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ait une limite, est que, quel que soit le nombre s >> 0, on puisse déterminer un nombre n tel que l’on ait:
(en, x) ar quel que soit l’entier p.
La condition est évidemment nécessaire.
Inversement, supposons la condition réalisée. On aura: (n) Er (2+p) lé 9 "|
eq!
Eee LAS RE] ee q
(#1) EE HN X LES Re t
I , en supposant € Te Ayant une fois fixé g, on pourra prendre € de façon que
I eq!
) et —T— <v,
I — €q w étant donné à l’avance; alors & déterminera # et on aura: to Bus NEA ES &,
quel que soit p. D’après un théorème bien connu de Caucxy, il en résulte que la suite des nombres :
a une limite x, lorsque # croit indéfiniment. Et ceci a lieu quel que soit g. D’après le théorème ions cela prouve que la suite xl”, ..., x°), ... a une limite déterminée
X? Xp eee Xo) Les ensembles de points de l’espace (E;).
65. Du fait que l’on peut définir l'écart de deux points de l’espace (E,) à une infinité dénombrable de dimensions, il résulte que les points de cet espace forment une classe (E). Nous compléterons de plus Passimilation à la théorie générale par le théorème suivant :
FRÉCHET.
42 MAURICE FRÉCHET.
Tuiorëme. — Les points de Pespace (E,) forment une classe (E) normale.
Nous savons déjà qu’ils forment une classe (E) admettant une généralisation du théorème de Caucay sur les suites convergentes. Cette classe (E) est évidemment parfaite. Il suffit de montrer qu’on peut la considérer comme l’ensemble dérivé d’une suite dénombrable de ses “léments. Pour cela remarquons d’abord que l’ensemble des nombres rationnels de signe quelconque est un ensemble dénombrable qu'on peut mettre sous la forme d’une suite :
DURANT Considérons alors l’ensemble D des points de l’espace (E) qui ont des coordon-
nées de la forme:
X, — Un, X, — Cu, ss X, — Cry) rer M RO) ..
où p,n,,1,, -.., n, sont des entiers positifs quelconques. Cet ensemble est évidem-
ment dénombrable et on voit facilement que tout point de (Æ) est limite d’une suite ’éléments de D.
66. Les ensembles compacts.—La notion d’ensemble compact prend une signification géométrique très simple dans le cas d’un ensemble de points de (E). Pour l'indiquer, nous dirons d’abord qu’un ensemble de points de (E,,) est contenu dans un domaine fini, si lon peut trouver une suite de nombres No: M, M,,... tels que l’on ait pour TOUIDOHEAE PEL 0e --..) del'ensemble:
