Chapitre V

Sur les valeurs limites des intégrales.

1. Dans un mémoire, inséré dans le ,Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville, 1874“ M. Tehébicheff révéla une question sur la recherche des valeurs limites des intégrales qui peut être enoncée de la manière suivante:

Etant données les valeurs des pu + 1 mtégrales

b b fr (y) dy, fr (y) ydy,. [rs (y)y° dy,

f(y) désignant une fonction inconnue, continue ou discontinue, assujetie seulement à la condition de ne pas devenir négative entre les limites a& et b, 1l s’agit de trouver le maximum et le minimum de la valeur de l’intégrale |

Jr (y) dy

æ étant un nombre quelconque donné, compris entre a et b.

En généralisant encore la question, on peut demander, en conservant les mêmes données, de trouver le maximum et le minimum de l'intégrale

Je (y) f (y) dy

@(y) étant une fonction donnée quelconque, continue entre les limites & et b, et assujétie à quelques restrictions concernant les signes de ses derivées des différents ordres

Q (y), Q'(y), Q”(y),.. QT (y), pour a < y < b.

Cette question a été résolue pour la première fois par M. Markoff dans l’ouvrage cité plus haut. Nous allons exposer ici la solution de cette question, en conservant au fond les mêmes principes sur lesquels repose la résolution de M. Markoff, mais en simplifiant les démonstrations et l’exposition des résultats définitifs, à l’aide des considérations exposées au ch. I.

Comme la fonction f(y) peut être discontinue, nous n exclurons pas du système des valeurs de l’intégrale

| Q (y) f (y) dy a END parmi lesquelles il s’agit de rechercher la plus grande et la plus petite, celles qui correspondent à la supposition que f(y) soit égale à O pour toutes les valeurs de y entre a et b, à l’exception d’un certain nombre fini de valeurs 4, 4,,...4,, pour lesquelles (y) devient infinie de la sorte que | , Li TE do. dy=M,, pour e— 0, Re M, étant un nombre fini positif.

La valeur correspondante de l'intégrale

Jewrwa :

est alors représentée par la somme

Bi Case + ©, étant celles des quantités x,, &,,...4%, qui ne surpassent pas x. :

l’intégrale b ne | fr Qu) dy & ,

comme masses des points situés sur une droïte AB et les diverses va-

leurs de y comme distances de ces points à un point donné O, en fai-

sant correspondre les points À, X, B, aux valeurs

Les données du problême .

b b b A [ro dy, = Jrovas 0, = fra dy

seront alors la masse de la droite AB et les moments des divers

ordres de cette masse, en convenant de comprendre sous le nom de moment d'ordre k de la masse d’un système de points rangés en ligne droite, par rapport au point 0, la somme des produits de la masse

de chaque point par la #*° puissance de la distance de ce point au

-point 0.

Dans le cas de Q(y) = 1, c’est donc le maximum et le mini-

mum de la masse 4 HH

| F9) dy

du segment ÀAX qu’il s’agit de trouver.

Pour abréger le langage, nous considérerons les éléments de

2, Indiquons, avant d'entrer dans les détails de la recherche, la marche que nous aurons à suivre.

Figurons nous qu’on ait concentré la masse de la droite entière AB dans un certain nombre de points isolés, parmi lesquels se trouve aussi le point donné X et proposons nous de déterminer les distances Lan, Le « 2, Àe ces points au point Ô et les masses correspondantes

M, Moy » e My,

de la sorte ae les données du problême EAN a valeurs, c’est à dire qu’on ait

k + Dore | fo) dy= a, À : (22 ms frroa—e Jk F (4

x mal =|# F0) dy = a.

Le |

Parmi le nombre infini de ces concentrations nous ne considérerons que celles, où le nombre des quantités inconnues x,, #”, est égal au nombre des équations de condition.

Nous étudierons ensuite les conditions de possibilité de ces concentrations et nous donnerons les valeurs de l'intégrale

Jooroa

qui leur correspondent. Nous démontrerons enfin que ces valeurs sont précisement les maxima et minima cherchés.

COR NET TE CR ST D AC ATV ete 2 RE AE R R de et ANS A RS ES AT gt M ARE INT ES DR RS D RE PS CT RE DR 0 AN ND à REP ATERES (de RER RES Ur SR er PASS FE Cr Te DRE Al ME NES RO RE EN OT TRS:

Nous allons distinguer deux cas du problême; dans le premier le nombre de données est impair, dans le second — pair.

SL CUS, L— 2m.

Te données sont

b b b = [rt dy, a= Jura, a, = | y" 1 (y) dy œ (a

en nombre impair 2n + 1.

