D RASE

Donc on aura |f(?) — R, (x) < = dans 4, et par suite R,(x) tend uniformément

vers f(x) dans toute aire limitée Q' intérieure à . D’ailleurs, la suite R (x), R,(X), est extraite de l’ensemble E des polynomes de la forme:

dre et er on oui RE ee ? q

1210, D, brides ntierspositits négatifs ou nuls. Il suffit évidemment de démontrer que l’ensemble Æ est dénombrable.

où g et k sont deux entiers positifs; 4,, 4,, ... 4

D'ailleurs cet ensemble est la somme des ensembles E,, de ceux de ces polynomes qui correspondent à des valeurs fixes de g et de k. Il suffit donc de démontrer (, page 2) que chacun des ensembles E,, est dénombrable. Or cela résulte de ce que les polynomes de E,, pour lesquels |a,} + [a] + +: + al + Ib] + +: +18] = 7 sont en nombre fini pour chaque valeur de 7 et qu'on obtient E,, prenant successivement PR ee

73. THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions holomorphes à l’intérieur de À soit un ensemble compact est que les fonctions de cet ensemble soient en module bornées dans leur ensemble dans toute aire limitée ' intérieure à À.

La condition est nécessaire d’après un raisonnement entièrement analogue à celui du n° 18, en considérant laire limitée 4’ comme un ensemble extrémal de points du plan.

Pour démontrer que la condition est suffisante, il suffit de démontrer que si l’on considère une infinité 7 de fonctions holomorphes à l’intérieur de À et bornées dans

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 49 Eee ne D ee eg ee à MU ue ee M

toute aire 4 intérieure à &, on peut extraire de Z une suite qui converge uniformément dans chacune de ces aires 4 *.

Or on peut extraire de & une suite S de points intérieurs À TE UT NS Le telle que tout point intérieur à & appartienne à la suite S ou à son ensemble dérivé (n° 45). Soit r, la limite inférieure de la distance de +, aux points non intérieurs à

. Appelons F, un cercle de centre x, et d — +) i &. App . centre x et dé rayon p, = 7, ol Tout point

intérieur À Œ est intérieur à l’un au moins des cercles F,; et inversement, tout point de F,, ou de son contour, est iniérieur à 4. Dans chacun des cercles T, une quelconque des fonctions f(x) de Z est développable en une série de Tayror qui converge uniformément dans F,, contour compris :

1G)=—= DR CC) AE UEE din CAPES

Alors, à chaque fonction f(x), on peut faire correspondre un point 4 de l’espace (E,) à une infinité dénombrable de dimensions, 4 savoir le point ayant pour coordonnées l’ensemble dénombrable de nombres :

. . +K QG) doi di19 do: D Do) di) d,,2 9 FRE dons din 9 Hs ) Par suite, à l’ensemble 7 de fonctions f(x) correspond un ensemble G de points A de (E,,). Cet ensemble est limité, car on a, quel que soit le point 4,

la,

en appelant M, un nombre supérieur au module de toute fonction f(x) de Z en tout point d'umcecelCtde centre aiettde rayon® 0 et.<7 7. Deès/lors W'ensemble Gest

compact (n° 66) et on peut prendre une suite de ses points 4, 4,, ... ayant une limite B. En appelant (q) (q) (q) s DRE NORRIS les coordonnées de 4, et Das ? De ? ? a ) celles de B, on aura: a ——1|; q bpn Hd

quels que soient p, #. Il en résulte en particulier que lon 2: Va he ae n *) Ce théorème a été démontré par M. ARZELÀ (x, page 6) lorsqu'on ajoute à notre hypothèse les conditions: 1° que les fonctions de I sont bornées, non seulement dans les AV, mais dans tout a (ce qui est moins général); 2° que les dérivées de ces fonctions sont aussi bornées dans Q, ce qui est inutile. M. MoNTEL a énoncé sans démonstration (xxv) que si des fonctions sont régulières dans 4, continues sur le contour et bornées dans leur ensemble dans &, on peut en extraire une suite qui con-

verge uniformément dans À.

*) Ces nombres ne sont pas rangés de façon à suivre l’ordre d’un seul indice comme au Chapi-

tre V. Mais il suffit de savoir qu’on pourrait le faire.

FRÉCHET. 7

ar suite, pour chaque valeur de # la série:

bb a) ee Pb, Ga)

converge vers une fonction +, (x) holomorphe à l’intérieur de C;. Soient d'autre part f.Q, f,(@, -.. les fonctions de Z qui correspondent à 4,, 4,,... Je vais démontrer que cette suite de fonctions a une limite. En effet, on a dans tout cercle F,:

PORN EN ER Le

n[(ey+ (+

€ 7 + En prenant p assez grand, le dernier terme sera << —; p étant ainsi choisi et fixé, la

somme des p r premiers termes tend vers zéro avec FE on peut donc trouver h

4 APRES \ € LA Le tel que cette somme reste inférieure à pour g>> h. En résumé, f, (x) tend unifor-

mément vers ®,(x) dans L, contour compris.

