APPLICATIONS DE LA THÉORIE GÉNÉRALE

52. La méthode que nous aurons à employer pour appliquer la théorie générale aux cas particuliers obtenus en spécifiant la nature des éléments, s’indique d’elle-même. Dans tous les exemples qui suivront, nous commencerons par définir la classe d'éléments sur laquelle nous aurons à opérer; en particulier nous donnerons une règle permettant de discerner les éléments distincts, ce qui n’est pas toujours aussi simple qu’on pourrait le croire (voir n° 76-77). Puis nous montrerons qu’on peut considérer la définition ordinaire de la limite de ces éléments comme rentrant dans la définition que nous avons donnée à laide de Pécart (cas particulier du voisinage, n° 49). Nous prouverons enfin que la classe (FE), ainsi obtenue, est normale (n° 37). Ceci fat, il n’y aura plus qu'à répéter les théorèmes généraux de la PREMIÈRE PARTIE énoncés dans le langage qui correspond à la classe considérée. Enfin, nous donnerons dans chaque cas une condition nécessaire et suffisante pour qu’un ensemble soit compact (n° 9). Cela revient à remplacer la définition générale de l’ensemble compact par une définition d’une apparence moins abstraite, mais particulière à chaque cas.

CHAPTARESHNIRE

Les ensembles linéaires et les fonctions d’une variable.

58. Prenons comme éléments les points d’une droite (ou les nombres qui représentent leurs abscisses). On sait discerner les éléments de cette classe qui sont distincts. Si Von appelle écart de deux d’entre eux leur distance, on voit que cette définition répond bien aux conditions 4), b), imposées à la notion d’écart, n° 49. De plus, la définition ordinaire de la limite d’une suite de points coïncide avec celle qu’on déduit de cette définition de l'écart.

La classe (Æ) ainsi définie est normale. En effet, le théorème de Caucuy (n° 37) a été démontré précisément dans ce cas. D’autre part, on sait que l’ensemble des points d’une droite peut être considéré comme lensemble dérivé de l’ensemble dénombrable des points d’abscisses rationnelles.

On sait d’ailleurs que tout ensemble linéaire limité et comprenant une infinité de points, donne lieu à au moins un point limite. Inversement, nous avons démontré (n° 3 S) que tout ensemble compact tiré d’une classe (1) est limité. Par suite, dans le cas des ensembles linéaires, la notion d’ensemble compact se confond avec celle d'ensemble limité.

Si maintenant nous appliquons nos théorèmes généraux, nous retrouvons la plupart des théorèmes classiques de la théorie des ensembles linéaires et des fonctions continues d’une variable. (Voir par exemple I, Il).

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 35 EE mn. ie 4 =". +, 54. Nous devons même remarquer que nous obtenons ainsi un peu plus. En effet, dans la théorie classique, on est naturellement amené À se borner aux ensembles de points d’un même intervalle et on oublie que les ensembles illimités ont quelquefois des propriétés différentes. Au contraire, nous avons vu dans la théorie générale que les propriétés particulières des ensembles compacts intervenaient constamment dans les démonstrations et d’une façon apparente.

Ainsi, par exemple, considérons des fonctions f(x), f(x), ... continues pour toute valeur de x et qui convergent quel que soit x vers f(x). A quelle condition f(x) est-elle continue ? M. ARzELA (n° 14) ne s’est pas occupé de ce cas; si l’on généralise son résultat sans précautions, on serait tenté de dire: pour que f(x) soit continue, il faut et il sufhit que, étant donnés deux nombres positifs & et N, on puisse en trouver un troisième N’N N, tel que, pour toute valeur de x, il existe un entier #, vérifiant les inégalités

NL RON, n fi) — FC) <e

Or, ce serait une erreur; il suffit pour le voir de prendre f, (x) — e ‘**, D’ailleurs la difhculté se lève comme dans le cas général. Pour que f(x) soit continue, il faut et il suffit que la convergence soit quasi-uniforme (n° 14) dans tout intervalle limité.

De même, on pourrait être tenté de généraliser un autre résultat de M. ARZELÀ (n° 15) en énonçant ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que des fonctions f(x) continues quelque soit x soient telles que, d’une infinité quelconque d’entre elles, on puisse extraire une suite convergente : il faut et il suffit que, 1° ces fonctions soient bornées dans leur ensemble, 2° à tout nombre es > o on puisse faire correspondre un nombre n tel que l’inégalité |x’ — x’’| < n entraîne pour toutes les fonctions f(x):

CSS ICS ESS Or aucune de ces deux conditions n’est nécessaire, comme le montre l'exemple des fonc-

; I = ne tions f, (x) — x° + et où # prend toutes les valeurs entières positives. Au contraire, de

nos théorèmes généraux nous pouvons conclure que la condition nécessaire et sufhsante est que les fonctions doivent être bornées et également continues en tout point x pris isolément (voir n° 15). De plus, si ces conditions sont remplies, la convergence sera uniforme dans tout segment limité.

55. REMARQUE. — La plupart des théorèmes classiques sur les ensembles linéaires et les fonctions d’une variable s'étendent immédiatement aux ensembles de points de Vespace À 2, 3, ..., #, ... dimensions et aux fonctions de 2, 3, ..., #, ... variables. C’est même pour la plupart d’entre eux la seule généralisation qu’on en avait faite. L’analogie qu’on avait ainsi observée est beaucoup plus profonde si lon se place à notre point de vue général.

Pour obtenir ces théorèmes, il sufhit de procéder comme plus haut en appelant écart de deux éléments (x,, x,, ..., x,) et (x;, x

ORNE RCE)

f. DRE « -, X!) la quantité:

36 MAURICE FRÉCHET.

CHAPETr EVE

Les ensembles de fonctions continues et les fonctionnelles.

56. Prenons comme éléments variables les fonctions de x uniformément continues dans un intervalle déterminé /. Nous considérerons bien entendu comme distinctes deux fonctions dont la différence n’est pas partout nulle dans J.

Il y a ici deux définitions classiques de la limite, nous n’envisagerons que la limite dite uniforme *). Nous pouvons considérer cette définition comme une conséquence de la définition suivante de l’écart de deux fonctions f(x), g(x) uniformément continues dans J: Cet écart (f, g) est le maximum de |f(x) — g(x) dans J. Cette définition bien naturelle semble avoir été employée pour la première fois d’une manière systématique par WeEïersrRass. Elle satisfait bien aux conditions générales 4), b) du n° 49. La classe (FE) ainsi dtfinie est normale. En effet, on sait d’abord qu’elle admet une généralisation du théorème de Caucxy relatif à la convergence d’une suite. D'autre part, on peut former, une fois pour toutes, une suite S de fonctions uniformément continues dans /:

RAOMAQ) telle que toute fonction continue dans / en soit la limite uniforme. Par exemple, on peut prendre pour former la suite S, l’ensemble évidemment dénombrable des fonctions continues qui prennent des valeurs rationnelles en chacun des points de division de 7 en g parties égales (g étant arbitraire) et qui sont linéaires dans chacune de ces divisions. Alors, étant donnée une fonction f(x) continue dans /, si on prend dans cet ensemble la fonction 1e (x) qui prend en chaque point de division une valeur égale à

L L a A 1 2 c ; la valeur approchée par défaut de f(x) à — près, on voit facilement que la suite q

MORMOESS: : (x), ... extraite de S converge uniformément vers f(x) *). Cette remarque peut s’énoncer de la façon suivante, en posant

MG) = CG) +, 4) =, Q) — fe), -..:

On peut former, une fois pour toutes, une série de fonctions uniformément continues

dans ] :