II
En poursuivant le môme procédé, on trouve
(a— 1)(b— 2). . .2. . .qW-*> (t>) ( g — l)(tt— 2)...2.1Q<°— »'(Wt)
OÙ
«,= (a; — Oj) <,H- (a,— a,)t,-t-. . .-+- (a„,— a„) <„-i- a„ . Donc, en désignant par ilf le second membre de la formule (2) et
on aura
^= riraf*^*''-' • • •jo^°~''W'^i^^«-^«(^)- -(3)
où
^l(^) = f(|^f^'nj^^^ • • •j«(^)^l*3
désigne, comme on voit, un polynôme entier en x de degré a — 1 .
L'intégrale multiple dans le second membre de la formule (3) est de la même forme que M^ le nombre des quantités a^ , a,i- • -a^ et le nombre d'intégrations étant diminués d'une unité.
Nous pouvons appliquer à cette intégrale la môme transformation et poursuivant ce procédé nous arrivons à la formule
0Jix) désignant un polynOme entier en x de degré a — 1 . Or, comme
Î^Jo<^>|(a;-fl„)^„H-aJ(l -tj'-^dt„
nous pouvons écrire définitivement
0{x) étant un polynOme entier en x de degré a — 1 =
a-t-^H -#-X — 1 ; observant encore que M contient comme facteur
la fonction
F(x) = {x — aJ'ix~a/...{x — aJ'
on voit immédiatemment que le polynOme 0{x) remplit toutes les conditions du problême. La formule de M. Hermite est donc démontrée.
4, Nous allons maintenant tirer de cette formule plusieurs conséquences très importantes pour le sujet qui nous occupe.
Soit 1^^ la n""* réduite de la fraction continue que donne le développement de l'intégrale
~ 77 — 0j, g B^ les racines de l'équation
et û(«) une fonction quelconque de z. Posons
O(z) = 0,{z)-^^^{z)6^^{z) où
et ^^__i(^) une fonction entière de degré n — 1. (P(i?) est un polynôme de degré 2n — 1 satisfaisant évidemment aux conditions
quand à la fonction 6^^^{0\ on peut la déterminer de sorte que les quantités ss^^ z^^* * -z^ deviennent racines doubles de l'équation
c'est à dire qu'on ait aussi
Eemarquant dans ce but que
on aura pour déterminer la fonction 0^^^{à) les n équations suivantes
c^„il^<;— ^;T(ij5 , »— 1, j,.. .n et la formule d'interpolation de Lagrange donnera
Cela posé, appliquons la formule de H. Hermite, en y faisant a = p = ... = X = 2; on aura
où
Supposant que la variable g reste entre les limites a et 6, observant que u reste évidemment toigours entre la plus petite et la plus grande des quantités m, z^, e„. . .z^, nous pouvons écrire
ûW-*W = ^^l^^ w
l désignant un nombre intermédiaire entre a et 6, et le coefficient de z^ dans l'expression de (fj^z) étant supposé égal à l'unité. Or, d'après la définition de <p^(j&), on aura
Donc, la formule (4) donne b ^^^ h
Cette formule, donnée pour la première fois par M. Markoff dans son ouvrage „Sur quelques applications des fractions continues algébriques** (en russe) St. Pétersbourg 1884, fournit l'expression du terme complémentaire de la formule (l) des quadratures approximatives. Elle montre que l'erreur qu'on commet, en prenant la somme
pour la valeur do l'intégrale
est comprise entre les deux nombres
T:r^\9nH^)f(')dz et ^£L-j^^>^,)f^,)dt,
M et m désignant la plus grande et la plus petite des valeurs que prend la dérivée d'ordre 2n de la fonction Q(js)y quand la variable parcourt l'intervalle de a à 6.
Les considérations exposées ci dessus montrent qu'on arrive à la formule des quadratures approximatives (1), en remplaçant la courbe donnée
par une courbe parabolique d'ordre 2» — 1
ayant un contact du premier ordre avec la courbe donnée dans n points, dont les abscisses -s^,, ^2»- • --^n s^^* racines de Inéquation (fj^z) = 0, pour laquelle on a
C'est en vertu de ce choix des points du contact que Tintégralo
\f{x)Q{x)dx
s'exprime par les quantités Q{b^) seules et que les termes, dépendents de QX^^) disparaissent dans l'expression approchée de l'intégrale.
5. Considérons encore le résultat auquel on arrive, en remplaçant la eourbe
par une courbe parabolique d'ordre 2n — 1
qui coupe la courbe donnée aux points a et & et la touche en w — 1 points ^1, ^2, . . .^„, dont on pourra disposer de la sorte que dans ce cas aussi les termes en û'C^e^,) disparaissent dans l'expression approchée de l'intégrale.
Posons
où
en posant 0^= a, z^= b.
