SE PE
En effet, les fonctions (2), @.(4),... (2) étant respectivement de dégré 0, 1,... n, toute fonction entière @(z) de dégré » peut être représentée sous la forme
D D Edo it A0)
À;, A:,... À, étant des constantes.
Supposant que
Jeu, orwa—e
et mettant pour @,,(y) successivement
Po(Y), D, (9), . . .p, (y)
nous aurons en vertu de (12)
b 4. [fo ao, dù 40 (4
pour 2— 0, 1, 2,...(n—1).
Done (y) — A,®,(y) ce q. f. d.
4, Nous allons établir maintenant les propriétés principales des fonctions œ,(2) et d,(z) qui découlent très simplement de l’équation de définition (11). Nous désignerons dans tout ce qui suit par O,.(2) une fonction entière arbitraire de z, de dégré £
Théorème 2. Toutes les racines de l’équation
sont réelles, inégales et comprises entre les limites a et 0. Pour le démontrer, supposons en premier lieu que l’équation
ait une ragine imaginaire
la racine conjuguée sera
= a — $ V—1, et P,() = (e— a) + FT D (2)
D(2) désignant une fonction entière de dégré n — 2. Posant dans l’équation (11) 0 @) = PB(y),
nous aurons b fro to — a+ #10 a ay = 0
ce qui est impossible, tous les éléments de l’intégrale étant positifs. Supposant en second lieu, que o,(z) admette une racine double réelle, nous aurons
(2) étant une fonction entière de dégrén—2; posant 9, (y) = #(y), on aura d’après l’équation (11)
b Jro w- 8 way 0
ce qui est impossible. 7 ; Supposons en fin qu’il existe une ragine réelle y plus grande que 5 b ou plus petite que a; nous aurons
qu) = (— 1) D (2),
> Ft : ù PRE REA E à
D(z) étant une fonction entière de dégré n—1; faisant 9, (y) —&(y), l’équation (11) donne
b Jro 0 — 0 & way =
ce qui est impossible, tous les éléments de l'intégrale étant de même signe dans l’un et l’autre cas.
Done, le théorème enoncé est démontré.
Remarque. Il est important de remarquer que la démonstration de l’impossibilité d’une racine imaginaire où d’une racine double n’exige pas que la fonction ®,(y) satisfasse à l'équation
b fr (y) ®, (y) 2, (y) dy = 0,
pour toute fonction entière 4, (+) de dégré n — 1; il suffit que la fonction @,(2) satisfasse à l’équation
bd Jros.we,.od=t
équivalente au système de » — 1 équations
b b ob Jro PA (9) dy=0, force PA (9) dy = 0... Jr P, (9) dy=0. -@
Les mêmes conditions suffüraient, si on voulait établir l’impossibillité de deux où d’un plus grand nombre de racines réelles en déhors des limites a et b. Aïnsi nous pouvons enoncer un théorème plus général que le précedent, savoir:
Va
Si (2) est une fdnotiof ere de A n, Satisfaisant à la
condition b
Jr (y) ? (y) 2, , (u) dy = 0 (a l'équation p(e) = 0 aura toutes ses racines réelles, inégales ef ne pourra avoir qu’une
seule racine en déhors des limites «& et b. L'expression générale des fonctions o(2) auxquelles se rapporte ce théorème est
p— 498, + Be, (6)
A et B étant des constantes.
Théorème 3. D(z) désignant une fonction entière de dégré Z Z = 9n- — 1], on
aura i=N f (y) D (y) dy — 24 en D (&) le 21, 4. -. 2, étant les racines de œ,(2) et p'(2) désignant la déri-
vée de o,(e). | Cette formule importante donne, comme on voit, l’expression de l’intégrale
b Î f (y) D(y) dy
au moyen de n valeurs particulières de la fonction @(y).
Pour la démontrer, désignons par 4, . (y) le quotient et par r(y) le reste de la division de 2(y) par @, (y). a On aura
BD=%, 00, +70) r(y) étant de dégré n — 1. |
Le
LAID en Pour Be ê ? rG)= 92 (2).
D’après la formule d’interpolation de Lagrange, on aura LS Ç Pn (y) LUS 2 G = à on tp (Gi) RE
Mettant cette valeur de »(y) dans l'équation
(y) = 9, (y) On @)+r, (9),
| nil par f(y)dy et intégrant entre les limités « et b, on aura, en vertu des formules (11) et (8)
(=N | | D(yfHd4y= D 4,0) se i=1 où __Pn (y) dy Yn(z) afro: Fe. RPATACT 7 Pn'(ei ce q. f. d.
Théorème 4. Toutes les racines de l’équation 4%,0— sont réelles, imégales et séparées par les racines de l’équation D, (2) = 0.
. Pour le démontrer, nous allons établir que tous les nombres Yn (25) Pn’ (25)
2,— désignant une racine quelconque de ®,(z), sont positifs, d’où en vertu du théorème de Rolle, découle immédiatement qu'entre deux racines consécutives de ,(2) se trouve une et une seule racine de D, (2), ce qu’il s’agit de démontrer.
Re md Rd rate ct NT M . ARS cf $ ‘ Tes
La formule (8) donne
Yn (26) HA Pn (Y)
En" Ed — | or en Ga/ ()0.
