PES ES ETS EF

comme il est facile de le vérifier.

Donc on a pour trois points quelconques x, x’, x” Ge’, 2) Z x, x) + Cr x).

Ainsi le nombre que nous venons de définir satisfait bien aux deux conditions générales que nous avions imposées à la définition de l’écart (n° 49).

63. Limite d'un point de (E,,). — De la définition de l’écart résulte la définition de la limite d’un one de l’espace (E,,).

On dit qu’un point x!” de l’espace (E) tend vers le point x de (E,), quand # croît indéfiniment, si l’écart (x°”, x) tend vers zéro avec A Mais on peut donner

une définition équivalente faisant intervenir directement les coordonnées, au moyen du théorème suivant :

THÉORÈME. — La condition nécessaire et SUFFISANTE pour qu'un point de (E)

| xt): CRE GERS 2° tende vers un point:

CRE %,5 K,> 0 Xp 20

(n) AE : :

est que, quel que soit p, x} tende vers x, quand n croît indéfiniment. En effet, supposons d’abord que cette dernière condition soit réalisée. Je vais montrer que (x, x") tend vers zéro. Pour cela observons qu’on a:

— xt) (2) Ga, a) JB x

Leo — x?

I + Le RL ER SE — x) Ée To en appelant r, l’expression indépendante de »:

nl LE me

ER M TP AT QE bete sie

: 1 Cette dernière quantité tend vers zéro avec a on peut donc fixer un nombre p

€ re

indépendant de #, tel que Pon ait r, < me Le nombre p étant ainsi fixé, il est manifeste que la somme des p termes qui le précèdent dans l'inégalité (2) tend vers zéro quand # croît indéfiniment. On peut donc trouver un nombre g tel que leur somme soit inférieure À — pour #4. En résumé, nous obtenons un nombre gq tel

que l’on ait:

Ga) <Ee pour n >;

ce qui démontre que la condition supposte était bien suffisante.

Démontrons qu’elle est nécessaire. L'expression de (x, x! ”) montre que l’on a pour toute valeur de p:

(n) Fe, mit Hp x Donc le premier membre tend vers zéro lorsque, p restant fixe, # croit indéfiniment. Ceci ne peut arriver que si xŸ tend vers x, pour toute valeur fixe de p. 64. Cette proposition permet de montrer que la classe (FE) admet une généralisation du théorème de Caucny :

<pl(x, x).

THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite infinie de points

dénPespoterCE*):