D EN RER A PSE RETOUR

THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble E de points

de l'espace (E,) soit compact est que cet ensemble soit contenu dans un domaine fini.

En effet, supposons Pensemble Æ compact; s’il n’était pas dans un domaine fini, on pourrait trouver # tel que l’ensemble des coordonnées de rang # des points de E ne soit pas borné. Autrement dit, il faudrait que, quel que soit p, on puisse trouver un point x) de Æ tel que, en appelant x sa coordonnée de rang #, on ait:

ont Or ceci est impossible si E°est compact; car, de la suite des points de E:"x0/, x®,... on pourrait extraire une suite xŸn, x(%2) ... ayant une limite x. Et alors les nombres x, xf2, ... qui croissent indéfiniment comme p,, p,,... auraient une

limite finie x.

Inversement, supposons que Æ soit dans un domaine fini. Alors, ou bien il n’y a qu'un nombre fini d'éléments et dans ce cas Æ est compact par définition, ou bien il y a un nombre infini d'éléments distincts. Considérons un ensemble infini Æ, contenu dans ÆE. L'ensemble de ses coordonnées de rang 1 est borné par hypothèse. Donc: ou bien il y en a une infinité qui sont égales À un même nombre x,, ou bien on peut en trouver une infinité qui sont distinctes et tendent vers un nombre déterminé x.

Dans les deux cas, on pourra extraire de Æ, une suite de points de (E,,):

telle que la suite x°°, x, ..., x}, ... ait une limite déterminée x. De cette pre-

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 43 UN ee 4 4. QE

mière suite, on pourra extraire une autre suite de points rangés dans le même ordre:

(1,2) (2,2) (n,2) SENS Next

PER telle que les coordonnées du deuxième rang aient une limite déterminée x,, les coordonnées du premier rang continuant à tendre vers x. Et ainsi de suite. On arrivera à former une suite de points de E :

"y (1,p) (2,p) -(n,b) HSE TT OUR ES ne

contenue dans les suites précédemment formées et telle que les coordonnées de rang au plus égal à p aient respectivement des limites déterminées: x

RAR 20 AA Alors, considérons la suite de points de Æ distincts : (22) (2) D MOT ER A Ca san de À partir du rang p, et ceci quel que soit p, cette suite est formée d'éléments de la suite x(PP), x, .,,, x)... pris dans le même ordre. Donc ses coordonnées de

rang p tendent, quel que soit p, vers un nombre déterminé x,. Autrement dit, la suite (2) est une suite d'éléments de Æ qui sont distincts et ont une limite détermine: le point de coordonnées

PNR TR LE

p) La proposition est ainsi démontrée *).

Applications des théorèmes généraux.

67. Il n’y a plus maintenant aucune difficulté à appliquer aux ensembles de points de l’espace (E) les théorèmes énoncés pour les ensembles tirés d’une classe (Æ) normale.

THÉORÈME. — Considérons un ensemble QUELCONQUE E de points de l'espace (E,) à une infinité dénombrable de dimensions: 1° on peut extraire de E un ensemble dénombrable de points, D, tel que tout point de E appartienne, soit à D, soit à son dérivé D'; 2° lensemble E' dérivé de E est fermé; 3° l’ensemble E est dénombrable ou sinon donne lieu à au moins un point de condensahon.

THÉORÈME. — Si un ensemble E de points de l’espace (E,,) est dans un domaïne fini, lPensemble de ceux de ses points qui ne sont pas des points limites de E est dénombrable.

THÉORÈME. — Soit E un ensemble de points de l'espace (E,) qui est fermé et contenu dans un domaine fini D: 1° il existe un ensemble dénombrable G de sphéroïdes tels qu'on obtienne E en enlevant de D les points intérieurs à chacun de ces sphéroïdes ; 2° E peut étre décomposé en un ensemble dénombrable de points et un ensemble parfait ou nul sans points communs avec le précédent ; 3° il existe au moins un ensemble K de points de (E,) dont l’ensemble dérivé coïncide avec E.

THÉORÈME. — Pour qu’un ensemble E de points de l'espace (E,,) soit fermé et con-

*) M. Monrez est depuis longtemps en possession de la condition suffisante qui lui a servi pour établir certaines propositions énoncées dans une Note des Comptes Rendus (xxv).

44 MAURICE FRÉCHET.

tenu dans un domaine fini, il faut et il suffit que de toute famille G d’ensembles I de poinis de E telle que tout point de E soit intérieur au sens étroit à l’un au moins des ensembles I, on puisse extraire un nombre fini de ces ensembles I formant une famille H jouissant de la même propriété que G.

