HOMO RESTO

telle qu'en groupant convenablement ses termes on puisse la faire tendre uniformément vers n'importe quelle fonction continue dans ]. 57. D’après notre définition de la limite, le théorème d’ARzELÀ sur les fonctions

*) On dit qu’une fonction f, (x) tend uniformément vers f(x) dans J, si à tout nombre € > o on peut faire correspondre un entier p tel que l'inégalité # >> p entraîne : |f,(x) — f(x)| € pour toute valeur de x de l'intervalle / (voir n° 13).

*) On pourrait aussi procéder comme au n° 72 en utilisant le développement d’une fonction continue en série de polynomes (11, page 50).

continues (qui se déduit dans le Chapitre précédent de nos théorèmes généraux) nous permet d’afhrmer que la condition nécessaire et suffisante pour qu’un ensemble de fonctions uniformément continues dans / soit compact est que ces fonctions soient en chaque point de 7 bornées et également continues. Nous n’avons plus maintenant aucune difficulté à appliquer nos théorèmes généraux aux ensembles de fonctions continues dans } en nous souvenant que la limite dont il s’agit dans ce qui suit est la limite UNIFORME.

THÉORÈME. — Étant donné un ensemble quelconque E de fonctions uniformément continues dans J, on peut extraire de E une suite dénombrable d'éléments telle que tout élément de E appartienne à cette suite ou soit un de ses éléments limites (45) 20h sait aussi que Pensemble dérivé de E est fermé *).

THÉORÈME. — Si ce même ensemble E est non dénombrable, il donne lieu à au moins un élément de condensation (n° 43). Remarquons que la définition générale des éléments de condensation peut se traduire ici de la façon suivante: Un élément f (x) est un élément de condensation de E si, quel que soit s > o, il y a une infinité non dénombrable d'éléments p(x) de E tels que f(x) — & << p(x) << f(x) + 6.

THÉORÈME. — Soit F un ensemble FERME de fonctions uniformément continues dans un intervalle J. 1° On peut toujours décomposer cet ensemble en un ensemble dénombrable et un ensemble parfait ou nul (n° 44). 2° Si F fait partie d'un ensemble B de foncions qui sont en chaque point de J également continues et bornées, on pourra extraire de B une suite d'éléments f (x), f,(x), ... et former une suite de nombres positifs &., €, telles que l’on obtienne F en supprimant de B les fonctions f(x) qui vérifient L’UNE des inégalités suivantes :

OR GR RO EE LG) EG) G) er AS)

THÉORÈME. — Soit B un ensemble FERMÉ de fonctions également continues et bornées en tout point d'un intervalle J. S'il existe une famille H d’ensembles I de fonctions de B, telle que toute fonction de B est intérieure au sens étroit à l’un au moins de ces ensembles, on peut extraire de H un nombre fini d’ensembles T formant une famille G jouissant de la méme propriété que H. La réciproque est vraïe (n° 42).

58. En particularisant la question que nous avons résolue au n° 39, on obtient le problème posé par M. HapaMarD en ces termes: «Soit Æ l’ensemble des fonctions continues entre © et 1, ayant des valeurs déterminées aux extrémités, ou remplissant des conditions analogues. Divisons E en ensembles partiels k, tels que deux fonctions quelconques appartenant à Æ aient un écart moindre que s. Considérant les 4, comme autant d'individus, on peut dire que l’ensemble %i,, qui a ces k, comme éléments, numère l’ensemble E. C’est cet ensemble 4, dont il conviendrait d'étudier les propriétés et en particulier la puissance ».

La théorie générale appliquée ici nous permet de donner à ce problème une solu-

+) Nous savons (n° 22) qu'il n’en serait plus ainsi, si l’on avait pris la définition de la limite dans son sens ordinaire, c’est-à-dire sans la supposer nécessairement uniforme.

