DT I

ce qui démontre la proposition.

85. Appelons ensemble limité un ensemble tiré d’une classe (W°) tel que le voisinage de deux éléments quelconques de cet ensemble reste inférieur à un nombre fixe. Dans le cas des ensembles linéaires, nous verrons que cette définition coïncide avec celle d’ensemble compact. Dans le cas général, nous pouvons seulement énoncer la proposition suivante :

THÉORÈME. — Tout ensemble compact formé d'éléments d'une classe (V7) est limite.

En effet, dans le cas contraire, on pourrait trouver, quel que soit #, deux éléments A,, B, de E tels que (4,, B) >> n, et, puisque Æ est compact, on peut supposer que A,, B, tendent vers deux limites respectives 4, B. Or, pour # assez grand, on aura:

A) SRB MT D) Re CCD) (A,, B) <f[2(4, B)] = k.

Aïnsi, pour # assez grand on aura:

(A, B)<Rk et (B,, B)<E, (4; B,) <J(E),

ce qui conduit à une inégalité impossible n << f(k).

36. T'HÉORÈME. — Soit E un ensemble extrémal formé d'éléments d'une classe (V). S'il existe une suite indéfinie G d’ensembles I, 1, ... telle que tout élément de E soit intérieur au sens étroit à l’un au moins de ces ensembles L., on peut extraire de G un nombre fini de ces ensembles formant une famille H jowissant de la même propriété JUPE CRE):

En effet, supposons que le théorème soit inexact. Alors il existera au moins un élément de E: 4, qui n’est pas intérieur à Z, au sens étroit. Mais À, est intérieur au

d’où :

* 1 À 1 2 », e 1 A À 1 1 ) Ce théorème est une généralisation d’un théorème de M. BoREL, énoncé pour les ensembles linéaires (1, pag. 42), puis étendu par lui aux ensembles de points de l’espace à # dimensions (xIv, page 357). Mais ses démonstrations ne se généralisent pas au cas actuel. Nous démontrerons plus loin ce théorème pour certaines classes (W) même dans le cas où G n’est pas dénombrable (n° 42).

sens étroit à un des ensembles Z,, I, -..; soit I,, le premier d’entre eux (q, > 1). Ïl ÿ à au moins un élément de E, soit AÀ,, qui nest intérieur au sens étroit à aucun dés ensenbles Men te, T3, Appelons L,, le premier des ensembles Z,.,, Fee auquel À, est intérieur au sens étroit et ainsi de suite. Nous formons de la sorte une suite infinie d’élèments 4,, A4,, ... appartenant à E, tous distincts et tels QUE AP PET soit intérieur au sens étroit à aucun des ensembles Ne 7 Jr Ccte sut

a au moins un élément limite À appartenant à E. Soit A = lim 4,. Or À est inté-

; . foR

rieur au sens étroit à l’un au moins, 1,, des ensembles de la suite G. Il est donc impossible qu’il y ait dans la suite 4,,, 4,,, ... une infinité d'éléments 4,, Le

qui ne soient pas intérieurs à 1, au sens étroit. Sans quoi, on appellerait B , un élément de EF coïncidant avec 4, si celui-ci n'appartient pas à 1, ou un élément de E n’appar-

; I le iénantipaste JT étitelique (B,, An,) << —— dans l’autre cas. Alors À serait limite d’une

suite B,, B,, ... d’élèments de E non dans 1,, ce qui est impossible. Ainsi les éléments de la suite 4,,, 4,,, ... sont tous intérieurs à Z, au sens étroit À partir d’un certain rang. Cela est manifestement contradictoire avec la façon dont nous avons fonméslassuite Aer Ve. |

Les classes () normales.

87. Après avoir étudié les propriétés des ensembles et des opérations portant sur des classes (L), il nous a été utile de nous borner au cas des classes (W) pour poursuivre nos géncéralisations. De même, nous allons maintenant restreindre une fois de plus le champ de nos recherches sans en arriver encore à spécifier la nature des éléments considérés.

