RE TR TRES

en général

PO ENA e e se k — impair Xi pie Rs pair à

Donc, on aura

A,—=tl, ..1, dans le premier cas

et A,=tl,... 1, dans le second,

d’où 1l suit, dans l’un et l’autre cas : ASE le PÉDALE PES A OR DAS

les quantités 4,... 4, étant données par les formules (14 a), (14 b) et =.

Pour £—n, on aura la valeur du discriminant de la fonction 7,

A 20 D 22.83. na 1)at-2). (an 1) 1(6+1)8-+-2).. (8-01) 1 ( 1 6)

n (a+B-n—1)t L(ar-B-n)t.. .(a+B+2n—2}1—2

9, Le résultat précédent, ainsi que le théorème suivant ont été enoncés par M. Stieltyes (Voir Comptes rendus 1885), Théorème. La fonction de x variables indépendentes

D(a,,2,...2,)—= (1-2). ..(1+x,) (1x. ..(1—x PA,

où À, = Il(x,—x,), & et 8 0 et à, &,,... 2, restant entre les limites — 1 et + 1, attemt sa valeur maximum quand x,, &,,... æ, deviennent égales aux racines de l'équation

F2 T° jee RE, 4 x, ME PR L (rs as y ne EN RES. ii ae LP ae Re ess D

Démonstration.

Les équations qui déterminent les valeurs de 2, 4,,... 2, corréspondant au maximum de ®, peuvent être écrites sous la forme

a Dig DE RIRES, ou EE A La

pour £ — 1, 2, 3,.

IgB—=aflg(i+s)+...+lg(l+x)] +Pflg(1+x)+..

+lg(l+x,)|+ Isa.

Donc, on aura

» 8. lg A» … RS RE AT (en D) EE + [a —$— (a+ 82] =0,....(17) DEAR TS NT 4 RE D

Posant pU)—=(e—2)(e—%)...(e—2,) __- œ(e) Ÿ (e) Ts à Doséhétions 1 N Dis (22) (é

(—apr?(—p( N 1 el

nous aurons

c’est à dire

et faisant 2—%,, on aura

(2) Donc 01g An ___ 9"(xr) (xp) :

OR 9 et l'équation (17) donnera ;

LE DN(a+-Ê+-n—1) 1.2

Site

pour # — 1ÿ 2,...n,-d'où il suit que la fonction entière de dégré » (A—a)p" (+ (a —8—(«+8)2)p" (+)

ne diffère de œ(z) que par un facteur constant. En comparant les coeffcients du terme en 2°", on trouve pour ce facteur la valeur —n(a+B+n— 1) et on aura pour déterminer la fonction o(2) l’équation différentielle

identique à celle qui détermine la fonction 7, (2). Remarquant enfin que deux solutions entières de cette équation ne peuvent différer que par un facteur constant, nous trouverons

. ce qui achève la démonstration du théorème.

Pour avoir la valeur même du maximum de ®, remarquons que pour p(e) = T,(+), d’après les formules (12), (13) et (16), on aura Max. Œ=[(1+4,)(1+x,).. .(1+4,)l [(—x,) (1x). (1-4) A, =[(— 1) 7, DIT, DA,

(a Ben — 1 BRL (on) PNB On —2)2 ++ In —2

Se = Na +N—T) IL: (or 10 T1 (Br — 1) FT —1 de (18) is F= 1

(e+-B+-n-r— 2) HR HN T2

2,83,.nla%{o+ 1)2 F1. (a-n— 1) HN I BB (BL... (Ben —1)8 +0 —1