n—1) D AE
égale à la fonction X, de Légendre, définie, comme on sait, par la formule $ 1 is n Pioheehtoe Di +
8, Expression du discriminant et de quelques autres fonctions symmétriques de l'équation T, (2) = 0, en fonction de n et des paramètres a, B.
En désignant par %,, %,,... x, les racines de l’équation Te) = 0, et posant
ce qui montre que pour &« = 8 — 1], la fonction
i i r S—= LH Dh... EL,
nous allons rechercher les valeurs des déterminants
k désignant l’un des nombres 1, 2,...(n—1), n.
VD LE à de nn TEE dE BL iS. ls de PT DS, VU CCS NI RP ER, MUR ME 1 0 NE + hd 0 Se dE RTL Qt AE OS Me AO QUE RON 7 VAE Pa, sé Li y h rt re a à A Fe »n ù en ‘y LUE
Me te
La dernière de ces quantités
S S S Me 12 27 n n— Sp—1? Sn NT Son—2
est égale au discriminant fr) (2) x) (4, — a)
de cette équation.
Remarquons dans ce but, que si X est une fonction entière de dégré n, X, — sa dérivée et X,, X,,... ZX, les fonctions de Sturm, qu’on caleule d’après les relations |
X=QX;—X,, X,=Q, X,—X;,. ra Xp Qn ST (15)
Q, Q,,... Q,, étant linéaires dans le cas général, on aura, d’après un théorème de M. Sylvester et Borchardt, en désignant par À, le coefficient du terme le plus élevé dans X, et par x, Ta,... &, les racines de l'équation X — 0,
AP A... A7, X,=Z(t-x)...(2, . —2,).(x—2,,.)...(x—x,)
d’où 1l suit que
0 9 + et + © © © © © + ©
Sp 19 Spy 9,29
d'AMD A is. (14)
(Voir Serret, Cours d’algère supérieure T. I, pag. 570 et suivantes).
ee ai SANT PR dx vtr DEN: AE FAC EE A DM PRE LE os Pe Frs HET SR
On voit donc que pour calculer ces fonctions symétriques des racines de l'équation X — 0, on n’a qu’à calculer les coefficients À.,, A4,,... À, dans les relations (13), ou ce qui revient au même, de développer en fraction continue la derivée logarithmique de X.
enr à notre cas, nous aurons
X=T,, mn nr
nu (1) divisant Z,, par n T,., nous obtenons TROT SENTE n NA
À étant une fonction entière de dégré n — 2 et Q linéaire. Mettant cette valeur de 7, dans la formule (1), en y faisant
on obtient
+ 1 Ja + Y(1—Ÿ(nQT" +R), .dé—=0
ou, remarquant que
+1 Ja +) (1— PT .00,,de—0, SN on aura + 1 Ja + 2) (1 — PRO, .de 0 A d’où 1l suit que ) RARE
TR = ec
SET: à A À étant une constante. Donc on aura la relation
re (1) Le On TRE À RUE
Pour déterminer la constante À, multiplions les deux membres par
ERA) Te | de
et intégrons entre les limites —:1 et + 1; nous aurons + É | J (A+ (TT. (A2) TO, de
= [a (AE) she n Q Ta da et
+1 dl | (1 + 2% (1 — 2 [T,,F de.
sa En remarquant que les coefficients des termes le plus élevés dans les fonctions T°” sont égaux à l’unité, on aura
HE en (le 2) T 42
(12 TE de
Î (Aa) (1 — PTT nQTO , de =
=[a + ol Tr Ps;
calculant toutes ces intégrales au moyen de la formule (IV), on obtient après des réductions faciles
AE Afn—1) (a+ n —1)(3+n—1) TU RH rIMn SIEGE Lin 2}
Ainsi, nous avons dans notre cas la relation
X—QX,—X,, où X=T,, gi 14
X,— 1 T® De Afn—l)(an—1)($+n"n—1) (44 a)
n2% 3 (a+ 2n—3)(at$r2n—2) En suite, en remplaçant dans la relation
T TT, ,, —c,,,T
NHE2 Qn-+2 n +1 n+2 nn
a et B par al, f+], n par #—k, on aura, en faisant usage de la formule (8)
(1) (1) the 1h 4e qu. k+-2 4, —h4i — dy RE où RES Afn—k+-1) (a+-n—%+1) (8+-n—k%+-1) (a+-8+n—%+1) .(44 b) k (a+ 2n—2%+-1) (a-+-fB+9n—92%+2) (a+-B+2n—92%+8) * pour £ = 3.
Nous pouvons donc écrire le système suivant de relations : (1) (1) 1,= QT, il L, ES * (1) () (1) F5.
SR TR SE PA FORTE UN { (15) | i @) a) a Ur US 3 T' n—k+2 n—k+2 Lise k+1 lg L n—k | :
D ,DTa (1 TL = TI, |
jo
DAS EL D RE Re ent
Ai, ON Re 1 D De) Ve PTE
NE
Multiplions, en posant /, = n, les équations du systême (15) respectivement par
