LA FA | A
SSREANTE
en fraction continue, par 4,, #,...2, les racines de o,(z) et appliquant à l'intégrale du second membre la formule (14) ch. I, on obtient
i=N | | n i) on Jr (x) Q (x) dx — à TT D(z,) + a, | 2" f(&) dx +... a rm
ou, remarquant que
ln Ê% on aura la formule
Jroatare tt Q(2)H ae Ha, Er...
e, €,,... étant des quantités, indépendentes de la forme de Q{x) et qui peuvent être calculées à priori.
Donc, on peut dire que la formule
in
fre ur Sao PR ER NES (1)
exacte, quand Q(x) est un polynôme de dégré <2n— 1, donne une valeur approximative de l’intégrale
b Jrwot) da
dans tous les autres cas et que la correction, c’est à dire la quantité qu’il faut ajouter à | i=n | Un (85) Bt Q(2.)
Pr! (2 ÿ) DEA lee
pour obtenir la valeur exacte de l'intégrale est une fonction linéaire
des coefficients a,,, 4,,,,,°:-+ dans le développement
9 on QT) QE UE EUR SE LAN.
les facteurs, qui multiplient ces coefficients peuvent être calculés d'avance à l’aide des formules
__ | en+i S Un (85) ,en+1 e. -j: f(x) dx Sat a de
0 0 0 00 ee ae © ee + 0 + © + 0e + + + +
et de cette manière on peut Se rendre compte de la grandeur de l’erreur qu’on commet en prenant pour la valeur de l’intégrale
fre Q (x) dx
la valeur de la somme
In
Zion ÿn = 1 Q(2,).
Mais nous verrons dans la suite qu’on peut assigner deux limites entre lesquelles cette erreur est comprise, ce qui est trés important dans les applications.
à, Avant d'aborder cette question, arrêtons nous sur quelques cas particuliers de la formule (1) remarquables à cause de leur simplicité.
a) Posons dans la formule générale à
Pico, LES | [ f(y) dy | AC is : ae = NN Rest a—=—1, b—=+I1 nous aurons + 1 & we dy EE T & 24 Ha ë re MI MN Vel 2 (Vs 1) 6 — 1 | :
- 2 Se T a T je | | DA rise 1 Tue D 1 LE MINCE = Rue ARE.
Il est facile de voir qu’en posant z — Cosw, on a SEE 2 0, (2) = Cos na.
7 + x En effet, cette fonction vérifie les équations de définition : : EL à 6 . PT RÉ À J free an = 0, pour 10: ï; 2,...(n—1) ES mr Eee | ou RE T
Je. (Cos o). Cos’ o do = 0
À car 4 T ) Ë Joue Cos’o dw — 0, pour à < n.
70) Les racines de l'équation p, (4) = Cosno — 0 sont données par la formule
2,= Cos À = #7 j—1, 2.
, # — 1 Posant pour abrégér —— x = «, on aura n
— 1] T — nSnne Cos © — Cos «
Cos no — Cos na
Cos © — Cos « Sin a —
Un (25) ee Pn (y) dy av Sin & Pn' (26) (y — 25) En’ (&5) V 1 — y? n Sin na
Sin & Cos now — Cos na (1)
Cos no do Cos © — Cos &
= Sin na + 2 Cos o Sin(n — l)ax+...+ 2 Cos(n — 1) w Sin «&.
Donc
Pn (£i) n Sin na
Nous avons ainsi la formule + 1 free =: S D (2) se Re 2,= Cos Tir.
ALORS JSinne.do= 3
+ ee « e
AU
Yn(ei) n'(&i) propriété est ne pour la fonction f(y) et n’est remplie que
pour
Les quantités = sont indépendentes de z, dans ce cas; cette
fD= =
es limites de l'intégrale étant — 1 et +1.
(V. ma note sur les quadratures. Nouvelles annales de math.
-b) Posant 1Y=VIi-Y . On à +- 1 Vi—g dy T UT Z2—Y REV Le 2e (se — Vs 1) — ] — de ee té 22 — : AA :
Faisant z — Cos ©, nous aurons
Sin (n + 1) w Pa a — Sin ©
comme 1l est aisé de vérifier; en effet
“A1 —ÿ 0,(y) 0, (y) fs" o.Sin(n+1)00,, (Coso) do
LE [cn no 0, .(Cos wo) do — 1 (n+2)00,.(Coso)do—0.
. Les racines de l’équation @,(2) — 0 sont données par la formule
1T DU = Vos, i—1,2,...n
do
iT posant == — «, on aura
Va (25) __ Sin? & Sin (n + 1) « Sin à — Sin (n + luSme | n+ 1) Cosir
Cos © — Cos «
RE à T * 9 iT = 34150 x)
Nous avons ainsi la formule
donnant, comme la précédente un résultat exact, quand @(+) est un
few ide SG—:0(). Res ie
it RE a = Vos
polynôme de dégré < 2n — 1.
c) Posant
On Go) AT Qin° ÎT Es 27 A2 Pn'(£i) 2n+1 2n+-1 2n+1 ‘ 4
fo =, |
. 2n+1 Sin 5 , pour z=Coso Sin © 2it ne Cos 2n+-1
+ 1 AR à. i=N TARDE vou - me DU #8)... (© CAFE 2,= Vos
3, Passant maintenant à la recherche des limites de l'erreur dans la formule générale des quadratures (1), nous allons nous fonder sur une formule trés remarquable de M. Hermite, donnée par lui dans une lettre, adressée à Borchardt et insérée dans le T, 84 du Journal de Borchardt.
La formule d’interpolation de Lagrange donne nn d’un polynôme entier de dégré n—-1 dont les valeurs pour »# valeurs particulières de la variable sont égales aux valeurs correspondantes d’une fonction donnée. On peut se proposer, plus généralement, de déterminer un polynôme entier D{x) de dégré a + B+y+—...+A—], qui satisfasse aux & + 8 +... + À conditions suivantes
Da) = Q (a), PD'(a)= À (a),...B 0 (a) = A (a) D(a,) = Q (a), D'(a) = Q'(a),... BP (a) = QÊT (a)
+ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 0 0 0 ee © ee © © © © + ©
D(a)= Q(a,), P'(a,)=%(a,),... DM (a,)—= QT (a)
Q{x) étant une fonction donnée, et a,, &,,...@, les valeurs particulières de la variable, ou autrement, de construire une courbe para-
bolique y = D)
qui ait avec la courbe donnée y = Q(x)
un contact d'ordre «— 1 au point a,, d'ordre $—1 au point «,, etc. La question est évidemment déterminée et la formule de M. Hermite donne l’expression de la différence
Me de
sous une forme trés propre pour la détermination des limites de Her reur qu’on commet en remplaçant la fonction Q(x) par le polynôme D(x) dans le caleul approximatif de l'intégrale
b | f(æ) @ (6) D (0 dx
et nous verrons que la formule (1) n’est qu’un cas particulier des formules qu’on obtient par cette vole.
La formule de M. Hermite s’écrit comme 1l suit
Q(x)— D(x) = TT . EU rot] dt ja RE forums (2)
où F(a)=(x— a) (x — a)... (x — a)
n 1. a) bi, + a
0 = (y — ) (ls— te: .… T6: +) C—=a+B+...+À.
Nous allons vérifier cette formule, en effectuant les intégrations du second membre.
Intégrant par parties, on obtient
L ( Je t,%—1Q(5—1) (9) er) SE “à Jo (1) = y = (ut) dt 0 0
où
D—(a—a,)il,+...+(a
NT = a) + a
RQ LR
En poursuivant le même procédé, on trouve
SN 8410 (01) (>) %— à;
Je® (u) (es Le dt F5, LE
eue re ue Role lens re-e ce ent
LG I)(@—2..21007T0 un).
(x — a )* où.
HR G)E RE (ad) Ne (a St a.
Done, en désignant par A le second membre de la formule (2) et posant
tn (Le 0 Gt) 20, Fa=(@—a)...({“—a), F&—=(@—a)#,(x)
or) Vo) Oo) nt a—1Q (6 (y)
on aura
M= she fe es [ 6% (u,) 0 dy — D, (2). (8)
où
in
D, (x) — SL na 10 Je (x) 0, dt,
désigne, comme on voit, un polynôme entier en x de dégré o — 1. -L’intégrale multiple dans le second membre de la formule (3) est de la même forme que M, le nombre des quantités a, , a,,...a et le nombre d’intégrations étant diminués d’une unité.
halo
Nous pouvons appliquer à cette intégrale la même transformation et poursuivant ce procédé nous arrivons à la formule
EN rs ner fav, (@ —a,)t,+a, }( Re di, — D, (x)
(x) désignant un polynôme entier en x de dégré go — |]. Or, comme A. & rat [a tx —a,)t,+ a, (1 — at ‘dé,
n —1Q(À—1) —Q(x) — Q(a,)—(z—a,)Q'(a,) —.. ne (on OU on)
