CHAPITRE VI
Fonctions holomorphes à l’intérieur d’une même aire.
7o. Considérons dans le plan complexe des x, une aire quelconque & à contour simple ou multiple. Nous allons étudier les ensembles dont les éléments sont des fonctions holomorphes en tout point intérieur à À. Pour éviter des restrictions dans les énoncés que nous allons obtenir, nous ne nous préoccuperons pas de ce qui se passe sur le contour de &. Autrement dit, nous considérerons comme identiques deux fonctions holomorphes à l’intérieur de % qui ont même valeur en tout point intérieur à 4.
Pour appliquer nos théorèmes généraux, nous montrerons qu’on peut définir un écart. Supposons qu’on ait déterminé une suite d’aires limitées 4,, &,, ... Ar chacune intérieure aux suivantes et à &, de façon que toute aire 4’ intérieure à & se
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trouve aussi intérieure aux aires de cette suite à partir d’un certain rang *). Pour définir l'écart de deux fonctions f et g holomorphes à l'intérieur de &, nous appelons w, le maximum fini de |f(x) — g(x)| quand x varie dans &, ou sur son contour. La série
SERRE ee ou En
est certainement convergente; sa somme sera par définition lécart (f, g) de f et deg dans 4. On voit que si f(x) — g(x)l a une limite supérieure finie # quand x varie
A ue eu de façon quelconque à l’intérieur de Œ%, lécart sera inférieur à ——. Mais Pécart
En se servant des remarques faites pour les points de l’espace (E,,) au n° 62, on
aura une valeur finie <Z e même dans le cas contraire.
voit encore que la définition que nous venons de donner satisfait bien aux conditions imposées à celle de lécart (n° 49).
Conformément à la théorie générale, nous dirons donc que, étant données deux fonctions holomorphes à l’intérieur de & : 1Q et f,(x), la fonction f(x) est la limite
de f, (x) si leur écart tend vers zéro avec —. n
Pour se rendre compte de la signification de cette définition, il sufhit de remarquer que la condition nécessaire et suffisante pour que l’écart (f, f.) tende vers zéro est que FC tende uniformément vers f(x) dans toute aire $' intérieure à À.
En effet, si cette condition est remplie, le maximum w® de |f(x) — f,(X)| dans
I : a , tend vers zéro avec —, quel que soit l’entier fixe p. D’après un raisonnement emn ployé plus haut (n° 63), cela suffit pour que Pécart us
RE
ait . pour limite zéro. Inversement, si l’écart tend vers zéro, il en est de même de u}” quel que soit l’entier fixe p, d’après l'inégalité:
uy ,
A PIC Fe) p
Donc f,(x) tend uniformément vers f(x) dans chaque aire & , €t par suite dans toute aire À’ intérieure à À. Mais il n’est pas certain que la convergence de f(x) vers f@ soit uniforme dans &. On en verrait un exemple en prenant pour À le cercle k1-Z1 et en posant f,(1)=2", f(x)=0. Il nous semble pourtant préférable d’adopter notre définition plutôt que celle d’après laquelle on considtrerait seulement f(x) comme limite de f,(x) quand f,(x) tend vers f(x) uniformément dans toute Paire À.
*) Par exemple, si & est limitée par un contour convexe simple, on prendrait pour À, l’homothéti-
que de & dans le rapport AS relativement à un point fixe pris indépendamment de # à l’intérieur de à.
Car on serait amené à ne pas toujours considérer une fonction telle que =, comme limite de son développement de TayLor dans son cercle de convergence. +
71. Ainsi donc, nous allons établir notre théorie des ensembles de fonctions holomotphes à l’intérieur de % en considérant une fonction comme limite d’une autre, lorsque la valeur de la seconde tend vers la première uniformément à l’intérieur de toute aire intérieure à 4.
Pour pouvoir appliquer nos théorèmes généraux de la PREMIÈRE PARTIE, nous démontrerons que la classe des fonctions holomorphes à l’intérieur d’une même aire A une classe (E) normale.
Nous savons qu’on peut la considérer comme une classe (Æ). Montrons qu’elle admet une généralisation du théorème de Caucury.
THÉORÈME. — Pour qu’une suite de fonctions :
