X. iS* • • f
égale à la fonction X^ de Légendre, définie, comme on sait, par la formule
8. Eocpression du discriminant et de quelques autres fonctions symmêtriques de V équation TJjs) = 0, en fonction de n et des paramètres a, p.
En désignant par a;,, ^a' • * * ^n ^^^ racines de l'équation TJijs) = 0, et posant
s~ ir/-i- a?8*-t- ,
nous allons rechercher les valeurs des déterminants
Sq, s,,. . . Sj^j^
k désignant l'un des nombres 1, 2, . • • (n — 1), n
La dernière de ces quantitée
Sj , Sg , . . . .8^
est égale au discriminant
n (X^— Xjf= (X,— x^f (x^— x^\.. (oî^.j— x^
de cette équation.
Bemarquons dans ce but, que si X est une fonction entière de degré n, X^ — sa dérivée et X^^ X^,. . . X^ les fonctions de Sturm, qu'on calcule d'après les relations
X^QX^^.X,, X,^Q,X,^X,,. . .X,.=C„^,X, -Z, (13)
Q9 Cw • • Qn--2 ^**^* linéaires dans le cas général, on aura, d'après un théorème de M. Sylvester et Borchardt, en désignant par Aj^ le coefficient du terme le plus élevé dans Z^ et par x^, x^,. . . a?^ les racines de l'équation X = 0,
A^A^'''^\^i^k^^(^i-x^f'''{Xk^i-Xj)K{x^Xj^^^^
d'où il suit que
^0? ^ij • • • ^i
(Voir Serra, Cours d'dgbre supérieure T. I, pag. 570 et suivantes).
On voit donc que pour calculer ces fonctions symétriques des racines de l'équation X = 0, on n'a qu'à calculer les coefficients A^ , A^j. . . A^ dans les relations (13), ou ce qui revient au môme, de développer en fraction continue la dérivée logarithmique de X.
Passant à notre cas, nous aurons
divisant T^ par nT^^, nous obtenons
B étant une fonction entière de degré n — 2 et Q linéaire. Mettant cette valeur de T^ dans la formule (1), en y faisant
on obtient
ou, remarquant que
■ 1 I (1 -H ;»)« (1 - ^)P J^l, . <2 <?„, d;er = 0,
on aura
d'où il suit que
R=^tZ,,
A étant une constante. Donc on aura la relation
T,= QnT^l,^ATZ,...: (U)
Pour déterminer la constante A, multiplions les deux membres par
et intégrons entre les limites — 1 et -*- 1; nous aurons
En remarquant que les coefficients des termes le plus élevés dans les fonctions T^^^^ sont égaux à l'unité, on aura
J(l -^,)—^il-zf-^T„.{l-^)TZj^
= — f (1 -4- «)— ' ( 1 — ef-' T^ de
J(l H^)«(1 -zfT'^l,nQT'^Jz==
alculant toutes ces intégrales au moyen de la formule (lY), on obtient après des réductions faciles
Ainsi, nous avons dans notre cas la relation
Y Z T^> Z 4(n-l)(a-»>n~l)CP-4-fi-.l) /ii«\
£n suit«, en remplaçant dans la relation
a et ^ par a-^-l^ ^-^l» ** pu* n — il% on aura, en faisant usage de la formule i^S)
OÙ
X :as pc^HTons d«>nc écrire le sjsî<-me siiÎTant de relations
(ta)
Multiplions, en posant l^ = w, les équations du système (1 5) respectivement par
Le système (15) prendra alors évidemment la forme du système (13) et nous aurons
en général
Z^ = /j Zj, . . Ij^ 2'J!i^, ft — impair
Donc, on aura
A^ = lil^ . . l^ dans le premier cas et V
Aj^ = lJ^. . . Ij^ dans le second,
d'où il suit, dans l'un et l'autre cas
A^ A^. , . ^^k~-\ ^A= ^*= ^1 ^2 • • • '^— 1 hj les quantités Z^. . . Ij^ étant données par les formules (14 a), (14 b) et
Pour & = n, on aura la valeur du discriminant de la fonction T^
. 2^<^~^>2»3^.n>-*-l)(a-f-2)^..(a-4^-~l)^~HP-^l)(M-2)^..(p--t-^i~l^
^vT (a-+-p-*-n— 1)«— i (a-i-p-+-»)«». . .(«-♦-p-i-2n— 2)*'*— * V * "/
9. Le résultat précédent, ainsi que le théorème suivant ont été énoncés par M. Stieltyes (Yoir Comptes rendus 1885). Théorème. La fonction de n variables indépendentes
OÙ A^ = n(ir^ — Xj)^^ a et p > et a?! , aîg, . . . x^ restant entre les limites — 1 et -+- 1, atteint sa valeur maximum quaïid rCi, a;^, . . . x^ deviennent égales aux racines de l'équation
Démonstration.