Donnons d’abord quelques définitions. Nous dirons qu’une suite d'éléments 4, À, on peut faire correspondre un entier # tel que l'inégalité (4,, 4,,,) <e soit vérifiée quel que soit p. Il est évident que si une suite tend vers une limite, elle satisfait aux

.. d'une classe (W) satisfait aux conditions de Caucxy lorsqu’à tout nombre € > 0

conditions de Caucny. D’autre part, si une suite satisfait aux conditions de CAUCHY et fait partie d'un ensemble compact, elle a un élément limite évidemment unique. Mais si l’on sait seulement que la suite vérifie les conditions de CAucHY, on ne peut afhrmer qu’elle tende vers une limite; tout ce qu’on peut dire, c’est que si elle a un élément limite, elle n’en a qu’un.

Nous dirons alors qu’une classe (V7) admet une généralisation du théorème de Caucay si toute suite d'éléments de cette classe, qui satisfait aux conditions de CAUCHY, a un élément limite (nécessairement unique).

Nous appellerons ensuite classe séparable une classe qui puisse être considérée d’au moins une façon comme l’ensemble dérivé d’un ensemble dénombrable de ses propres éléments.

Enfin, on a intérêt à considérer comme nous l’avons déjà fait (n° 33) parmi les classes (7) celles qui sont telles que, près d’un élément donné, il existe des éléments

24 MAURICE FRÉCHET.

dont le voisinage avec celui-ci soit aussi petit que l’on veut sans être nul. Autrement dit, tout élément de la classe sera élément limite. Comme d’autre part la réciproque est vraie par définition même de la classe, nous dirons que de telles classes sont par-

Jantes).

Ceci étant, nous nous bornerons maintenant à l’étude des classes (VW) NORMALES, C'est-à-dire parfaites, séparables et admettant une généralisation du théorème de Caucy. Cette limitation n’a du reste rien d’artificiel, elle provient directement de la comparaison des classes (W) avec les ensembles linéaires et nous verrons plus loin que toutes les classes particulières que nous examinerons rentrent dans cette catégorie générale des classes (V7) normales. Ce dernier fait pourrait même amener à se demander si toute classe (V7) n’est pas nécessairement normale. Il n’en est rien comme le montrent les exemples suivants:

38. Prenons une classe d’éléments représentés par les points d’une droite et appelons voisinage de deux d’entre eux la longueur de l'arc de cercle que limitent les deux points correspondants dans une transformation par inversion. Nous avons ainsi une classe parfaite (Ÿ). Cependant, si l’on prend une suite d'éléments correspondants à des points s’éloignant à l'infini, il est évident que l’on aura une suite de CaucHy sans éléments limites. On peut donner un exemple dans lequel le voisinage ne soit pas défini d’une façon aussi artificielle. Il suffit de prendre la classe des nombres en se plaçant au point de vue des arithméticiens qui se défendent la considération des nombres irrationnels. En prenant pour voisinage de deux nombres rationnels, la valeur absolue de leur différence, on obtient encore une classe parfaite (VW) pour laquelle il existe une infinité de suites vérifiant les conditions de CAUCHY sans avoir d'éléments limites.

Passons maintenant aux classes séparables. On peut qualifier ainsi les ensembles linéaires en considérant la droite indéfinie comme l’ensemble dérivé de l’ensemble des points d’abscisses rationnelles. Mais il n’en est pas de même pour toute classe parfaite (W).

Prenons par exemple la classe des fonctions (continues ou discontinues) d’une variable x dans l'intervalle (0, 1). En appelant voisinage de deux éléments f(x), g(x), la limite supérieure (finie ou non) de f(x) — g(x)l dans l'intervalle (0, 1), on voit qu’on obtient une classe (W) parfaite. Cette classe n’est pas séparable. En effet, si elle l’était, on pourrait former une fois pour toutes une suite de fonctions " (x), , (x), … telle que tout élément de la classe soit la limite uniforme d’une suite fn, (x), fn, (x), extraite de la précédente. Alors les éléments de la classe étant définis par des conditions dénombrables, la puissance de la classe serait au plus égale à celle du continu (1, page 126). Or on sait que c’est le contraire qui a lieu (1, page 125). On peut remarquer que les exemples précédents nous prouvent que la puissance d’un ensemble parfait tiré d’une classe (J) n’est pas nécessairement la puissance du continu comme cela a lieu pour les ensembles linéaires, mais qu’elle peut lui être inférieure (premier exemple) ou supérieure (deuxième exemple).

