Î') = VT
nous aurons
j dy TC it
D est facile de voir qu'en posant z = Cos w, on a
En effet, cette fonction vérifie les équations de définition
-f-i J^^=L=<p^(y)y'rfy = 0, pouri = 0, 1, 2,...(n— 1)
ou
car
9^ (Cos o) . Cos' Q (io =
I Cos no Cos' o d(o = 0, pour t < w.
Les racines de l'équation
9^(£f) = Co8no = sont données par la formule
jef^=Cos^~jp7c, i=l,2,...n.
Posant pour abréger ^^^ ic = a, on aura
jjnW) j 9n (y) ^y «^ Sina | CoBnm
hk(U) ~J (y- «<) 9n i'i) YT^^ ~ « Sin naj Cos « - <
Sina r
"^nSinna I
Cos fitt — Coi na Gos u — Go8 a
7» OUI v»« I vniD w — * vus «
Or
Cos m» — Cos «a Q.
C08«l-C08« »lïl« =
= Sinna H- 2 Cos O Sin (n — 1) an- ... -i- 2 Cos (n — 1) co Sin a. Donc
Noua avons ainsi la formule
Les quantités ^^. sont indépendentes de z^ dans ce cas; cette
]>ropriété.est caractéristique pour la fonction f(y) et n'est remplie que pour
es limites de l'intégrale étant — 1 et -+- 1.
(Y. ma note sur les quadratures. Nouvelles annales de math. 1876).
b) Posant
f(y) = yi-î^ on a
Vl—y^dy ^
g^Vg*--! 2g —
Faisant jsf = Gos o^ nous aurons
.y Siii(n-4-l)>> ^n^^J Sinw
comme il est aisé de vérifier; en effet
yi— î^9„(y)^„^(2^)dy=== Sino.Sm(n-*-l)o^^^(Coso)rf^
= I CosnG)»^j(Coso)do — I Cos(n-*-2)o^^^^(Coso)rfo=0.
Les racines de l'équation <fjz) =• sont données par la formule
posant ^ = a, on aura
^n (U) I Sin^flt Sin (n -f- 1) g Sin a ~ Sin (n -h 1) ti) Sin i ,
^ Çn'('t) I (w -»- 1) COB tic Coscd — Cos ot
n-#-l^* \n-i-iy
Nous avons ainsi la formule
\0ix)VT^:^dx = j^^^il-e^?)0iz,) (B)
donnant^ comme la précédente un résultat exact, quand 0{z) est- un polynôme de degré <2n — 1 .
c) Posant
m=Vï^y^
on a -♦-1
jV\^,-^,-r.{^-yi^y
Sin — 5 — u
9„ ('S') = 5—. poor « = Co3 o
Sin^
\^,^mx = 2|ît2(1 -^)^i^i) (C)
3. Passant maintenant à la recherche des limites de Terreur dans la formule générale des quadratures (1), nous allons nous fonder sur une formule très remarquable de M. Hermite, donnée par loi dans une lettre^ adressée à Borchardt et insérée dans le T. 84 du Journal de Borchardt.
La formule d'interpolation de Lagrange donne Texpression d'un polynôme entier de degré n — 1 dont les valeurs pour n valeurs particulières de la variable sont égales iux valeurs correspondantes d'une fonction donnée. On peut se proposer, plus généralement, de déterminer un polynôme entier 0{x) de degré a-i-p-#-YH -+-X— 1,
qui satisfasse aux a -+- p h h X conditions suivantes
Q{x) étant une fonction doniîée, et a^, a^, . . . a^ les valeurs particulières de la variable, ou autrement, de construire une courbe parabolique
qui ait avec la courbe donnée
y = Qix)
un contact d'ordre a — 1 au point a^^ d'ordre P — 1 au point a^, etc. La question est évidemment déterminée et la formule de M. Hermite donne l'expression de la différence
80Q8 une forme très propre pour la détermination des limites de Terreur qu'on commet en remplaçant la fonction Q{x) par le polynôme 0{x) dans le calcul approximatif de l'intégrale
\f{x)Q{x)0ix)dx
et nous verrons que la formule (1) n'est qu'un cas particulier des formules qu'on obtient par cette voie.
La formule de H. Hermite s'écrit comme il suit
où
Fix) = (x—a,fix—a,f. . .(a;-aj* u = {x- a^)t,-*- (a,— a^t^-*-...-t- (o^, - oJ<^-*- a„
â = («,- «xf-* («,- </- . : .(1 -t„f-'
Nous allons vérifier cette formule, en effectuant les intégrations du second membre.
Intégrant par parties^ on obtient
où
Googl^