Il est facile de voir que dans ce cas 1l n’existe que deux concentrations pour lesquelles le nombre des inconnues est égal à celui des équations de condition, savoir :

1) La concentration dans le point X et dans n autres points, où les inconnues sont la masse du point X—», et les 2x quantités m,, æ, Qui déterminent les masses et Les distances des » autres points, en tout 2n +1 imconnues qu’on trouve en résolvant le systême de 2n+1 équations

2) La concentration dans les trois points 4, X, B (y—a, y—x, y — b) et dans n— 1 autres points, où les inconnues sont les masses m»,, m,, M, des points À, X, B et les 2n—2 quantités M,,%, qui déterminent les masses et les distances des autres points qu’on .

trouve en résolvant le systême de 2-1 équations

n—1 k ke Rs a M, + % m,+ D x, M, A}, AD ae ol pa

SD, 1,2 00h

IT cas, p— 2n —- 1.

PS Rgedse

Les données sont

b Joue ford... |# "ro.

en nombre pair 2n. | Les seules concentrations, où le nombre des inconnues est égal à celui des équations de condition sont ici:

1) La concentration dans les points À et X (y— «a, y—x) et dans »—1 autres points, où les inconnues sont les masses m,, m, des points À et Xetles 2n —2 quantités m,, x, qui déterminent les masses et les distances des autres points, en tout 2 inconnues qu’on trouve en résolvant le système de 2» équations

n—1 k k Ro (4 A mn, + un nm, + D X, UPS Œy, + +. + © + « oe (3)

2) La concentration dans les points X et B (y—x, y — b) et dans #— 1 autres points, où les inconnues sont les masses », et m, des points X et B et 2n—2 quantités »,,x, déterminant les masses et les distances des autres points, en tout 2n inconnues qu’on trouve en résolvant le systême de 2n équations

k k RAR dm, + 0m, + Du ES US (4)

RQ ont.

Pour que ces concentrations soient possibles, il faut et il suffit que toutes les quantités æ,, vérifiant les systêmes d’équations correspondantes, soient comprises entre les limites & et b et que tous les nombres »,, m,, Mm,, M, SOlent POsItifs.

4, Résolution du systéme (1) et conditions de possibilité de la première concentration du premier cas.

LE DE lee AN NP ER AE ANR +

Soit o(z) une fonction entière de z de dégré n +- 1, satisfaisant | aux conditions

@) —0, Jroeu 6. (pdy=0........(#)

qui la détérminent, à un facteur constant prés, au moyen de Go Use e + Lop

Nous savons d’aprés le théorème (2) généralisé du de I que toutes les racmes de l’équation

sont réelles, inégales et que de toutes ces racines il n’y à qu'une seule qui puisse tomber en déhors des limites a et b. Désignons ces racines par

T, Y;, Las e 4

En désignant par Q (y) une fonction entière de dégré <2n, on aura par la formule de Lagrange

00 = 5e 00 + D os QG) + 9 (W) 8 (9), 1 : #3 =

O (y) étant une fonction entière de dégré <n—1. Intégrant entre les limites & et b, aprés avoir multiplié par f (y) dy, 1 vient, en vertu de l’équation (x)

[ecroar = o(

OÙ

d (2) ja OÙ y < eP?E — e) dy IN EN SRE (æ)

PE Se An Posant successivement Q (y) a F, Y; ,. . Y”

on aura le systême d’égalités

ñn

k 7, | kŸ (x) NT 4% (&) ] FO = re + 2% de) (27

ji:

qui, comparé avec le systême d'équations (1), donne les valeurs suivantes des masses inconnues

Les quantités «, se déterminent comme racines de l'équation

Il est trés facile d'exprimer la fonction © (2) par les données du problême.

Désignant, comme plus haut, par

respectivement les dénominateurs de la n°° réduite dans les développements en fraction continue des intégrales

b b free fes=nv 2—Yy ? Z2— œ œ on satisfaira évidemment à la condition (x), en posant p(2) = A(a—a) U, (2) + Be — 0) V,(d....... (B)

À et B étant imdépendentes de z.

papes

La condition œ (x) — 0 donne ur pour È rapport des con- EME À et B

SU de TON: LULU, (@— 0) Vh(t) (x — a) Un (x)

Donc, on pourra poser

D (2) — da Ia @— «0, (@—0) Ve)

Les fonctions U, (2), V,(2) Que être calculées à l’aide des quantités &,, &,,...@,,; Sans qu’on connaisse la fonction f (y), comme nous avons déja remarqué ou #° 11 ch. I. ù

La fonction 4 (2) peut évidemment s'exprimer par les mêmes quantites, la fonction o(y) étant connue, comme on voit d’aprés le An | de définition (æ’).