89. Ces remarques faites, limitons-nous maintenant à l’étude des classe (V7) normales.

; , Tout d’abord, pour arriver à nous rendre compte de la structure de telles classes, nous généraliserons une question proposée par M. HapamarD (xn). La question pro-

) Une classe séparable est nécessairement parfaite, mais la réciproque n’est pas évidemment vraie.

Il y a donc lieu de séparer les deux hypothèses d'autant plus que certains théorèmes s'appliquent aux classes parfaites sans les supposer séparables.

prement dite sera étudiée plus loin (voir n° 58) Nous l’étendrons au cas général actuel de la façon suivante :

Considérons une classe (7). Supposons qu’on ait pu former des ensembles partiels k, contenant chacun au moins un élément et tels: 1° que tout élément de la classe appartienne à l’un des ensembles 4, 2° que deux éléments quelconques d’un même ensemble %, aient un voisinage inférieur à e. Considérant les k, comme autant d'individus, on peut dire avec M. HapamarD que l’ensemble %., qui a ces 4, comme éléments, «numère » la classe considérée. Nous nous proposons de rechercher la puissance de LA

Nous allons trouver ici une nouvelle analogie avec les ensembles linéaires. Si l’on prend la classe des points d’une droite, le problème consiste À trouver la puissance de ensemble des intervalles de longueurs <<e et qui recouvrent la droite indéfinie. Or il est évident qu’on peut les choisir de façon que cet ensemble soit dénombrable quoique infini.

40. De même, éfant donnée une classe (V7) séparable, on peut, quel que soit s, choisir les ensembles k, de façon que %. soit dénombrable.

En effet, soient w et n deux nombres tels que f(w) + et f(n) <w. Puisque la classe est séparable, on peut en extraire une suite d’éléments 4, 4,,... dont l’ensemble dérivé soit la classe toute entière. Appelons alors KŸ l’ensemble des éléments A tels que: (4, 4,) o. La suite K°°, K°, ... sera dénombrable; de plus, pour deux éléments quelconques 4, B de KŸ, on aura: (4, B) < :; enfin tout élément 4

€ de la classe appartiendra pour une valeur donnée de & à l’un au moins des Xl). L’en-

semble des X°Ÿ constitue donc l’ensemble %, cherché. On peut même ajouter que tout élément À est intérieur au sens étroit à l’un au moins des ensembles Ke Ke FEU. sufht de prendre dans 4), 4, ... un élément 4, tel que (4, 4) ns alors 4 est intérieur au sens étroit à Ki».

41. La même méthode prouve qu’étant donné un ensemble E appartenant à une classe stparable (V7), on peut former une infinité dénombrable ff, d’ensembles X, d’eléments de Æ tels que tout élément de Æ soit intérieur au sens étroit à l’un au moins des X, et que le voisinage de deux éléments quelconques de K, reste inférieur à &. On peut se demander s’il existe des ensembles E tels que l’ensemble %, soit non seulement dénombrable, mais fini.

THÉORÈME. — Pour que l'ensemble , [correspondant à un ensemble E tiré d'une classe (V) NORMALE] puisse être choisi, quel que soit <, de façon à ne comprendre qu'un nombre fini d'éléments, il faut et il suffit que E soit compact.

La condition est nécessaire. En effet, dans le cas contraire, on pourrait extraire de E une suite infinie $ d’éléments distincts B,, B,,... sans éléments limites. Si %, est fini, il y aura nécessairement un ensemble partiel X, auquel appartiennent une infnité d'éléments de la suite S. On voit alors qu’on pourra former de proche en proche une infinité de suites S, d’éléments de S, telle que $,,, soit contenu dans S, et que

ee es + D pw l'écart de deux éléments de $, soit inférieur à er Sidonc appelesD DATES

A A . . (x) éléments de la suite S, pris dans le même ordre que dans S, on voit que la suite B7,

FRÉCHET.

26 MAURICE FRÉCHET.

BACS CNE ON erATInC Sue d'éléments de S distincts et tels que l’on ait

(BA, Be se quel que soit #. Puisque E est tiré d'une classe (7) normale, il

faudrait donc que la suite S eut un élément limite.

Réciproquement, supposons E compact. Alors l’ensemble F=E + E" est extrémal. Pour une valeur donnée de e, nous savons qu’on peut former une suite d’ensembles partiels K!, KÜ), ... telle que leur ensemble réponde aux conditions d'un 4j, relative-

on, ment à F. En particulier, tout élément de F est intérieur au sens étroit à Pun des

ensembles K{, K), Donc, on peut extraire de cette suite Kf, K®, ... un nombre fini de termes Æ!{7, ..., K{" jouissant de la même propriété (voir n° 36).

Si nous appelons maintenant AH!» l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à Kw (lequel est dans F), on voit qu’on aura un nombre fini d’ensembles H/%1, …, Hi formés avec des éléments de E et tels: 1° que tout élément de E soit intérieur au sens étroit à au moins l’un deux, 2° que deux éléments quelconques de l’un d’eux aient un voisinage <T €.

Il nous est maintenant facile de généraliser le théorème du n° 36.

42. THÉORÈME.— Soit E un ensemble d'éléments d’une classe normale (VW). Pour que de toute famille H DÉNOMBRABLE OÙ NON *) d’ensembles I tels que tout élément de E soit intérieur au sens étroit à au moins l’un d'eux, on puisse extraire un nombre fini d’ensembles I formant une famille G jouissant de la même propriété que H, il faut et il suffit que E soit extrémal.

Nous avons démontré (n° 36) que la condition est suffisante dans le cas où H est dénombrable.

Pour le cas général, remarquons que, si Æ est extrémal, on peut former, quel que soit «, des ensembles À, en nombre fini satisfaisant aux conditions indiquées plus haut. Si le théorème n’est pas vrai pour E, il y a au moins un de ces ensembles tels que ses éléments ne soient pas intérieurs au sens étroit à un nombre fini d’ensembles J. Pour

ñn)

I Pa , ee appelons celui-là À” et soit 4, l’un de ses éléments. Puisque E est extrémal,

Ontpoutestraurede suite 4,4) "une sutet, 04, , 7 quistendivermn élément 4 de E. 4 est intérieur au sens étroit à un intervalle Z: Z et on prouve facilement que pour p assez grand tout élément de X!» est aussi intérieur au sens étroit à TL, ce qui amène bien à une contradiction.

La condition est aussi nécessaire. En effet, supposons que E ne soit pas fermé, il existera une suite d'éléments B,, B,, ... de E, qui tendent vers un élément B n’appartenant pas à E. Or, considérons les ensembles Z. formés chacun des éléments 4 de

I 11, o LE ! : É EArels quete) Tout élément de Æ est intérieur au sens étroit à l’un au

moins des Z,. Mais si l’on considère un nombre fini de ces ensembles L, il y aura certainement des termes de la suite B,, B,, ... qui ne leur appartiennent pas.

*) Dans le cas où E est un ensemble linéaire, on obtient la généralisation du théorème de M. BoreL (voir la note du n° 36) étendu par M. LEBESGUE au cas où la famille H est non dénombrable. Sa démonstration (1v, page 105) ne se généralise pas au cas actuel.

De même, supposons que E ne soit pas compact; il existera une suite S d'éléments de E: B,, B,, ... sans éléments limites. Si nous considérons un élément 4 quelconque de E, nous pourrons définir un nombre 6, > o tel que CABINE quelque soit l’élément B, distinct de 4 et pris dans la suite S; alors À sera intérieur au sens étroit à l’ensemble Z, des éléments C de E tels que (C, 4) <o,. Il en résulte que tout élément B de Æ est intérieur au sens étroit à l’un au moins des intervalles La savoir J,. Si de la famille A des intervalles Z,, on en extrait un nombre fini formant une famille G, il sera impossible que G contienne E, car il y a dans tout intervalle T, un élément au plus de la suite S.