THÉORÈME. — Tout ensemble parfait de points de (E,) possède la puissance du continu.

On peut encore ici résoudre une question analogue à celle qui a été posée par M. HapaMarD pour les ensembles de fonctions continues (n° 39).

Soit Æ un ensemble de points de l’espace (E,); décomposons Æ en ensembles partiels k, tels que deux points quelconques de l’un d’eux aient un écart moindre que e, et soit Àf, l’ensemble des k,. Quels que soient E et e, on peut toujours opérer ceïte décomposition de façon que %. soit dénombrable. Pour que, quel que soit e, on puisse dé. composer E en un nombre fini d’ensembles k., il faut et il suffit que E soit contenu dans un domaine fini.

68. REMARQUE. — C’est ici le lieu d'observer qu’on aurait pu être amené à choisir une autre définition de la limite d’une suite de points de l’espace (E). Il semble au premier abord qu’il aurait été plus naturel, en même temps que plus adéquat aux applications, d’adopter la définition suivante: Une suite de points x°, x, ,.,, x, ... tend vers un point x lorsque, étant donné un nombre £ © 0, on peut trouver un entier. g tel que lon ait: |

A L'etrdenx,

Il y aurait certainement lieu d’étudier une théorie des ensembles et de la continuité

quel que soit le rang p des coordonnées considérées de x!

dans l’espace (E,) fondée sur cette définition qui peut présenter parfois des avantages (xvur). Cependant, elle se prête moins bien aux applications de nos théorèmes généraux. En efet, on voit que pour déduire cette définition d’une définition convenable de l’écart, on est amené à appeler écart de deux points x, x’ la limite supérieure de Ir, =) quand p prend toutes les valeurs entières possibles. Cette définition semble beaucoup plus simple que celle que nous avons adoptée; elle à pourtant l’inconvénient de ne pas s'appliquer à deux éléments! quelconques. Plus exactement, elle pourrait donner une valeur infinie à l’écart de deux points dont les coordonnées sont finies (mais non bornées). Un autre inconvénient de cette méthode est qu’on ne voit plus nettement quelle est la signification géométrique qu’il faut attacher à la notion d'ensemble compact. En effet, il est facile de former un exemple d’un ensemble de points de (E,) qui est contenu dans un domaine fini et qui n’a pourtant aucun élément limite au sens de la deuxième définition. On pourrait peut-être espérer qu’il y a un élément limite lorsqu’on impose à l’ensemble d’être, non plus seulement infini, mais non dénombrable. Ou bien encore en restreignant la définition que nous avons donnée d’un domaine fini et en disant que le domaine sera fini si toutes les coordonnées sont en valeur absolue inférieures à un #ême nombre fixe. Aucune de ces restrictions ne peut pourtant restituer sa validité au théorème en question. Il sufhit en effet de considérer l’ensemble de tous

les points distincts dont les coordonnées sont toujours égales à o ou r. Cet ensemble a la puissance du continu (il n’est donc pas dénombrable) et toutes les coordonnées de ses points sont bornées dans leur ensemble; il n’a pourtant aucun point limite au sens de la deuxième définition. Il en a au contraire au sens de la première.

Les fonctions d’une suite infinie de variables indépendantes.

69. Conformément à nos définitions générales, nous dirons qu’une fonction d’une

SU nRMeNdeNvar Dies te TX,

NP Re ee) RU D R . )< pPourdimite (x. 2, 2. .)lersque x®, x®, ..., x, ... tendent simultanément, mais indépendamment, vers NA ee x,, -.. quand p croit indéfiniment. Nous pouvons encore ici appliquer nos théorèmes généraux :

THÉORÈME. — Si une fonction d’un point de l’espace (E,,) à une infinité dénombrable de dimensions est continue dans un ensemble limité et fermé de points de cet espace, cette fonction: 1° est bornée; 2° atteint en au moins un point de E sa limite supérieure. Réciproquement, si cette propriété a lieu pour toutes les fonctions continues dans un ensemble E, cet ensemble est limité et fermé.

THÉORÈME. — Toute fonction continue dans un ensemble extrémal de points de l'espace (E,) est uniformément continue dans cet ensemble.

THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une série de fonctions continues en tout point d’un ensemble extrémal de points de l’espace (E,) converge vers une fonction continue, est que la convergence de cette série soit quasi-uniforme.

THÉORÈME. — Soit ff une famille de fonctions continues dans un ensemble limité et fermé de points de l’espace (E,,). Pour que, de toute infinité de fonctions de ff, on puisse extraire une suite qui converge uniformément, il faut et il suffit que les fonctions de dj soient également continues et bornées en tout point de l'ensemble.