En passant à la recherche des conditions de possibilité de la 1° concentration, c’est à dire des conditions sous lesquelles

1) tous les nombres #, sont compris entre a et b, 2) tous les nombres »,, m, sont positifs,

convenons d’abord, pour plus de simplicité, en introduisant dans nos calculs les dénominateurs des réduites des diverses fractions conti-. nues, de faire le coefficient du terme le plus élevé de ces fonctions égal à l’unité ou à un nombre positif quelconque. En vertu de cette convention, que nous retenons pour tout ce qui suit, en nous rappelant que toutes les racines des fonctions

PC) De), V,(e), W,()

sont comprises entre les limites «& et b, nous aurons toujours des résultats positifs en substituant la limite supérieure b au lieu de Ja variable z dans toutes ces fonctions et un résultat de signe (—-1)" en y substituant la limite inférieure a. | Cela posé, on voit que pour satisfaire à la première de deux conditions enoncées ci-dessus, il faut et il suffit que les quantités

et # 26

soient de même signe, car alors la seule racine de o(2) qui pouvait tomber en déhors des limites a et b, tombera nécessairement entre ces deux limites.

Or, d'aprés la formule I-a

(— 1 pa) =(— DT (x — a) (0 — a) V, (a) U, (x) PO)= (@ — 0) @— 0) U, (GP, (x).

Done, observant que pour à < x < b (@—D)(@ — a) U,(0) <0 (1) (&— 4)6— a), (a) <0

on voit que (— 1}!

nombres

œ(«) et p(b) sont de même signe, quand les

à On () et W,(x)

Sont eux mêmes de même signe.

Quand à la seconde condition que »,,,m, soient positifs, on voit, d'aprés le théorème 4 ch. I géneralisé, qu elle est satisfaite par nt même. Done, l’unique condition de possibilité el la E concentration

du I cas consiste en ce

U,(&). et V,(&)

soient des quantités de même signe.

En la supposant satisfaite et désignant les ragines de ?() rangées Suivant l'or dre de leur grandeur par

née. Kat LL TL LU, , RENTREE

nous aurons pour les valeurs de l’intégrale

Jr (y) Q (y) dy

ë de. he DES NL res étendue sur le segment AX, les formules (x) (æ) Tj d (æ | fr (y) Q (y) f (y) = 2: ES a6)+Y2 0) Free (A) ou | Joe (y) dy = 3e ORNE Paie. (B) a

selon qu’on rapporte le point X au segment AX ou au segment XB de la droite AB.

3, Résolution du système (2) et conditions de possibilité de la seconde concentration du premier cas.

Composons une fonction entière de dégré n + 2

p(2)— A,(2— a)(z—0D)(e—x)(e —2,)...(—x, ) satisfaisant aux conditions

p(a) = 0, p(b)—0, p(x) — 0 et

| fee, .(gdy—=0............ (y)

Pour toute fonction Q (y) entière de dégré < 2» on aura, comme précédemment, la formule

Je (y) 1 (y) dy —

D b Q (a) + O0) En + (0) LE

où b D (2) — | fo) 2 DL ay.

Posant successivement

O (y) = 1, Y; Ye . AS

on obtient un système d’égalités qui, comparé avec le RE (2), donne les expressions suivantes des masses

M = my +0 m0 m, = * Gi) @ ZX

p'(&)) 5 px)

Les quantités x, se déterminent comme racines de l’équation

(2) à PEN NP ONCE end

La fonction @(2) s’exprime facilement par les données du problême; en effet, posant

on aura, pour déterminer la fonction entière w(z) de dégré », les équations

On satisfaira à la première, en posant

(2) = AU, (2) + BV, (2)

et la seconde donne

Donc, on pourra prendre

U,(&), V,() pe) = (&— a) (8 — b)

Toutes les racines de w(z) sont réelles, inégales et iln’y a qu’une seule de ces racines qui puisse tomber en déhors des limites a et b, ce qui suit du théorème 2 généralisé du ch. I et ce qu’on peut d’ailleurs vérifier directement en ayant égard à la distribution des racines des fonctions U, (+), V,(2) établie par le théorème 7 du ch. L | Passant à la recherche des conditions de possibilité de la seconde concentration, on voit facilement qu’elles se réduisent aux conditions: 1) que (—1)"o(a) et w(b) soient de même signe, ce qui entraîne comme conséquence que toutes les quantités %,, %,,...%, , 80 trou-

vent entre Les limites a et b, et | 4

2) que AG) et ÿ ()

p'(a) pb) rt Ti ne pouvant être a en effet, désignant par x, une

racine quelconque de w (2) (sans exclure la racine x), on aura

“les autres quantités

sl œ (y) A a) —y) w(y) dy fi TV EU AU Dr Josh 28

et appliquant le théorème 4 généralisé du ch. I, en " enr f(y) par f (y) (y—a) (b— y), on vort immédiatement que © es a 0. Remarquant que (— 1)" 0 (a) = ee (a) + BV, (a)} © (6) = AU, (b) + BV. (b) :

et que Fe (— 1) 7, (a), (— DU, (a), U,0), V, ()

Sont positifs, on voit que la première de deux conditions, enoncées ei dessus, est satisfaite quand À et B ont le 1 même signe, € "est à à dire, quand

U, (x) et (x)

sont de signes différents.