43. THÉORÈME. — Tout ensemble non dénombrable E formé d'éléments d’une classe (V7) normale est condensé.

Soit E, une infinité non dénombrable d’éléments de F, il s’agit de démontrer que E, donne lieu à au moins un élément de condensation. En effet, quel que soit s on peut, comme nous l’avons vu, trouver une suite dénombrable d’ensembles XÙ, K1), …, K telle que tout élément de Æ se trouve dans l’un d’eux et que le voisinage de deux éléments de l’un d’eux soit <<e. Il y a donc au moins un de ces ensembles qui con-

tient une infinité non dénombrable d’éléments de E . En prenant successivement s — 7,

—,... —,..., nous pourrons ainsi former une suite d’ensembles H®, H'), ... telle 2 n

que A contienne une infinité non dénombrable d’éléments de Æ, soit contenu dans : ee RS I

H9, et que deux quelconques des éléments de H aient un voisinage inférieur à —. n

Alors, si on prend deux éléments quelconques 4,, 4’ dans H"”, chacune des suites RL A AE Te rune lite Æquirest la"mèmeDoôonc’E"donne:lieutsun élément limite À et c’est un élément de condensation, car, si on enlève de Æ une infinité dénombrable d’éléments, il restera encore des éléments dans chacun des H\° et 4 sera encore élément limite de l’ensemble restant de E.

44. REMARQUE. — En combinant le théorème précédent avec celui du n° 31 on obtient l’énoncé suivant :

Tout ensemble fermé F formé d'éléments d'une classe (VW) normale est la somme d'un ensemble dénombrable et d’un ensemble parfait ou nul sans éléments communs.

45. THéorèME. — Soit E un ensemble quelconque formé d'éléments d’une classe séparable (V); il existe un ensemble dénombrable d'éléments de E tel que tout élément de E appartienne, soit à cet ensemble D, soit à son dérivé D'. Lorsque E est fermé, on a: E=D+7D". Lorsque E est parfait, E= D".

En effet, quel que soit #, on peut former une infinite dénombrable d’ensembles H', H°,..., HW, ... formés d'éléments de E tels que dans chacun d’eux le voisi-

. . ie 111 ‘ nage reste inférieur à — et que tout élément de Æ soit dans l’un des ensembles de n

cette suite. Dans chacun de ces ensembles A il ÿ a au moins un élément 4%. Quand on donne à # et p des valeurs entières quelconques, on obtient un ensemble dénom-

El Ca i i ut élément de E apbrable D d'éléments 4) appartenant à ÆE. Or il est manifeste que tout élé ap partient à D ou à D’.

28 MAURICE FRÉCHET.

L’inverse n’est pas en général exact; mais si E est fermé tout élément de D + D’ appartiendra à ÆE; donc dans ce cas E = D + D'. De plus E" = D' + D'= D". Si même E est parfait, on aura E = E" d'où E = D.

Observons d’ailleurs que, réciproquement, si Æ, D sont deux ensembles formés d'éléments d’une classe (7), tels que l’on ait: E = D + D’, l’ensemble E est nècessairement fermé. Si E = D' (D étant une partie de E), E est parfait.

La continuité définie au moyen du voisinage.

46. THÉORÈME. — Considérons une opération U définie dans un ensemble E formé d'éléments d'une classe (V). La condition nécessaire et suffisante pour que U soit une opération continue dans E est que, si À est un élément quelconque commun à E et à E”, on puisse faire correspondre à tout nombre s >> © un nombre n, tel que l'inégalité (A, B) <n, entraîne |U(4) — U(B) < e pour tout élément B de E.

1° En effet, d’après la définition que nous avons donnée de la continuité de U, si U est continue en #4 et si À, À, ..., A4 ,.+. tendent vers 4, U(4,) tend vers U(A). Soit maintenant & un nombre positif quelconque; si on ne pouvait déterminer un nombre n, tel que linégalité (4, B) << n, entraine [U(4) — U (B)] < s, on pourrait déterminer, quel que soit #, un élément B, de E tel que:

(A B)<Z, IU(A—UGB)XeE

Lorsque # croit indéfiniment, la première inégalité montre que B, tend vers B et, d’après l’hypothèse, U(B,) tendra vers U(4), ce qui amène une contradiction avec la seconde inégalité.

2° Si, quel que soit e, on peut déterminer n, tel que (4, B) < n, entraîne IU(4) — U(B) < e, on voit qu’on pourra prendre p assez grand pour que si la suite B,, B,, ... tend vers B, l'inégalité # © p entraîne: [U(4) — U(B,) < &. Il sufhra de prendre p assez grand pour que # => p entraine (4, B,) <n,.

Cela prouve que U(B,) tend vers U(A).