On aura
Disposons ensuite de 0^^{z) de sorte que ^i, ^a? • • ^n— i ^®" viennent racines doubles de l'équation
0^{z) = Q{z) c'est à dire^ qu'on ait
ce qui est toujours possible et suffit pour déterminer 0^J^e\ comme nous avons vu dans le cas précédent.
Quand aux quantités i^i, e^y. . -^n-^v ^^^^ pouvons en disposer de manière à avoir
eo>.qui donne pour 9(0) l'expression suivante
^n— 1(^) désignant le dénominateur de la (n — 1)"* réduite dans le développement de
en fraction continue et supposant le coefficient de g dans W^^{js) égal à 1. La formule de H. Hermite donne ensuite pour toute valeur de z entre a et 6
Or
OÙ h
Donc
\Q(z)f{z)dz =
h t=sn
la fonction 9(i^) étant donnée par la formule (6).
6. On aura encore deux formules analogues, en considérant les courbes paraboliques
d'ordre 2n, ayant avec la courbe donnée un contact du premier ordre en n points -e^n ^2>- • -^n? ^^^* ^^ disposera convenablement et la coupant en outre respectivement au point a ou au point 6. Posons en premier lieu
déterminons 0^^^{z) de sorte que ^u z^^^ - -^n deviennent racines doubles de l'équation
Disposons à» z^^ z^^. , .z^^<à manière à satisfaire à la condition
ce qui donne
t/^ {z) désignant le dénominateur de la n°** réduite dans le développement de l'intégrale
avec le coefficient I du terme en z^
Posant, comme plus haut
m==jf(y)^^^^'dy
et appliquant la formule de M. Hermite, on aura
I^'°W-if^,[«')('-«)'7.'W<fa . . .(9)
En raisonnant d'une manière tout à fait analogue, on trouve, en posant
VJ^g) — désignant le dénominateur de la n"** réduite dans le développement de l'intégrale
avec le eoefficient 1 du terme en ^*, et
m=jf(y)^^^^'dy,
la formule suivante b
1. Les formules (5), (7), (9), (11) mettent en évidence les quatres inégalités suivantes, données par M. Harkoff dans l'ouvrage cité plus haut.
Dénotant toujours par ^{z) la fonction liée à <f{a) par la formule
et conservant les notations précédentes, on aura
1) Posant
\Q{z)f{z)dz>^^^Çl(z^)...... (D
si Q^^^Xz) > 0, pour toutes les valeurs de z entre a et h.
2) Pour
ff(z) = {z — a){z-h)W^__,{z) = {z — z>)(z—z,)...{z — z^ Wz)f{z)àz < ^^yQi'i) (H)
^0 *•? *^fi
~ 85 — sons la même condition
Q^^\js) > 0, pour a<0<h.
Les inégalités I et n se changent en égalités^ quand Q(z) est un polynôme entier de degré <2n — 1 .
3) Pour
sous la condition
0(«-*-i) (^) -v, Q^ pour d <: / < 6.
4) Pour
[o(^) A^)<fo < 2|7|So(^<) (iv)
BOUS la même condition
Les inégalités m et IV se changent en égalités, quand Q(z) est un polynôme de degré < 2«.
8. Il importe de remarquer que les coefficients de Q{is^) dans toutes les quatre formules précédentes sont des nombres positifs.
A l'égard de la formule I cela résulte du théorème 4, eh.I; dans la formule II, nous avons
<p'(o) — j i^y) (y - «) 9' («) ^y — j i^y> {b - «> tf„, («) ^y
Ces nombres sont positifs, en vertu du théorème 6, ch. I; nous avons ensuite
9' M ~j '^^ (^i- a) P> - zi) (y - Mi) W^^,(Mi) "^y^ a
ce nombre est positif, comme on le voit d'après le théorème 4, ch. I, en y changeant f\y) par f(y) {y — a) (b—y) et remarquant que a<iz. <&. On se persuade de la même manière, à Taide des théorèmes 4 et 5, ch. I, que les coefficients dans les formules III et IV sont aussi positifs.
9. Nous donnerons, en terminant ce chapitre, les expressions explicites des polynômes (P(-?), 0^{z\ 0^{z\ 0J^z) dont nous nous sommes servis en établissant les formules des quadratures approchées, en laissant les quantités ^i, ^2j- • -^«j racines doubles des équations
0{z) = Q{z\ 0^{z) = 0(4 etc.
tout à fait arbitraires.
Tous ces polynômes s'expriment linéairement par les quantités Q{z^y Qr\z^ et la manière la plus simple pour arriver à leur expressions explicites est de prendre pour point de départ la formule d'interpolation de Lagrange et de rechercher la limite de la somme de deux termes, en fiiisant tendre vers zéro la différence entre les deux racines correspondantes.
Ainsi, pour avoir l'expression du polynôme 0{z) de degré 2n — 1 , satisfaisant aux conditions
pour i= 1, 2y. . .n, nous l'écrirons sous la forme
(2>(.) = Lim.2[(7:=|^)Û(^.)-(7=1^0(Ç*)] d^) pour ^i=%49 où
Posant on aura
En substituant ces expressions dans la formule (12) et passant à la limite s = 0, on trouve sans peine
Or, à la limite
où
et la fonniile précédente donne
-ÎC(7=W(rJ('-'^«'W m
t'ai
On trouve de la même manière pour le polynôme 0i{e) de dégjé 2n — 1, satisfaisant aaz conditions
â>^(a) = O(0), 0,(6) = 0(i) <P,(^,)=Û(«^, â>/(ir,) = û'(^^
pour « = 1, 2, . . .(w — 1), l'expression suivante
où
Enfin, le polynôme 0^e) de degré 2n, satis&isant aux conditions
pour « = 1, 2, . . .n, aura l'expression
2[i?4wïsJS[|M«-^.)^!lo(-,W«-«Jo'w](15)
»=1 où
Ohapltre "V.
Sar les valeors limites des intégrales.
1, Dans un mémoire, inséré dans le ^Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville, 1874* M. Tchébicheff révéla une question sur la recherche des valeurs limites des intégrales qui peut être énoncée de la manière suivante:
Etant données les valeurs des ji. -♦- 1 intégrales
f{y) dy, j f{y) ydy,.. :\ f{y) t dy,
fiy) désignant une fonction inconnue, continue ou discontinue, assujetie seulement à la condition de ne pas devenir négative entre les limites a et 6, il s'agit de trouver le maximum et le minimum de la valeur de l'intégrale
f{y)dy
X étant un nombre quelconque donné, compris entre a et b.
En généralisant encore la question, on peut demander, en conservant les mômes données, de trouver le maximum et le minimum de rintégrale
Q(y)f(îf)dy
Qr{y) étant une fonction donnée quelconque, continue entre les limites a et 6, et assujétie à quelques restrictions concernant les signes de ses dérivées des différents ordres
Q{y), Q\y\ û'^t/),- .Û^'^^'Uy), pour a<2/<6.
Cette question a été résolue pour la première fois par M. Markoff dans Touvrage jcité plus haut. Nous allons exposer ici la solution de cette question, en conservant au fond les mômes principes sur lesquels repose la résolution de M. Markoff, mais en simplifiant les démonstrations et l'exposition des résultats définitifs, à l'aide des considérations exposées au ch. I.
Comme la fonction f{y) peut être discontinue, nous n'exclurons pas du système des valeurs de l'intégrale
ftiy)mdy
parmi lesquelles il s'agit de rechercher la plus grande et la plus petite, celles qui correspondent à la supposition que f{y) soit égale à pour toutes les valeurs de y entre a et 6, à l'exception d'un certain nombre fini de valeurs iz^i, a;^,. . .^„, pour lesquelles f(jf) devient infinie de la sorte que
Lim. f{y)dy — m^., pour e = 0,
m^ étant un nombre fini positif.
La valeur correspondante de l'intégrale
QW{y)dy
est alors représentée par la somme
x^y x^,. . .x^ étant celles des quantités a?!, a?2, . . .a?^ qui ne surpassent pas X.
Pour abréger le langage, nous considérerons les éléments de l'intégrale
f{y)dy
comme masses des points situés sur une droite ^5 et les diverses valeurs de y comme distances de ces points à un point donné 0, en &isant correspondre les points A^ X, 5, aux valeurs
Les données du problème
«0= \f(lf)dy, «1= f(y)ydx, . . .a^= \f(2f)y^dy
seront alors la masse de la droite AB et les moments des divers ordres de cette masse, en convenant' de comprendre sous le nom de moment d^ordre k de la masse d'un système de points rangés en ligne droite, par rapport au point 0, la somme des produits de la masse de chaque point par la k"^ puissance de la distance de ce point au point 0.
Dans le cas de û(y)= 1, c'est donc le maximum et le minimum de la masse
\mdy
du segment AX qu'il s'agit de trouver.
2. Indiquons^ avant d'entrer dans les détails de la recherche, la marche que nous aurons à suivre.
Figurons nous qu'on ait concentré la masse de la droite entière AB dans un certain nombre de points isolés, parmi lesquels se trouve aussi le point donné X et proposons nous de déterminer les distances ^19 ^s)* * '^ifc ^^ ces points au point et les masses correspondantes
de :1a sorte que les données du problême conservent leurs valeurs, c'est à dire qu'on ait
le f
Parmi le nombre infini de ces concentrations nous ne considérerons que celles, où le nombre des quantités inconnues x^j m^ est égal au nombre des équations de condition.
Nous étudierons ensuite les conditions de possibilité de ces concentrations et nous donnerons les valeurs de l'intégrale
Q(y)f{y)dy
qui leur correspondent. Nous démontrerons enfin que ces valeurs sont précisément les maxima et minima cherchés.
Nous allons distinguer deux cas du problême; dans le premier le nombre de données est impair, dans le second — pair.