Comme tout point intérieur à & est interieur à au moins un cercle T,, on voit d’abord que l’on a bien extrait de 7 une suite f , f,, ... convergente en tout point intérieur à À. De plus, la limite f(x) est une fonction holomorphe en tout point intérieur à À puisqu'elle coïncide avec ®,(x) dans T, quel que soit #. Enfin, la convergence est uniforme dans toute aire limitée ' intérieure à @. En effet, les points de cette aire À’ (contour compris) forment un ensemble limité et fermé dont chaque point est intérieur à l’un au moins des cercles l,; on peut donc extraire un nombre fini de ces cercles jouissant de la même propriété (voir n° 36). La fonction f, (x) convergeant uniformément dans un nombre fini de cercles l, convergera aussi uniformément dans l'aire 4’ qu'ils recouvrent.

Il serait d’ailleurs inexact d’affirmer qu’on peut choisir la suite f (x), f(x), . :. de façon qu’elle converge uniformément dans toute l'aire & (voir la note précédente). Cela serait inexact même si on supposait que les fonctions de 7 sont à la fois holomorphes et bornées dans leur ensemble dans À contour compris. Il suffit pour s’en rendre compte de prendre encore pour À le cercle [2] 7 1 et pour I les fonctions 7".

74. Application des théorèmes généraux. — Nous savons que les fonctions holomorphes à l’intérieur d’une même aire À forment une classe (FE) normale. Nous pouvons donc leur appliquer les résultats généraux de la PREMIÈRE PARTIE en ayant soin de conserver à la définition de la limite d’une suite de fonctions holomorphes dans 4 le sens que nous avons précisé plus haut (n° 71).

THÉORÈME. — Soit E un ensemble quelconque de fonctions holomorphes à l’intérieur d'une même aire À à contour simple ou multiple: 1° l’ensemble des éléments limites de E est fermé; 2° ou bien E est dénombrable, ou bien E donne lieu à au moins un élément de condensation (n° 8); 3° on peut extraire de E une suite dénombrable S de fonctions telles que toute fonction de E appartienne à S ou soit limite d'au moins une suite extraite de S.

THÉORÈME. — S5 Les fonctions de l’ensemble E précédent sont en module bornées dans

leur ensemble dans toute aire limitée À intérieure à À, l’ensemble des fonctions de E qui ne sont pas limites de fonctions de E est dénombrable.

THÉORÈME. — Soit F un ensemble fermé de fonctions bolomorphes et bornées en module dans leur ensemble dans toute aire limitée À intérieure à À: à° il existe au moins un ensemble H de fonctions holomorphes à l’intérieur de À dont l’ensemble des éléments limites coïncide avec F; 2° on peut décomposer F en un ensemble dénombrable et un ensemble parfait ou nul.

THÉORÈME. — Tout ensemble parfait de fonctions holomorphes à l’intérieur de a possède la puissance du continu.

On peut aussi répondre à une question analogue à celle de M. HapamarD (n° 39, 58) et donner une généralisation du théorème de M. Borez (n° 42) pour des ensembles de fonctions holomorphes.

75. De même, considérons des opérations fonctionnelles (n° 4) dont la variable soit une fonction holomorphe (voir xvI, xxvi).

THÉORÈME. — Soit F l’ensemble précédemment considéré de fonctions holomorphes. Toute opération réelle continue portant sur des fonctions holomorphes de F: 1° est uniformément continue dans F; 2° est bornée et aïteint sa limite supérieure pour au moins une fonction de F.

Réciproquement, si toute opération réelle continue dans un ensemble E de fonctions holomorphes à l’intérieur d'une méme aire À aiteint sa limite supérieure pour au moins une fonction de E, l’ensemble E est fermé et compact.

THÉORÈME. — Considérons une série d'opérations continues dans un ensemble fermé F de fonctions holomorphes et bornées dans toute aire limitée Q' intérieure à Œ. Pour que la somme de cette série soit une opération continue dans F, il faut et il suffit que la convergence soit quasi-uniforme.

THÉORÈME. — Soit Sf une famille d'opérations continues dans le même ensemble F de fonctions holomorphes. Pour que de toute infinité d'opérations de f, on puisse extraire une suite qui converge uniformément, il faut et il suffit que les opérations de ff soient également continues et bornées en tout élément de F.