Or, d’après la formule de ie
Ou Pn (y) RE (y — 2;) En! (25) 1 + (y — 2,)0 (y),
O (y) étant une fonction entière de dégré n — 2. Multiphant les deux membres de cette égalité par
ns (0) au
(y — Zi) et intégrant entre les limites « et b, on aura en vertu de la formule (11) b :
Cette formule met en évidence que
Yn (2ù) > (0.
nn. (26)
Corollaire. Lorsque toutes les constantes C6 CC
mn ?
parées par les racines de o,(2) = 0.
En effet, en faisant z — z,, la formule (4) donne
h (2;) Pn—1 (2,) A Co. Cn+1:
op")
ont
N1+1 des valeurs positives, les racines de l’équation @,,(2) = 0 sont sé-
done d,.(2,) et Pa (&;) sont des quantités de même signe, ce qui
entrâine l’inégalité D, (z,) Pie (2,) > 0
qui démontre la proposition enoncée.
portes.
Le
RM
Remarque. On voit immédiatement que le théorème 4 peut être généralisé de la manière suivante:
Si o(z) est une fonction entière de z de dégré n, satisfaisant à la condition
et (e) — fr fo) 20220 ay
tous les nombres AL 2, désignant une racine quelconque de œ(2), seront positifs, d’où il suit que toutes les racines de 4(2) sont réelles, inégales et séparées par les racines de œ(2).
En effet, on aura ici, comme plus haut,
sus fre a = frot%r |
ce qui met en évidence la proposition enoncée, De même, si @(z) désigne une fonction entière de z de dégré
< 2n — 2, on aura la formule, analogue à la formule (14)
db
Jour y) dy = Sa |
Aa. (16)
8, Dans quelques applications il y a lieu de considérer simultanement avec la fraction continue qui provient du développement de
l'intégrale b
fus 2 — y ?
NS ue
les fractions continues qu’on obtient en développant les trois intégrales suivantes
b bee | 1, [@— 0) f (9) dy @ — y) (y) dy (y — a) (b — y) f(y) dy feat, 2) ne, ee a a Nous désignerons les dénominateurs des réduites du rang n de ces fractions respectivement par Pre 2) VF, 3) W..
Comme les fonctions
(y — a)f(y), —Yy)f{(y), (y —a)(b — y) f(y)
ne changent pas de signe entre les limites de l'intégration, nous pouvons appliquer ici les théorèmes 1 et 2 et nous pouvons dire que les racines des équations
Be, n Pt H=0 sont réelles, inégales et comprises entre les limites « et à.
Les équations qui peuvent servir à la définition des fonctions CS NS
Î Q — a) f(y) U,.(y) 4,, (y)dy —=0 ........... (x) b | O9) TV, (0) 0, DATE A (8)
b ] (y— 0) (6=7y) {9 W,0)0,"«(v)dy=0%,," (v)
Vu
LE Es
A l’égard des fonctions U,, V,, W, nous allons encore démontrer quelques théorèmes, analogues au théorème 4, qui nous serons utiles dans Ïa suite.
Théorème 5. Les intégrales
Jrotsta
ont des valeurs positives.
En effet
[ fQ) Pay
U, (= U, (a) + (y — a) Da +.. +42 T0 (0
ou
U,( — il (9-0) Ô (y)
O(y) étant une fonction entière de dégré n — 1; par conséquent
- U, (y) er Ée en] = AC RE 2 D, (a)
et en vertu de d’équation (æ)
b Je ro a = ] Cana @) 4... fe
En raisonnant de la même manière, on trouve
2 TV 0 L @) dy = | EE
Les formules (à) et (e) démontrent le théorème enoncé. | es
Théorème 6.
Les imtégrales
| f@)@— y) É dd, [ FO) @— 7 e day
ont des valeurs positives.
En effet
Fo = 1 (y — a) d(y), O(y) étant une fonction entière de dégré n — Î; par conséquent n te D n | Cp = 6 — 9) 0 ET a D 9 (3)
et en vertu de l’équation (+)
I E—y) Fo pe du = | E—n role] 4...
On trouverait de la même manière
b | G— of) 4
Les formules (à) et (.) démontrent le théorème enoncé.
: 9, Nous savons que toutes les racines des équations
mO=0, W,(6)=0, U(D=0, P,()—0
sont comprises entre les limites a et b.
Les théorèmes suivants se rapportent à la distribution annee de ces racines.
Théorème 7, Les racines de l’équation U,, (2) = 0 sont séparées par les racines de l’équation | Da) = (2 — D) V,(z) = 0 et réciproquement, les racines de l’équation F0 sont séparées par les racines de l’équation pe) = (e— a) U, (9 = 0.
En effet, la fonction o(z) satisfait à la condition
D Jr (y) ® (y) 2, , (y) dy = 0.
Donc, désignant par [(z) une fonction quelconque entière de dégré <2n, on aura d'aprés la formule (16) en y changeant # par n +1
| (y) FD dy = D re (6)
Bi, dore. 29,1 étant les racines de l’équation p(2) = 0 et b g (2) = | GIBEEE dy.
g (a Posant
