LE ON

D'où :

€ € ae

Ainsi, l'écart de deux éléments quelconques, Pun dans E,, l’autre dans E,, reste supérieur à un nombre positif fixe. Cela prouve que: 1° Ë, et E, n’ont aucun élément commun; 2° aucun élément limite de E, n'appartient à ÆE,, ni inversement. Enfin, si lon considère une suite d’éléments B,, B,, ... appartenant respectivement à des ensembles E,, E,,, ... tous distincts, il est impossible qu’une telle suite ait une limite. En effet, dans ce cas on pourrait d’abord, en ne considérant au besoin qu’une suite extraite de la suite donnée, supposer que les indices p,, p,,... vont en croissant. Or, on aurait, en appelant € la limite de cette suite d’éléments,

| CAC AUCE ER

et puisque par hypothèse (B,, 4,,) Z =, on voit que les deux termes du second

n s 1 . FR .

membre tendraient vers zéro avec es Or ceci est impossible puisqu’alors il y aurait une suite 4,,, À,,, ... extraite de S et tendant vers une limite C. Ceci étant, nous formerons lopération cherchée U de la manière suivante. Nous prendrons :

U(B)=[e, —(B, AJ, ?

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 33 EE CR Re RS AS NE

lorsque B est un élément quelconque de E ,» €t nous prendrons U(B)—o quand B n’est dans aucun des ensembles E , E,, … c’est-à-dire est dans l’ensemble G=E-E —E,—.…. On voit d’abord que U sera une opération bien déterminée en tout élément de E. Elle n’est pas bornée, car on 2:

Elle est pourtant continue dans E. Il suffit de montrer que si des éléments de E distincts: C,, C,, ... tendent vers un élément C de E, on a:

U(C) = lim U(C,)

En effet, observons d’abord qu’il n’y a pas, d’après ce qui précède, une infinité

d'éléments de la suite C,, C,, ... appartenant à des ensembles E , distincts. Alors: 1° Ou bien C est dans G, c’est-à-dire que l’on a, quel que soit p: (CRAN Er Of:

CC, AJDCC, À) —(C C)—= a, +[CC, 4,)— 2, — (GC, C)}; d'autre part, on aura, pour # assez grand:

(C, €,) (CC, 5) ŒÉe

d’où, en combinant ces deux inégalités :

ORNE Donc, à partir d’un certain rang C, est dans G. Alors on a: U(C,)=0o, U(C)—o, U(C) = lim U(C,);

2° Ou bien Cest dans E, et on a: (C, 4,) Z «,. Alors deux cas se présentent: a) (C, 4,) 2; on voit comme précédemment qu’à partir d’un certain rang C, est constamment dans E,. Alors: