D (2) = -| FRERE

la formule suivante

Î Q (2) fe) de = à i=n+1 ë D er ED + robes D fe — 0 Fe (à) de. (11)

PRE nm DA! Se QE

7. Les formules (5), (7), (9), (11) mettent en évidence les quatres inégalités suivantes, données par M. Markoff dans l’ouvrage cité plus haut.

Dénotant toujours par d(2) la fonction liée à o(z) par la formule

ÿ(@) -fros (y) 2880 y

et conservant les notations précédentes, on aura 1) Posant

PO = REG — 6). (e—4,) D A | Q(af(ade> D “ TRES RAS (D) 9—=1

si Q(2) > 0, pour toutes les valeurs de z entre a et b. 2) Pour

pE)=(G—a)e-0W, ,G@=(t-4)Ee—-2)...(6—2,)

2 =" Je (2) f(e) de < SO (e) RER (I) i—=0 / |

CRT EE

sous la même condition OM (2) 0, pour a L4 € 0.

Les inégalités I et IT se changent en égalités, gene Q(z:) est un polynôme entier de dégré < 2n —1.

3) Pour

PE — 0) UE) = G—4) (4)... —2,) b

Je (2) fe) di > See RON SRE CAE RENE Cl (III)

Zo—= (4A sous la condition 2 OP (DE 0, * pour & ce AU, 4) Pour |

GED EG 2)... 2) b

i=Nn +1 [e (2) fe) de < 2 mo CA DENe (IV) PE

sous la même condition ON DE ON a a b:

Les mégalités III et IV se changent en eus quand Q(2) est un polynôme de dégré < 2n.

8, Il importe de remarquer que les coefficients de Q(z,) dans toutes les quatre formules précédentes sont des nombres positifs.

Le pus

À l’égard de la formule I cela résulte du théorème 4, ch. I; dans la formule IT, nous avons

(o —y) Wn 1 (9) or PE (a) dy =fro ( — 4) Fa a) dy ; b( (y — à) Wn__:1 (y) fret 6 — a) Wa 6) 17:

Ces nombres sont positifs, en vertu du théorème 6, ch. I; nous avons ensuite |

ÿ (25) er à = jose 2ÿ— à) (Oo — 25) (y — 25) W'n 1(#5) dy;

ce nombre est positif, comme on le voit d'aprés Le théorème #, ch. I, en y changeant f{y) par {(y) (y — a) (b—y) et remarquant que a <<z,<b.

On se persuade de la même manière, à l’aide des théorèmes 4 et 5, ch. I, que les coefficients dans les formules LIT et IV sont aussi positifs.

9. Nous donnerons, en terminant ce chapitre, les expressions explicites des polynômes (2), D,(2), D,(2), D.(e) dont nous nous sommes servis en établissant les formules des quadratures approchées, en laissant les quantités z,, &,...2., racines doubles des équations

D(=Q(:), D(—Q(e), ete.

tout à fait arbitraires.

Tous ces polynômes s'expriment en par les quantités Q(z,), Q'(2,) et la manière la plus simple pour arriver à leur expressions explicites est de prendre pour point de départ la formule d’interpolation de Lagrange et de rechercher la limite de la somme de deux termes, en faisant tendre vers zéro la différence entre les MÈLES racines correspondantes.

on aura

ES 87 — Aïnsi, pour avoir l’expression du polynôme ®(2) . dégré 2n— 1, satisfaisant aux conditions D()=Q(:), D(4)—=Q/ (2) pour è— 1, 2,...n, nous l’écrirons sous la forme

D(e)= Lim. env 306) + etat 2(4)] (19

pour z,—6,, où

& (2) = (2 — 2) CSC fie; Posant ste, (6) —(—2) (6 —%) 4 (0)

o (2) = — €, (4), o EU 4 CD ie Q(É)—=Q()+eQ (2) +..

En substituant ces expressions dans la formule (12) et passant

. à la limite s — 0, on trouve sans peine

D (2) — ne (1 —( CEA Fa (s)

> Dune — 0 209)

Or, à la limite @= (22) où pP—=(z— 4) — 2). ..(e—2,),

dônc-®° : AO HE EE AR PE) =? (2) LL be)=?()9()

et la formule précédente donne

2Q= Dre lotte la)

+ Et CRAN ARENA (13)

On trouve de la même manière pour le polynôme ®.(2) de dégré 2n — 1, satisfaisant aux conditions |

D, (a) = Q (a), PB, (b) — A () P, (2,)— Q (&,), D, (,) eu (4,) . pour = Î, 2,...(n — 1), l'expression suivante

Dale ti-e-15)ete-2)0/ 0]

+lehvol i20+ nl 20 (9

où

Enfin, le polynôme ®,(2) de dégré 2n, satisfaisant aux conditions D, (a) = Q (a)

.n, aura Pexpression

Ne 2