DE 0 00 ] D PEN UE
Lg ab Re PORT PUR <S MAL UE RS, LAS
Posant, comme plus haut
vu=Jrontste Re
on trouvera, absolument comme dans les cas précédents, que les masses inconnues du système (3) s’expriment par les formules
Va) te) © va.
et les distances x, se déterminent comme racines de l’équation
(2) | th
Posant
on aura, pour la détermination de la fonction entière w (2) de dégré n, les conditions b
fre (2 — a)w (2) 0, ,(e) de = 0 (44 :
Oo (x) — 0.
On satisfaira à la première en posant
®,(z) désignant comme toujours le dénominateur de la n°° réduite dans le développement de l'intégrale
je LU
et W,,(e)— le dénominateur de la (n—1)" réduite dans le déve- | É loppement de l'intégrale Le è LT
b frussss y) dy 2 —7y (47
en fraction continue.
-L’équation w (x) — 0 donne ensuite
AE RL B (— x) Wn: (x) Pn (%)
. en sorte qu’on peut prendre
EE AR CR A Pan Pa / à A RTE Ne Cr es à 7 | e,0 «57, ©
Les fonctions p,(2), W,,.(2) dune être calculées à l’aide des données &,) &,,..-œ du “problème, comme nous avons remarqué au #° 10 du ch. I. | st
Les conditions de possibilité de cette concentration se réduisent, comme il est facile de voir, aux deux suivantes:
1) que CT 1)” (a) et © (b) soient de même signe,
2) que 2 soit >> 0. La mine est satisfaite quand
Pr (G@) se, W,,:@)
sont des quantités de même signe, comme on voit d'aprés l'expression même de o (2).
Ensuite, on a
F ge O y — An DE EANe 1 () Fe af y) = a (4) dy Joss = F6 — à An BED, 0
même, quand
Jose
il vient |
; b Ÿ(G)__ — BE Wn-i(a) @) pa) — re frac ne n—1.\ D):
L'intégrale d second membre étant positive, d'aprés le théorème 6 du ch. I, et æ,(a) et W,.(a) étant de signes contraires, on voit
que le nombre A est positif quand À et B où, ce qui revient au
p,(@&) et W a
sont de même signe. RS
Aïnsi, l’unique condition de possibilité de la première En
pe tion du IT cas consiste en ce ie
e@ à W,,(@) soient de même Signe.
En désignant par
DEL de De CU jo 0 TR
les racines de l’équation
rangées suivant l’ordre de leur grandeur, on aura pour les valeurs de l’intégrale
| 0 ()f(p dy
L=nTUSTee
correspondantes à cette concentration, les formules
| Q (nf (o) dy = PQ (a+ D O (x) +000). () feorma=3t jeun)
selon qu’on rapporte le point X au segment AX ou au segment XB.
4. Résolution du systéme (4) et conditions de possibilité de la seconde concentration du II cas.
Considérons une fonction entière de dégré n + 1
(2) = A,(e—0)(2—x)(e —x,)...(e—x%, ) satisfaisant aux conditions p(b)=0, p(x) = 0, frost 0, ,(@) de = 0 ....() Posant, comme e1 dessus
vo frustst à
on trouve de la même manière, comme dans les cas précédents, pour les masses »,, m,, m, les valeurs
La fonction o(z2), comme on s’assure aisément par des considérations analogues à celles dont on se servait en traitant les cas précedents, aura la forme
où © DE = A9, (e) RUB (aa ) AE ON SE M 72 (@ — à) Wy__1 (x) Er — Pn (€)
d’où 1l suit qu'on pourra prendre
o(2) = (2 —b) ne IC
or (x), GE a) W n—1 (&)
Les conditions de possibilité de cette concentration sont: 1) que (— 1)" o(a) et w(b)—soient de même signe,
Ÿ (b) 2) que 90) soit > (0.
La première est satisfaite quand - est >> 0, c’est à dire, quand
o,(x) et W, (x)
sont de signes différents, et sous la même condition se sera > 0,
car
b BP Wisit Wa -frostar ge An RE five (y— RU) ed dy (47
est positive pour LE O0, d’aprés le théorème 6 du ch. [.
Ainsi, l’unique condition de possibilité de la seconde concentration du IT cas, consiste en ce que les quantités
œ,(x) et | Pr tt)
soient de signes contraires.