38 MAURICE FRÉCHET.

tion complète en ce qui concerne la puissance, et même il nous est indifférent de supposer ou non que les valeurs des fonctions soient où non données aux extrémités. La réponse est la suivante: Quel que soit un ensemble E de fonctions uniformément continues dans un intervalle J, on peut toujours choisir sa décomposition en ensembles k, de façon que %, soit dénombrable (n° 40). Pour que À. non seulement soit dénombrable mais se compose d’un nombre fini de termes quel que soit e, il faut et il suffit que les fonctions appartenant à E soient en chaque point de J bornées et également continues (n° 41). Dans les deux cas, on pourra choisir les k, de façon que chaque élément de E soit intérieur au sens étroit à au moins l’un d'eux. De plus, nous connaissons un moyen effectif de déterminer les k, dans le cas général et cela indépendamment de E.

59. Les opérations portant sur des fonctions continues sont spécialement appelées des fonctionnelles par M. Hapamarp (x1). Un exemple important de fonctionnelle continue est la fonctionnelle linéaire:

UD = f mErCDds

où m(x) est une fonction bornée intégrable dans l'intervalle (4, b).

Nous pouvons appliquer encore ici nos théorèmes généraux sur les opérations.

THÉORÈME. — Soit U une fonctionnelle continue dans un ensemble fermé B de fonctions de x bornées et également continues en tout point d’un intervalle J. Cette fonctionnelle: 1° est bornée dans B; 2° y atteint au moins une fois sa limite supérieure (n° 11). Réciproquement, si cette circonstance a lieu pour toute fonctionnelle continue dans B, B est un ensemble fermé de fonctions également continues et bornées en tout poini derTE(naeS tr)

THÉORÈME. — Pour qu'une suite de fonctionnelles U,, UÜ,, ..., continues dans un champ quelconque E de fonctions de x uniformément continues dans ], converge vers une fonctionnelle continue dans E, il faut et il suffit que la convergence soit quasi-uniforme dans tout ensemble fermé formé de fonctions également continues et bornées appartenant Er):

THÉORÈME. — Considérons une famille É de fonctionnelles continues dans un ensemble fermé de fonctions également continues et bornées en tout point d’un intervalle ]. Pour que de toute infinité de fonctionnelles de ff, on puisse extraire une suite qui converge uniformément, il faut et il suffit que les fonctionnelles de Ÿ soient bornées et également continues en tout élément de l'ensemble de fonctions (n° 48).

CHAPETRENV:

Les ensembles et les fonctions de points de l’espace à une infinité dénombrable de dimensions.

60. Un grand nombre des éléments qui interviennent en mathématiques sont déterminés chacun complétement par une suite infinie de nombres réels ou complexes: Par exemple, une série de Taylor est déterminée par la suite de ses coefficients sous

la forme :

QG) JG)= a, +ax+... Ha.) +...

Une fonction continue de x entre o et 1 est déterminée par la suite des valeurs » . . . . .

qu'elle prend aux points d’abscisses rationnelles, par la formule d’interpolation de

M. BoreL (1, page 80):

p=9 bG)= lim So (2) M, (@).

De même, un nombre irrationnel est défini par une suite de nombres rationnels; et ainsi de suite.

On peut donc considérer les nombres de la suite qui définit chacun de ces éléments comme les coordonnées de cet élément envisagé comme un point d’un espace (E,) à une infinité dénombrable de dimensions. Il y a plusieurs avantages à opérer ainsi. D'abord l'avantage qui se présente toujours quand on emploie le langage gtométrique si propice à l'intuition par les analogies qu’il fait naïtre. Ensuite cela permet d'obtenir des propriétés générales applicables à toutes ces catégories d'éléments: celles qui résultent non de leur nature propre, mais de leur détermination par un ensemble dénombrable de nombres. Il reste d’ailleurs bien entendu qu’à toute suite infinie de nombres ne correspond pas nécessairement un de ces éléments. Par exemple, lexpression Cned un rome ha Eute 2, 4, 00... Satistait d certaines conditions.

61. Nous allons donc maintenant faire abstraction de l’origine de la suite de nombres qui définit un de ces éléments et considérer simplement cette suite:

NN

comme définissant un point déterminé x de l’espace.

Nous dirons que deux points x, x’ de (Æ) coïncident, lorsque leurs coordonnées sont respectivement égales, et dans ce cas seulement.

Pour pouvoir appliquer dans le cas présent les théorèmes généraux obtenus précédemment, il nous sufhira de montrer que la classe des points de (E,,) définit une classe (E) normale.

62. Écart de deux points de (E,). — On pourrait définir de bien des manières l’écart de deux points :