47. Ce théorème nous fournit une seconde définition de la continuité d’une optration. Cette définition est celle qui est généralement adoptée pour les exemples concrets habituels. Elle est d’ailleurs moins générale que la première, puisqu'elle n’a de sens que lorsqu'on peut définir un voisinage.

Mais l'introduction du voisinage est absolument nécessaire si l’on veut étendre la notion de continuité uniforme.

Nous dirons qu’une opération U est uniformément continue dans un ensemble E formé d’éléments d’une classe (W) si, étant donné un nombre positif e, on peut choisir un nombre positif n tel que, pour deux éléments quelconques de E : 4, B, l'inégalité:

CAB) entraine IU(4) — U(B) < :.

Il résulte évidemment de cette définition que toute opération uniformément continue

dans un ensemble E est continue dans E. La réciproque est vraie dans un cas très gtnéral.

THÉORÈME. — Toute opération continue dans un ensemble ExTREMAL E formé d’éléments d'une classe (VW) est uniformément continue dans E.

En eflet, dans le cas contraire, on pourrait trouver un nombre € > o tel que, quel que soit #, il y ait deux éléments 4, B de E vérifiant:

(4, B)<—, IU(4)—U(GBJRe.

De la suite 4, 4,, ... on pourrait extraire une suite 4,,, 4, , ... ayant pour limite un élément 4 de E. Alors B,, aurait la même limite 4, puisque (4,,, À) et

CHR B,,) étant infiniment petits avec —- il en est de même de (4, B,). Orona: IUC4,) — U(B,,) 10 (45,) — U(A4) + IU(4) — U(B,,).

Les deux quantités du second membre tendent vers zéro avec —. Il est donc impossible que le premier membre reste DSC

48. Les opérations également continues, — Lorsque l’on considère des opérations continues dans un ensemble Æ formé d’éléments d’une classe (W), on peut énoncer les conditions qui définissent leur égale continuité (n° 15) d’une façon qui fait intervenir le voisinage et qui est parfois plus commode.

Soit Jf une famille d'opérations continues dans un ensemble quelconque E formé d'éléments d’une classe (JW). Si cette famille est telle que, à tout nombre es 0, on puisse faire correspondre un nombre n >> o de façon que l’on ait:

IUC4) — U(E) < € pour toute opération U de ff et pour tout couple d'éléments 4, B de E vérifiant (4, B) <n, les opérations de ff sont également continues dans Æ. Cela résulte immédiatement de la définition du n° 15; on voit en même temps que chacune des opérations de ff sera uniformément continue.

Inversement, cette condition sera vérifiée par toute famille ff} d'opérations également continues dans un ensemble extrémal E formé d’éléments d’une classe (7). En effet, dans le cas contraire, on pourrait trouver un nombre € >> o, tel que, quel que soit n, il existe deux éléments 4,, B, de E et une opération U, de ff pour lesquels:

(A, B)<—, IU,(4)— UGS

On peut même supposer que la suite 4,, 4,,..., 4,, ... a une limite 4 dans E, puisque E étant extrémal il suffirait dans le cas contraire de remplacer 4,, 4;, ... par une suite convenablement extraite de la précédente. Alors (4, 4,) et (4,, B,)

ee I . , seront infiniment petits avec ——, donc aussi (4, B,). Il en résulte que la suite B,, B,, ...

tend aussi vers A. Mais, puisque les opérations de ff sont également continues, on

pourra déterminer deux nombres fixes p, p' tels que l’on ait:

30 MAURICE FRÉCHET.

U,(4)— U,(AÏ<— pour >p,

U,B)— UE purn>p et ceci quel que soit l’entier g. Dès lors on aura, pour # > p + p, € € [U, (4,) mr: bi (B,)| LA IU, (4,) Li Ü? (4) se [Es (4) LE U, (B,)| < 152 sa 51 ee 5

d’où la contradiction annoncée.

Les conditions que je viens d'indiquer sont celles qui servent à M. ArzELÀ pour définir légale continuité dans les cas qu’il a considérés. On voit que nos résultats sont un peu plus étendus, même en considérant les mêmes éléments que lui, puisque notre définition du n° 15 comprend des cas où il n’y a pas continuité égale au sens de M. ARZELÀ et qui se présentent lorsque E n’est pas extrémal (voir un exemple au n° 54).