Cette condition est directement opposée à la rs de possibilité de la première concentration du même cas. Les valeurs correspondantes de l’intégrale L
Jeuroa sont ici æ L ; | Jour u= Ye e)+28 00 … 0) ou | Q (y) f (y) dy =D ee ONE che (H) | 1 : sas
selon qu’on rapporte le point X au segment AX ou au segment XB, Di, Le + .@, Aésignant celles des racines de ©(z) qui ne surpassent pas æ.
8, Cas particulier du probléme: maxima et minima de l'intégrale D Je (y) (y) dy.
Avant de poursuivre la discussion du problême général, arrêtons nous un moment sur le cas particulier où 1l s’agit de OU les maxima et minima de l’intégrale
Je (y) f (y) dy
la limite supérieure étant égale à b, et la fonction Q (y) assujetie à la seule condition que la dérivée QT (y) d'ordre égal au nombre de données -
DT b L b Ay— | f(y) dy, = |urod, a = [#0 dy
ne devienne négative entre les limites a et b. Il est facile de voir que, dans ce cas particulier, la question est
complètement résolue par les inégalités I-—TV du n° 7 ch. IV.
En effet, considérons par exemple l’inégalité I b Ne ra | Ufydy> SEM)
pour ae) BU a Le pe) = 9, ()
et 2, &,...2, désignant les racines de o, (2). | Cette mégalité se changeant en égalité quand Q (2) est un polynôme entier de dégré £ 2n—1, on aura
b ñn k Né bd,r LE.
; Jo f (y) dy — DA pour k—=0;1,2,...(2n— 1).
d | 1 | | Tous les coefficients étant positifs, ces égalités montrent que dans le cas d’un nombre pair de données &,, &,,...0,, ., 1l est
possible de concentrer la masse de la droite AB dans les » points RANCE DE ct La valeur de l’intégrale à | | Q (y) f (y) dy
correspondante à cette concentration, sera précisement égale au second membre de l’inégalité I et cette inégalité elle même montre que cette valeur est le #inimum de l’intégrale considérée.
Les mêmes considérations étant applicables aux trois autres inégalités du même »°, nous pouvons énoncer les résultats suivants:
Désignant toujours par (2) la fonction liée à œ(z) par la formule b
= [non 2228 ay
par Q (2) une fonction quelconque, continue entre les limites @ et b et telle que
QT (270 pour 4€ 20 et supposant qu’on donne les valeurs
b b = | fo dy a — |y1(y)dy,.. a,= [fond
f (y) restant positive entre a et b, on aura pour déterminer les maxima et minima de l’imtégrale
Je (y) f (y) dy
= les formules suivantes:
Es 29e + +2, étant les racines de l’équation
pe) = ?,(2) = 0.
b 1=n Je WF dyz À 2e (NYÉA CE RÉTRN ASS Il 1—=0 a
293 215 La5e +2, étant les racines de l’équation
plz) —(2—a)( —0) W,.(2 = 0.
b)u—=2n fowrnaz Sytac oies PS YNSLTE i—=0
Lo 215 495...2, étant les racines de l'équation p(e) = — a) U, (9) = 0.
b i=Nn+1 | Q (y) f (y) dy < 2 . a as. IV
Bis &...2,,, étant les racines de l’équation
BE
9, Les quatres inégalités précédentes, en y posant Q (y) = y
donnent le moyen d’assigner les limites entre lesquelles on ads choisir arbitrairement dans les exemples numériques la valeur de
PR = |" { (y) dy
d'uté T d ÉTUER CE! DL NOT NIUE M, Par SE EC 7 MANS 71 ET ROS EE ARTE LES get RME EN; a PRES NS PER | PRIX. MER RP r. SENTE TRE ù as * No RE LB 4 E Cr Fr e pe L > à Les > ee
Lee
ayant déjà choisi convenablement les quantités
Us Air Ugpee Le,
Supposons par exemple qu’on veuille trouver les limites entre lesquelles on puisse prendre arbitrairement la valeur de
b ds = [> { (y) dy
ayant déjà fixé convenablement les valeurs de &,, &,, æ..
Remarquons en premier lieu qu'ayant pris pour «, une quantité positive quelconque, on aura pour la limitation de «, les inégalités évidentes ;
= [yfonay<ve, et a au,
Ayant fixé les valeurs de «, et œ,, on aura pour la limitation de a, , en faisant usage des inégalites I et IT, en y posant
les formules suivantes :
D’aprés la formule I
Y, (8) ‘a f En D Tree où D, (2) —2—24, et b £ [F0 G— aps = 0
3 ones mec A à * . *
SRE ES RES
no front d’où il vient |
(Male .
