RES
2, 4e. .2, étant les racines de (2).
RER En faisant
A. :. Deo—t-0s,0 onawapouz=z, : !
fracta <$%at + ED Q(z)).
Te fon o() 4 == a f(y) Pr (y) dy a 0,
Lou — 25) (ei 0] en) y (2 ms 25) (85 — à) Pn’ (25)
— 2) Pr’ (£5) 4 de
fre, way = 0:
Done, ‘on aura
Vn (&5 Pn i) | 1 h
En faisant 2) p(a) — (2 —b)®, (+)
on verra de la même manière que
limites de l’intégr ie
êR a.
que nous avons obtenues ci-dessus.
| encre 0 ( a x (Les Jens, Q donnent dos :
4 1 ds rs Yn Cd lp a 2 N Ÿn Gi Pn' (&5) Sa f(e) de ra 2 Pn' (2) ”
RS
TA l'aide de ces formules, on peut aisement tirer Fe inégalités Pi donnant les valeurs limites des intégrales
| : | [r (2)dz et | f(e) de.
ee"
En effet, observant que
En combinant cette égalité avec les inégalités (2), on trouve
fOez Se.
in
Dre
tient 2] 1 : :
| fads Ste... (5) : 1 L he
Retranchant l’intégrale
êk | F2) de
et faisant usage des mégalités (2), 1l vient enfin
Les formules (7) ont été données par M. Tchébicheff dans son mémoire inséré dans le J. de math. 1874.
17, Nouvelle forme des résultats définitifs dans le cas général. M. Tchébicheff à donné recemment dans les mémoires de l’Ac. de St. Pétersbourg 1885 (en russe), sous une forme trés étégante, les résultats de ses propres recherches sur la question que nous avons traité dans les paragraphes précédents, en se bornant au cas de
Q (2) = 1; mais comme la solution du probléme dépend essentiel-
lement de la formation de la fraction De 2, et non pas de la forme de
la fonction Q (2), les résultats de l’illustre auteur S AODRAUARS aussi au cas général.
En bent 2 Par 2, (2,>2,) dns inégalités @), on ob a
Er Rs forne, sous Inquélle se Rte de true donnant es 5 NS | maxime et minima de l'intégrale Fe
< 4 AREA ê AE
Je (2) f (2) dz
dans le mémoire de M. Tehébicheff, diffère de celle que nous avons .e
présenté dans le n° 13, en ce que la fraction PL qui figure dans ces
formules, s’exprime en fonction des none nu peuvent être immé- 0 ontanent calculés en décomposant en fraction continue la partie à
connue | 2 ee | RAP Lon—1 ASTEA er NU un nd res (1) .
x % Lon—1 Lo Fa LL Re nant oi 0 (0) FES
: b à J Q@) dy E—Y (4
en série. | nu.
=. Dans le cas d’un nombre pair 2x de données, on calcule tous les éléments des formules définitives en caleulant les dénomimateurs des He Fe: réduites des rangs n et n— ], ox (a) et ©, .(2), dans le dévelop- 5 5 pement de l’expression (1) en fraction continue de la forme RUES #2 L'AATAREE av.
BR Te po LEA RAECTEN TES | à
Dans le cas d’un nombre impair (2n + 1) de données on doit % ‘ealeuler encore le coefficient 4,,, dans le développement de l’ex-
=" Es < L = DOUÉ OR LS NT ne“ + « SES”,
pression (2) en fraction continue de la même forme. Nous allons de FRS montrer comment les résultats obtenus au #° 13 peuvent ae trans- : Fe formés dans la forme de M. Tehébicheff. L ré 1 TÈTRSS Nous avons vu aux#n° 10 et 11 du ch. I comment s Ai : de (2), U, (2), V, (e) par les nouveaux éléments ®, (2),
les fonctions W
n—1 ®,.(e) et a Il s’agit maintenant d’exprimer les fonctions ® (2)
et d(z), dans les quatre cas que nous avons à distinguer dans notre ! pe
problême, par les mêmes éléments.
Dans le premier me le nombre de données étant impair
(u+ 1 = 2n+ 1) et Un LAC étant positive ou, d’aprés la formule (20) du ch. I, 1 fn (0) © En) = = Pn (a) n(@) en (3) : Pn—1 (0) à Pn—1 (X) LT dire PER et b—x Pn (b) Pn (X) : n+1
‘étant positive, la fonction entière o(z), de dégré n +- 1, est définie par les conditions
: “ | D(X) —-0, fre o(2)0,,(e) de = 0.
On satisfait évidemment à la seconde en faisant pa) = p,,,(2) + Co, (e) C étant une constante arbitraire, c’est à dire pi) —=(a,,,240,,,)o,(e) —9,,() + Ce, (e) ou, désignant la constante arbitraire dre par À, p(a)—(a,,,2—+ 4)9,() — p,,(e). nn.
La condition o (x) — 0 donne ensuite |
___ Pn—1(#) |
se # a | £
2 mél UE EE
Se Wa È
Pis est Frres È (4)
pa) —p, (2) Z— 9, (6).
ve= | fo 22e ay
- es On (Y)-Y — En (y) — Pn (2). Z + Pn 1 (2) dy PO RE nn mr LU
AS
d() — f() (2) “ (y) Le (y) — On (2) dy À
A ] fu) = DEEE du
TZ Gant une constante, on à
| f (y) 9, 0) 7 dy = 0,
ae . notre cas, nous aurons
D (8) __ Vn (a) Z— Vn-x (8).
P(2) Pn(2) 7 — Pn-1 (2)
Dans le second cas, le nombre de données étant le même, mais |
à h fraction (3) ie la fonction entière ® @) de dégré n + 2 est ax : 2 à sin par les conditions |
p()=0, pÜ—0, pU=0
b | | Jr (2)p(2)0,, (2) de = 0.
la $
On satisfaira évidemment à la dernière, de la manière la rlus ge nérale, en posant He
P(=Lg, (8) (en ne ele : CE
au lou 1 ®
(=, 10 (2+ Ce ps eA= eo eo Pr Ch
& sous cette forme, la D nHs enoncée de ® (2) devient évidente. : En posant pour abréger À |
Fa (a,
+ pe | on aura
(= = Pn es Pr (2) 2, -
ur Î PT A ECC a.
+ ” [ro D 4) Bee nr) Er 0) dy,
e=Z 4, @— Za Ye) at rés la formule (8) du ch. I. ces
bn )Z— Vn—1 7 (8) Zi Pn—1 (2) Z JE à 8) Z — Yn__1 (2) Pn (2)Z — Pn—1 (2)
= Les constantes 4, B, C se déterminent au moyen des équations
AGEN eb)=0, g(r)—0.
| | Substituant z2—#x dans la formule (5) et annulant le résultat,