Dans le cas où E est formé des éléments d’une classe séparable, la condition imposte à E dans le théorème général (n° 19), que l’on ait E = D + D', D étant dénombrable, se trouve remplie d’elle-même. Ce théorème devient donc le suivant:

THÉORÈME. — Pour que des opérations continues dans un même ensemble extrémal E, formé d'éléments d'une classe (V7) séparable, forment une famille compacte S,, il faut et il suffit que les opérations de Ÿ soient, en tout élément de E, également continues et bornées.

49. Introduction de l'écart, — Lorsque nous appliquerons les résultats généraux de la PREMIÈRE PARTIE à des exemples concrets, nous reconnaitrons d’abord que, dans chaque cas, on peut faire correspondre à tout couple d’éléments 4, B un nombre (4, B) No, que nous appellerons l’écart des deux éléments et qui jouit des deux propriétés suivantes: a) L'écart (4, B) n’est nul que si À et B sont identiques. b) Si 4, B, C, sont trois éléments quelconques, on a toujours (4, B) 2 (4, C)+(C, B).

Lorsqu'on peut définir l’écart de deux éléments quelconques d’une certaine classe, nous dirons que celle-ci est une classe (FE).

Il est facile de voir que le nombre ainsi défini satisfait aux conditions imposées à la définition du voisinage. En effet, la condition 1° du n° 27, sera remplie d’elle-même et la condition 2° sera remplie, en prenant par exemple f(s) — 2e, si l’on tient compte de la condition b) actuelle.

Ainsi, l'écart est un voisinage qui jouit d’une propriété particulière, ou, si l’on veut, toute classe (Æ) est une classe (W). Dans la plupart des démonstrations des théorèmes connus, la propriété b) de Pécart intervient dans les raisonnements. Cependant la théorie développée dans ce Chapitre montre qu’elle n’est pas indispensable et qu’il suffit de se servir du voisinage sans avoir besoin pour cela de compliquer notablement le raisonnement.

50. Une exception doit être faite cependant pour le théorème que nous allons établir maintenant; l'hypothèse qu'on opère sur une classe (E) intervient en effet d’une manière essentielle dans la démonstration. Malgré cela, il est pourtant vraisemblable que l’énoncé reste exact pour toutes les classes (7).

Ce théorème est la réciproque du théorème que nous avons donné au début (n° 11) concernant le maximum d’une opération continue. J’attire l'attention sur le mode de démonstration et aussi sur la réciproque elle-même qui me paraît donner dans certains cas une forme précise à un principe général énoncé d’une façon un peu vague par M. HixBERT (xx, page 137):

« Tout problème du Calcul des variations possède une solution, pourvu que certaines hypothèses restrictives convenablement choisies relatives à la nature des conditions aux limites données soient remplies, et nécessairement aussi pourvu que ce que l’on entend par le mot solution éprouve une généralisation conforme au sens, à la nature des choses ».

51. THÉORÈME.— La condition nécessaire et suffisante pour que toute opération confinue dans un ensemble E d'éléments d’une classe (E), 1° soit bornée dans cet ensemble, 2° y aiteigne sa limite supérieure, est que cet ensemble E soit extrémal.

Nous avons déjà prouvé que la condition est suffisante.

Nous montrerons maintenant que si l’ensemble Æ n’était pas extrémal, on pourrait former au moins deux opérations continues dans E: l’une non bornte, lautre bornée mais n’atteignant pas sa limite supérieure. Observons qu’il suffit d'obtenir la pre-

mière U, car alors on pourra prendre pour la seconde: qui n’atteindra

mom jamais sa limite supérieure: 1.

1° Supposons d’abord que Æ ne soit pas fermé. Il y a donc un élément À, limite

d'éléments de Æ et n’appartenant pas à Æ. Alors il sufhra de prendre pour valeur de Dit) hechaquentlémenteDiderE:

Cette opération est évidemment non bornée. Elle est bien définie en tout élément BASE tdEsplus elle testicontinue cars er CPsontudeuxtélémentssde/E Fon22 D ee)

Or, en prenant B fixe et « aussi petit que l’on veut et en particulier plus petit