. La formule IL donne d’autre part
| HAL 2 Te TT LUE pe — a)(e— 0, g(e) = 22 — a — 0 dO=E—-c+dare d’où il vient |
, £ (a+ 0) a, — abs. Ne at)
Ayant choisi les valeurs de &,, «,, &,, on applique les foules LIT et IV pour limiter la valeur de «,, en . posant
+ Are 8)
On aura d'aprés la formule III
o(&)—(2— a)(2— 2) SE
Jroc-oe-sæ=0,
ce qui donne
a,—(a+2)a+aa,z, = 0 — ax DE Le L Mes 572 Dot
so frutsse dy = (e— 0 — 4) a+
d’où il vient
Lo %2— %? 3 (a)— aa)
> PR ave PE nee en Es Gr (a, — 24 «+ a?) (a — AK)
— d,— 248, + da, :
ou, en réduisant
La formule IV donne d’autre part
&o (0? &2) — D a (bay — 42) D bas — y
Oz < 10. Revenant à la discussion du problême général, nous allons + démontrer que si la fonction Q(y), ainsi que ses dérivèes Q’(y), Q"(y),...QF 0 (y) ne deviennent jamais négatives entre les limites a et b de la variable, les valeurs de l'intégrale
Je (y) { (y) dy,
fournies par les formules (4)—(/Æ) des nn° 4—7, sont les valeurs maxima et minima de cette intégrale.
Nous allons nous appuyer dans cette démonstration sur un théorème algèbrique trés simple, donné par M. Markoff dans l’ouvrage cité plus haut.
Théorème. Q(z) étant une fonction quelconque de z, continue entre les limites a et b, (b >> a), assujetie seulement aux conditions
SE
pour a < 2 << b, D(z) — un polynôme entier de dégré » et c—une quantité quelconque, située entre a et b, le nombre de racines de l'équation |
comprises entre les limites a et c, augmenté du nombre de racines de l’équation D(z) = 0
comprises entre c et b, ne peut surpasser le nombre 9 + 1.
Démonstration.
Soient 4, Z3,. . .&, les racines de l’équation
situées dans l'intervalle «—c et rangées suivant l’ordre de grandeurs
croissantes | BL TK Ugo LLC; soient aussi
; ; ; Va) Dis ” LES les racimes de l’équation D(2) = 0
situées dans l’intervalle c—b et rangées aussi suivant l’ordre de grandeurs croissantes
CE D ET ee CO EAU.
Il s’agit de démontrer que IH k<m+ I.
Observons dans ce but que dans nos suppositions l’équation D'(2) = À(e) aura /—1 racines entre «, et x, que nous désignerons par
DL La Le Lys,
et l’équation | Fa. Er
&— 1 racines / / > / Dire < D'yyge pe Ly44
entre æ,,, et«,,,. Dans le cas où Q'(2) est constamment égale à zéro dans l’intervalle a—b, le théorème est évident, car on aura dans ce cas { + & — 2 racines de l’équation
| D'(z) = 0 de dégré » — 1, donc
l+k—2<m—Il ou l+k<m+l.
Dans le cas général où Q'(2)> 0, il est facile de voir que l’équation D'(2)—= 0
aura encore une racine entre æ,, et #,,..
En effet, &,, étant racine de l’équation
D'(2) = Q(2) on à Dr, = 0 (0) > 0; e Si on supposait que ®’(2) reste > 0 pour toutes les valeurs de z entre #’,, etæ,,,, ®(e) serait toujours croissante dans cet intervalle, ce qui est impossible, car
P(x)=Q(x) > 0 œ (&,,,) = 0, et y, < Ly< Pie Donc, ®'(2) doit changer de signe dans cet intervalle et l’équation | D'(2) = 0
aura au moins une racine #’,,, entreæ, ,etæ,,.. Il est ainsi démontré que l’équation | D(2 = 0:
Re aura âü moins k racines 4 / | / D y LD 42° °° <% 4h ! , , .
entre &,, et æ,,,. D’aprés cela l’équation
D" () ER oo (2) | aura / — 2 racines € /! !J // D LB ce LT y,
entre x,’ et 4’,, et l'équation
D'(2) = 0 k — 1 racines me Cyr << D'un entre d',,, 6 ®,,3 Dans le cas où Q”(2) est constamment nulle entre « et b, le théorème est démontré, car alors l’équation
D'(2) —0, de dégré » — 2, aura en tout 1-6 — 3 racines, donc l+k—3<m—2 où l+k<m+li.
