CHAPITRE VII

Ensembles de courbes continues et fonctions de lignes.

76. Définition de l'arc de courbe. — Soient f, g, h, trois fonctions de # continues dans un même intervalle l:a Zt,7 b et qui ne sont à la fois constantes dans aucun intervalle compris dans Z ou qui sont à la fois constantes dans fout l'intervalle Z. Les formules :

@) x =f(), 3—=80@, x =hE CAP A) définissent dans l’espace à trois dimensions un ensemble Æ de points (x, y, x). Dans le second cas cet ensemble E ne comprend qu’un seul point; dans le premier, il est non dénombrable et alors aussi parfait, limité et bien enchainé. Si lon tient compte de

s2 MAURICE FRÉCHET.

PR ste ee LL L'ONU I ETES ER NOT SRE l’ordre dans lequel se présentent les points de E quand on fait croître f, on obtient une suite ordonnée (1, p. 27) qu’on appelle arc de courbe. Il y a donc entre l’ensemble E et l’arc de courbe y, auquel il donne naissance, la même différence qu’il y a entre une combinaison et un arrangement. Autrement dit, considérons un système de trois fonctions F(u), G(u), H(u) satisfaisant aux mêmes conditions que f, g, h; les formules : (2) RTE (U) OC) Re) AZuZB définissent un arc de courbe FT qu’on ne devra envisager comme coïncidant avec y que si non seulement y et T sont formés par le même ensemble de points, mais si encore on rencontre ces points dans le même ordre quand on fait croitre, soit f, soit #, dans (x) ou (2). Cette dernière condition est indépendante de la première; il sufht pour le voir de choisir, comme cela est facile, les formules (1) et (2) de façon à représenter deux arcs de courbes en forme de huit: ORSOTPO et OSROTPO formés des mêmes points non parcourus dans le même ordre.

Rémarquons que, comme dans l'exemple précédent, un même point géométrique peut être rencontré deux fois sur un arc de courbe, c’est-i-dire peut correspondre à deux valeurs de + différentes. Nous considérerons cependant ces deux valeurs de comme cortespondant à deux points de y distincts (points multiples). Cette convention faite, nous pourrons dire que, pour que deux courbes ÿ et T coïincident, il faut et il suffit qu'on puisse établir entre leur points une correspondance univoque et réciproque telle que deux points correspondants coïncident et que leur ordre soit conservé *).

77. En général, on se contente de dire que deux courbes (1) et (2) coïncident, s’il est possible de trouver une fonction # — w(f) continue et constamment croissante, allant de À à B quand t croit de 4 à b, et telle que l’on ait

(3) JO=FLOL 20=GCLOE 20 = 2A4RO] @LtZi) Cette définition a l’inconvénient de ne pas avoir un rapport direct avec la notion intuitive que nous avons de Pidentité de deux courbes, notion qui me semble clairement exprimée dans la définition que j’ai donnée plus haut. Remarquons d’ailleurs que, si la condition (3) est remplie, les courbes coïncideront bien au premier sens que j’ai indiqué. Mais la réciproque est moins évidente. Pour la démontrer, observons que si l’on peut établir entre (1) et (2) cette correspondance dans laquelle lordre est conservé, on pourra évidemment obtenir des identités telles que (3) dans lesquelles o(f) est une fonction bien déterminée pour chaque valeur de f et qui va sans jamais décroitre de A à B quand f croit de a à b. Il reste à montrer que w(f) est une fonction continue croissante. Or s’il en était autrement: ou bien o(f) serait constante dans un certain intervalle, et alors f(f), g(#), h(#) seraient à la fois constantes dans cet intervalle, ou bien (f) passerait brusquement de valeurs <Z9(#)—%k, à des valeurs supérieures à o(#)+k quand f passe par t, et alors l’ordre ne serait pas conservé.

”) Remarquons que cette définition satisfait bien à ces conditions fondamentales que: 1° si y est

identique à [”, F est identique à y; 2° si deux courbes sont identiques à une même troisième, elles coïncident.

HAE 20 Ainsi, la définition géomttrique que nous avons donnée coïncide complètement avec la définition ordinaire. Celle-ci permet en particulier de supposer toujours que l’in-

tervalle de variation du paramètre est l'intervalle (o, 1); il suffit de faire la transfor- : É— 4 mation # — De Nous admettrons toujours par la suite qu’on a effectué celle-ci.

78. Définition de l'écart —Maintenant que nous savons discerner les courbes distinctes, nous pouvons considérer l’ensemble de toutes ces courbes comme formant une classe d'éléments à laquelle nous essayerons d'appliquer nos théorèmes généraux. Dans ce but, nous démontrerons qu’on peut donner pour cette classe une définition de l'écart.

Considérons en effet deux représentations quelconques :

(4) 2 =), J=g@, = oz Dee 1), (5) 0) CU) NX (G) oZuZr), de deux courbes y et et formons lexpression

3) = VO — FOF +0 — COT+FPO—HG C<'er;

: ; c’est une fonction continue de # qui a un maximum d Xo. Nous appellerons écart des

deux courbes la limite inférieure e o de lPensemble des valeurs de d obtenues en prenant pour (4) et (5) toutes les représentations possibles de y et de F. On peut simplifier le calcul de l'écart en remarquant qu’il suffit de prendre pour e la limite inférieure des valeurs de d obtenues en prenant pour ÿ une représentation quelconque déterminée (4) et en faisant varier seulement la représentation de l. En effet, une re-

présentation simultanée quelconque de y et de F pourra s’écrire, d’après ce qui précède, AAC NE SONO) CES) MCE COLE EG @GZuZ 1), où ®(#) et V(w) sont deux fonctions continues croissantes. Alors, pour une telle représentation la valeur de à sera 3,0) = Vlr O1 — FUOI + ele O1 — GRO + le — AT OI et si y, (w) est la fonction inverse de o(f), on aura, en posant 4 (u) — 4[o, (u)], 8, Le, Ge] = VifG) — FO GI + 18 C0) — GG + {C0 — AGE. Mais le maximum de à,(#) est évidemment le même que celui de à,[o,(w)] qui passe par les mêmes valeurs. Or ce dernier est bien obtenu en conservant la même

représentation de y et en faisant varier celle de F.

79. Ceci étant, il est facile de démontrer que la définition que nous venons de donner satisfait bien aux conditions générales a), b) de lécart (n° 49). En effet, il est d’abord évident que si y et l coïncident, lune des valeurs de d est nulle et par suite (y, F) = 0. Réciproquement, si cette condition est vérifiée: ou bien lune des valeurs de d est nulle, et alors y et F coïncident sûrement; ou bien, quelque soit #, on peut déterminer une fonction »,(f) continue et allant en croissant de o à 1, telle que l’on ait, pour toute valeur de f entre o et 1,

OM TOE MON M AOAMORAOIE A UOESrITHOI ESS —

S4 MAURICE FRÉCHET.

On aura donc FO) = lim Fe, g@=limGle, OI bO =limAfs, O1 @ezt£n,

avec convergence uniforme. Pour démontrer le théorème, il suffit de prouver que l’on peut extraire de la suite ® (f), ®.(f), ... une suite qui converge uniformément vers une fonction o(f) (nécessairement continue et croissante de o à 1). Pour cela, nous montrerons que les fonctions +, (f) sont également continues et bornées (n° 57). Elles sont évidemment bornées: 0 7 ®,(#) < 1. Si elles n’étaient pas également continues, on pourrait déterminer un nombre «> 0 tel que, quel que soit #, il y ait une fonction p,, € deux nombres #,, # de l'intervalle (o, 1) vérifiant les inégalités