AG, £Q

holomorphes à linterieur d’une aire & soit uniformément convergente dans toute aire Q' complètement intérieure à À, il faut et il suffit qu'à tout nombre : © 0, on puisse faire correspondre un entier n tel que l’on ait, quel que soit p:

CNE

Il n’y a aucune difficulté à montrer que la condition est nécessaire. Pour montrer qu’elle est suffisante, appelons #/”” le module maximum de |f,() — f,(D| dans 4, Donnons-nous maintenant une ie 4 intérieure à . On pourra prendre q assez

AE : : pes À 2 insi fix grand pour que À’ soit aussi complètement intérieure à DA Ayant ainsi fixé le nombre [a]

nG +)

Par hypothèse on pourra trouver un entier # tel que l’on ait:

(Pas f,) <e,

g, choisissons un nombre € >> o, inférieur à

quel que soit p. Or,

I Ua I LE 1e »7+P) < QE ne) Donc I EL. I o A ro ou p) ue n+ <N@:.

Autrement dit, étant donné w >> 0, on peut trouver un entier #, tel que l’on ait en tout point de À, :

lf, (€ A CO) < ee,

quel que soit l’entier p. Par conséquent la suite f,(x), f, (x), . .. est bien uniformément

convergente dans 4.

: ; Me ; 72. Démontrons maintenant que les fonctions holomorphes à l’intérieur d’une

même aire À forment une classe séparable.

48 MAURICE FRÉCHET-

THÉORÈME. — On peut déterminer, une fois pour toutes, une suite S de polynomes PCA (D, -.., P,(R), ... telle que toute fonction holomorphe à l'intérieur de À soit limite d'au moins une suite extraite de S, et cela uniformément dans toute aire limitée

À intérieure à À.

Nous nous appuierons sur ce théorème bien connu que toute fonction f(x) holomorphe à l’intérieur de & est la somme d’une série de polynomes (avec convergence uniforme dans toute aire À’ intérieure à À). Alors, quel que soit # on peut déterminer un polynome Q,(x) tel que l’on ait dans toute l'aire À, contour compris

HOPAOES

Mais en remplaçant les parties réelles et imaginaires des coefficients de Q,(7 , te par leurs valeurs rationnelles approchées à moins de —— près, on pourra toujours for-

mer (en prenant q assez grand) un polynome R,(x) à coefficients rationnels tels que l’on ait dans l'aire limitée &, et sur son contour