Les équations qui déterminent les valeurs de x^ x^j. . . x^, correspondant au maximum de 0^ peuvent être écrites sous la forme
1^ = ou ^ =
pour % = !, 2, 3,. . . n.
Or
lg0 = a[lg(l -Ha;,)-*-. . .-.-lg(l -*-a;J]-HP[lg(l-Ha;,)-H. . .
Donc, on aura
1 , ^l8An 0
l -•- «sj 1 — teit dxk
(0 Posant
nous aurons
c'est à dire
et &isant ^e^ = a;^^, on aura
2 <p'((rji) ^a!ji-«C(
Donc
et l'équation (17) donnera
(l-a;j»)9"(a;j)-.-(a — p — (a-Hp)a;j)(p>j) =
pour fc = 1, 2, . . . w, d'où il suit que la fonction entière de degré n (l^«)<p"(^)^(a p(a-*-p)^)<p'(^)
ne difière de <^{z) que par un facteur constant. En comparant les coefficients du terme en ^**~~*, on trouve pour ce facteur la valeur — n(a -*- p -I- n — 1) et on aura pour déterminer la fonction <p(^) l'équation différentielle
identique à celle qui détermine la fonction T^{z). Remarquant enfin que deux solutions entières de cette équation ne peuvent différer que par un facteur constant, nous trouverons
ce qui achève la démonstration du théorème.
Pour avoir la valeur même du maximum de (P, remarquons que pour ff{z) = TJ^is)j d'après les formules (12), (13) et (16), on aura
Max.(P=[(lH^,)(l-*-^,). • .(1-Hcjr [(l-a;J(l-a;^. . .{l^-xjf^
=[(-ir^n(-i)r[^n(-^i)]^\
c>n(a-+-p-i-n— 1) 1.2g.3g...n^tt«(tt-i- l)«-»-^..(a-»^-l)«-*-'*--^ pP(P-*-l)P-*-^..(p-4-ft>-l)P'»-*»— 1
Oltapitre IV.
Calcul approximatif des Inté^ales.
1. Soit Q{x) une fonction quelconque de x, développable suivant les puissances ascendentes de la variable, pour toutes les valeurs comprises entre les limites a et &
Q{x) = Oq-h a^x-t-,..-*- a^„, a5*"~'-f- aj^aJ*"-^ . . .
Désignons par 0{x) l'ensemble des termes de degré ^2n — 1;
Qix) = 0ix)^a^^i>r^a^^^
Soit encore f{x) une fonction donnée, restant positive entre les liïïîites a et 6; multipliant les deux membres de Tégalité précédente par f{x)dx et intégrant, nous aurons
\f(x)Q(x)dx= \fix)0(x)dx^a^^ pVa;-i-. . .
Désignant par |^^ la n°* réduite dans le développement de l'intégrale
en fraction continue^ par ^i, ^^g^- • -^n ^^^ racines de (fjjs) et appliquant à l'intégrale du second membre la formule (H) ch. I, on obtient
OU, remarquant que on aura la formule
e, e^,. . . étant des quantités^ indépendentes de la forme de Q{x) et qui peuvent être calculées à priori.
Donc, on peut dire que la formule
[f(a.)o(^)i^= 2|jgû(.,) (i)
exacte, quand Q(x) est un polynôme de degré < 2n — 1, donne une valeur approximative de Tintégi-ale
\f{x)Q{x)dx
dans tous les autres cas et que la correction, c'est à dire la quantité qu'il faut ajouter à
pour obtenir la valeur exacte de l'intégrale est une fonction linéaire des coefficients a^^ ^«n-^-i^* ' • ^^^^ ^® développement
.sn
Q{x) = a^-f- a^x -4- agor^-f- . . -*- a^^é
les facteurs, qui multiplient ces coefficients peuvent être calculés d'avance à Taide des formules
et de cette manière on peut se rendre compte de la grandeur de l'erreur qu'on commet en prenant pour la valeur de l'intégrale
ïmaix)
t)dx
la valeur de la somme
2feêî°w-
Mais nous verrons dans la suite qu'on peut assigner deux limites entre lesquelles cette erreur est comprise, ce qui est trés*important dans les applications.
S. Avant d'aborder cette question, arrêtons nous sur quelques cas particuliers de la formule (1) remarquables à cause de leur simplicité.
a) Posons dans la formule générale
(mm
