ (a-f.p-H2n - 2)(a^P-*-2n-4)' V**/

7. L'expression (III) de la fonction T^ va nous fournir aussi l'expression de la fonction génératrice des fonctions G^T^^ G^ étant une constante.

La série de Lagrange donne, en fidsant y = e-t-hf{y)

d'où, en différentiant par rapport à ^,

Posant nous aurons

et la fonnole précédente devient

^ ^ (— 1)H ^w ^ {(I ^ ;g)tt-t-n— 1 (1 ^)^n-i ^ OU

(l-t.;i-i.yT^2^i?-H^»)^— «(l-~A-»-/l— 2^^-^^y— P 1^1 — 2A£r-*-fc2

La formule (V) donne le moyen le plus simple pour calculer les valeurs de TJg) pour ^er = -h 1, et ;8f = — 1; en posant ^ = -^-1, la formule précédente donne

Or

(1 -ftrP=;S*'' ^^""'Ka.^?.T""'^ -

Donc

-^ny^^) ^ (a^p^n — l)...(<i-i-p-*-2n — 2)

On trouvera de la mdme manière

Remarquons encore que si Ton fait a = p = 1 , la formule (V) donnera

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ce qui montre que pour a = p = 1 , la fonction ^-^-^-P^ ^) y est