Dans le cas général, où Q”(2)> 0, on verra absolument comme ci dessus que l’équation ®”(:)—0 aura encore une racine entre " / 9 A Q = // / œ y, 0 Div ( est à dire en tout & racines entre æ ,, et &,,7- En poursuivant le même raisonnement, on trouve que dans le cas généra] l’équation |
DIT (e) = 0 de dégré m +- 1 —}, aura au moins # racines, donc
k<mæ+1l—T où l+k<m+l C<qt. à.
AO
11. Il est facile maintenant, en appliquant convenablement ce - théorème, de démontrer que les valeurs de l’intégrale
fewroay
correspondantes aux diverses concentrations, que nous avons considerées aux nn° 4—7, sont les valeurs maxima et minima de cette intégrale.
I cas, pu. — 2n.
a) 1° concentration
Î TOOL ED re QE) +... (A) ou È ki | CG dy= De Q(r) .......... (B) | 1
Da Bee 0 à LU LB LU Tee LE, étant les racines de l’équation p(e)= 0,
où p(z) est une fonction entière de dégré n + 1, définie par les équations
b Jro D) 7 AUTO) OEM REERR (a)
(x) = 0, et
ven frac 2 ® dx
Le second membre de la formule (4) peut être représenté sous la forme AP
b | f(e) ®, (2) dz
où k
+ (2) (2) DO Dee ren 60 + pe 20)
où encore, en vertu de l’équation (a), sous la forme plus générale
b Î fe) &, (de où 2) — 8, (+000, (6)
On voit d'aprés la forme même de la fonction D,(z) qu’elle est une fonction entière de dégré 2», que %,, %,...4,, & Sont racines de l’équation
* ° , , e OÙ My, Up,05e + &, l'acines de l’équation Te) 0.
Or, on peut disposer de la fonction entière arbitraire @,.(z) de dégré n — 1, de manière à vérifier les n conditions suivantes:
DT ROUE 1 22h D'(t)=0, i=k+1l,k+2,...n.
En effet, ayant
on doit poser pour satisfaire à ces conditions,
Q' ) == D} ‘ à | MAD i= |], A3 . k et
0, .(&)= — a, dk l,...n.
La formule d’interpolation de Lagrange donnera ensuite l’expression du polynôme @,.(e).
Cela posé, les quantités
D Tan Le seront racines doubles de l’équation
PB, (a) = Q(e) et
Vpsis Vyysse y racines doubles de l’équation D, (2) — 0.
Il est facile de voir que le D ATOMe D.(z) ainsi formé satisfait aux inégalités suivantes:
D,(2)Z7 Q (2), pour a Lz2<x D,(2)=0,.; pour x <z<b.
En effet, l’équation D, (2) —Q(e) ayant Æ racines doubles entre a et x et une racine simple z = x et l’équation D, (2) = 0
n — k racines doubles entre x et b, le polynôme ®. () étant de dégré 2n et 26 + 1+ 2(n—k)— 2n + 1, nous concluons, en vertu du théorème précédent, que toutes lés racines des équations |
dans les intervalles respectifs de aàæet dexà b, sont déja énumerées. La seule racine simple de D (2) —Q(z2) est 2 —x; pour les valeurs de z entre æ et æ,,,, la différence
D,(#) — Q(2) est <O, car | Bi) — IG) =—0(%.,,)< 0
done, pour les valeurs de z moindres que x, D,(2)—Q(2) est > 0
et ne change pas de signe dans tout l’intervalle entre a et x, toutes les autres racines étant doubles. ;
D, (e), étant positive pour & < 2 L%,,,, reste positive dans tout l'intervalle de + à b.
Aïnsi, on voit que
D,(z)Z Q (2), pour a <Lz<%X B,(2Z20, pourx <ze<b.
Il suit de ce qui précéde que
x x d fe f() de < | B,()fC)de <| @,(e)f (ds.
@ C’est à dire
Ua
fouroe < Sie
d’où 1l suit que la valeur (À) correspondante à la 1° concentration est le maximum de notre intégrale.
Passant à la considération de la formule (B), ou voit d’abord que le second membre de cette formule peut être représenté par l’intégrale
b Jrosoa (42 où D, (2) = D, (9 + p(2)8, (6) D, (2) étant donné 1e1 par la formule : (e) ae A AO Lee Les quantités %,, %,,.-.æ, sont racines de l’équation D,()=Q() OÙ %, %p,,, @,,..%,—Tacines de l'équation D, (2) = 0.
On pourra, comme dans le cas précédent, déterminer 4, .(e) de manière que %,, Æ,...æ, deviennent racines doubles de la-première de ces équations etæ, ,,, Tr + - + y TACNES doubles de la seconde.
