DH 000, 6)=0............ Ÿ

=] En faisant ici 0 se p (2) US ( ) (2 — 2y) ( — 2x4) 8, #1 étant deux racines consécutives de l'équation o(2) — 0, nous aurons

__ (x) 1 9 (41) na ED = Eh Ek41 On Erx 1) = 2k+1— 24)

0, 1(2;) = 0, pour 2 différent de k et de k+ I. La formule (v) se réduira done à la suivante

Dex) Vers:

he PER PR rème 4 généralisé, 1l suit de ce qui précéde que

D (2) p (23) et D(2. | p' (er 1)

sont de même signe, done, en vertu du théorème de Rolle, entre deux racines consécutives de l’équation

) étant positives, d'aprés le théo-

Or les quantités

p(z)=(2— a) U,(:) = 0 se trouve une et une seule ragine de l’équation ; B(a)—=(e—0d) V,(2) = 0

ce qui suffit évidemment pour établir le théorème enoncé.

Théorème 8. Les racines de l’équation P, (4) = 0 sont séparées par les racines de l’équation

Da) —(2— a) (2 — bd) W

an (2) = 0 et réciproquement, les racines de l’équation

Me = 0 sont séparées par les racines de

La démonstration est tout à fait analogue à la précédente. Désignant par Il(z) une fonction entière de dégré < 2n — 1, on à b

2—=nN ju (y) F (y) dy — D . ci I(z,) :- a À Bi, ose. &, étant les racines de (2).

Posant I(e) = D(e) 0,, (2)

et remarquant que

b b Jewror,o == | y—a)(y—b)f(y) W,,(9)0,.(y)dy=0

on aura UE) NN! Pn (ai Rs > On’ (4) P(e)0n,@)=0 à 2—=1 et faisant Fr ne an el ee LES (2) (2 — 23) re — £} +1)

SAMOA TEE on obtient