La quantité x sera racine simple de l’équation
En vertu du théorème du n° précédent, nous concluons que la différence B,(e) —Q(2)
ne changera point de signe dans l’intervalle entre « et x et comme D, (x) —Q (x) = —Q(x) < 0,
D,(z)—Q(2) restera négative pour toutes les valeurs de z entre a etx.
D'autre part, ®, (2) étant positive pour æ, < 2 < x, car PB, (x,) = Q(x,) > 0
et changeant de signe quand 2 passe par la valeur +, on aura
D, (2) < 0, pour x < 2 < b.
Donc D,(&)<Q (a), pour a <z<%
®D, (2) < 0, pour æ << 2 < b.
D'où il suit que
æ x b | fo oGd> Î BG f()dr> | ®, (D f(e)d2
c’est à dire
l food > DE o(r)
. ce qui fait voir que la valeur (B) correspondante à la première concentration, quand on rapporte le point X au segment XP, est le m1nimum de notre intégrale.
Le maximum et le minimum fournis par les formules (4) et (B) correspondent, comme la première concentration elle même, au cas où
U, (æ) et. F,(@) sont de même signe.
12. Des considérations entièrement analogues aux précédentes s'appliquent à la discussion de la seconde concentration du 1° cas et des deux concentrations du second (u— 2#— 1) et nous pouvons les exposer Succimtement, sans entrer dans tous les détails.
I cas, p = 2n. | b) Seconde concentration k Jporea=2à > at) +480. 0 a ; | ou Ho es Ÿ (x) Jroraaæ= % 6 9 (a) + SE06) es QD) œ
GEL < Lg « LT LM, <. RE RE en étant les racines de l’équation p(e)= 0
où @ (2) est une fonction entière de dégré n + 2, définie par les conditions
b L | PP GNOME EEE (8)
Composons un DE entier ®D,(z) de dégré 2n, d'aprés la formule
D, (2) = PB, (2) + op (2) Ge) où o (6) e (a. ta D = EE hmou+S, ar UN dr De TR) 2)
et déterminons la fonction &,,,(2) d'aprés les n — 1 conditions
OH) NOUS BEEN Tr a Dj(t)—=0, pour ik+l1,k+2,...(n —1).
=: La quantité x est racine simple de l’équation ;
Cette équation aura les racines simples à et & et x racines doub-
Les entre & et x. L’équation | | | D, (2) = 0 | aura la racine simple b et 7 — 1 — % racines doubles entre x et b. ‘ Observant que pour 2 <2<%,,, 7 | 0<D,(:) <Q (+),
ou trouve, à l’aide du théorème du n° 10, que
D,(2)ZQ (2), pour a <L2<% et - B,(2 70, pour <z<bD.
# D'où il vient œ & b
| Q (2) f(e) de < ] D (e) (a) de < | Œ, (a) f(e) de.
Or D
b | Je (2) (a) de = [a (2) f (2) de.
Done £: D ; ; z
k feore d<o (+ DE
Gi) a d (x)
ce qui montre que la valeur (C) est le maximum de notre intégrale.
TR I QE PE Er PR ER AE RER PE RETURN DE D PRE RSS TE PEER, “ENS 7 PE cs E> NP Fe L' Lares È
e A AT PE 5 à QE Po Eee
Formant en second lieu un polynôme ®,(+) de dégré 2n, d’aprés la formule
D,(2) = Be) + p(2)0,,(e), où k
BA = 5e 20 + DT
qui diffère de ®, (+) en ce que x est racine simple de l’équation ®, @) 0 au lieu d’être racine de l’équation B,(e) = Q (2), ou verra de la même manière que D,(z)<Q(2) pour a 2 <%X D, (&) < 0 pour 4 < 8 <b.
D'où 1l suit que
æ b b | OF) > ®,()f(e)de = - D (ft de
k (a) ar 20 + De
c’est à dire que la valeur (D) est le minimum de notre intégrale. Le maximum et le minimum trouvés correspondent, comme la seconde concentration elle même, au cas où
U,(x) et V,(x)
sont de signes contraires. :
IT cas, p— 2n — 1 a) 1 concentration
[ Q (2) f(e) de — L Fe à @ (a) + D Te Q (x,) + e Q(x)..(E)
CE 1 a
ou
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CCD PNA et Er ARR PME PRE
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DR LT TL Lg, LT
étant les racines de la fonction entière o (+) de dégré n + 1, définie par les conditions
