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Et comme les nombres #,, ® Ch ?, () sont bornés dans leur ensemble, on peut supposer les avoir choisis de façon qu’ils convergent (quand # croît indéfiniment) vers
des limites respectives que nous appellerons +,, #,, #!. Alors les inégalités (7) mon-
trent que #” tend aussi vers +, et que l’on a [#,—u/| Ne. Ceci étant, soit À un nombre quelconque compris entre s, et w,; pour # assez grand @,(4,) et », (4), qui tendent vers u, et w}, comprendront entre eux le nombre à. La fonction continue ©, (#) prendra donc au moins une fois la valeur À pour une valeur +, de t comprise entre
tetr. On aura donc, d’après (6), FE) FON< EG) — GON<
Comme +, tend évidemment vers +
b(x) — H mn: lbCx,) Q) <
6 il en résulte que l’ona
JG) = FO, gr) = GO), b(r.) = HO),
quelle que soit la valeur de À comprise entre w, et w!. Nous arrivons ainsi à la contradiction annoncée puisque F(u), G(u), H(u) ne sont à la fois constants dans aucun intervalle. [l faudrait faire exception pour le cas où l' se réduirait à un point, mais alors la réciproque est évidente.
80. Pour démontrer que la condition b) du n° 49 est satisfaite, considérons trois courbes y, l et C, ayant pour représentations (4), (5) et
RU), y = b(v), ==0 (0) (0 2 T)
Pour obtenir leurs écarts respectifs, il suffit de prendre les maxima des quantités
2) = VUTr OI — FUO + ke OI— HO +PROI— AGO, 3,0) = Via — SLR OI + LO — RON + EE — PRO, 8, (0) = Via@) — FN OF +00 — GRO +TO — AGO,
quand # croît de o à 1, puis de faire varier la forme de (#) et 4(#), fonctions continues croissantes de #. On a évidemment
JOPARNOEMAOE
on en déduit facilement pour les maxima correspondants 4, HOT “) d £ d, +d, et en faisant varier indépendamment + et d:
GRADE (CRE ACCRA)
81. Limite d'une suite de courbes. — La définition de Pécart a pour conséquence (n® 49, 27) une définition de la limite: La courbe Y, tend vers Y lorsque l'écart (+, Ÿ) tend vers zéro avec =. Cette définition peut s'exprimer analytiquement de la façon suivante :
La condition nécessaire et suffisante pour qu’une courbe y, ait pour limite une courbe y, lorsque # croît indéfiniment, est qu’il existe une représentation de +, :
(8) X — , (), Y = ne (), x h, () (o 24 tZ 1), et une représentation de y:
(4) POSE CS 70) @ZtZ1)
telles que f,, g,, h, convergent uniformément vers f, g, b.
En effet, si cette condition est vérifiée, il est évident que (Y,, y) tend vers zéro. Réciproquement, choisissons une représentation déterminée (4) de y; on pourra, quel que soit #, choisir une représentation (8) de y,, telle que l’on ait
2 2 F 2 I DOS OMRETOE, ONE OBrOREeC Deer Alors, si (y,, y) tend vers zéro, on. voit que f,, g,, h, convergent uniformément
vers jf, 9, D.
Nous sommes ainsi ramené à la définition ordinaire de la limite d’une courbe. Il
en résulte en particulier que si y, tend vers y, elle se trouve toute entière contenue, pour # assez grand, dans le volume engendré par une sphère de rayon & dont le centré parcourt Y.
82. La définition que nous avons donnée de lécart semble assez arbitraire; tâchons de montrer pourquoi elle est préférable à d’autres qui pourraient paraitre plus naturelles.
On a eu depuis longtemps l’idée de définir un nombre déterminé par deux courbes C, et C, de telle façon que ce nombre soit nul quand les deux courbes coïncident et soit très petit quand les deux courbes sont infiniment voisines.
M. ARZELÀ considère ainsi ce qu’il appelle la plus courte distance des deux courbes (v, page 343), savoir la limite inférieure X de la distance de deux points, l’un quelconque sur C,, l’autre quelconque sur C,. Un tel nombre satisfait bien aux deux conditions précédentes. Mais il ne satisfait pas aux conditions réciproques : il n’est pas nécessaire pour que À soit nul que les deux courbes coïncident, il suflit qu’elles se coupent. Les deux courbes peuvent être très différentes de formes et le nombre À aussi petit que l'on veut et même nul. Aussi, la considération du nombre À ne suffit-elle pas à M. ArzELA pour définir la limite d’une courbe.
Avant M. ArzELÀ, WEIERSTRASS avait introduit une quantité qu’il appelait voisinage
s6 MAURICE FRÉCHET.
de deux courbes. La définition qu’il en donnait échappe à lobjection précédente, en ce sens que le voisinage est toujours petit lorsque les deux courbes sont voisines et dans ce cas seulement. Mais il n’est défini que pour des courbes voisines. WEIERSTRASS appelait voisinage de deux courbes voisines tout nombre N o inférieur au maximum de la distance de deux points correspondants à une même abscisse ou à des abscisses très voisines. Sa définition, parfaitement suffisante pour le but qu’il se proposait *), manquait de précision à notre point de vue. De plus, il ne pouvait songer à lutiliser dans la théorie des ensembles qui Ctait encore à ses débuts. Au contraire, M. ARZELÀ semble avoir été le premier qui ait aperçu l'importance de la définition d’un nombre bien déterminé tel que sa plus courte distance et défini pour deux courbes quelconques.
Au lieu des définitions précédentes dont nous avons reconnu linsufhsance, on aurait pu songer aussi à introduire un nombre p.,, qui serait la limite supérieure de la distance minimum d’un point de C à tous les points de C,; ou bien encore, on aurait pu introduire le nombre p,, représentant la limite inférieure du maximum de la distance d’un point de C, à tous les points de C,. Ces nombres satisfont en partie aux conditions que nous exigeons de l’écart, mais pas à toutes.
D'abord, ils sont bien définis, quand même C,et C, ne seraient pas très voisins. De plus, si C, coïncide avec C,, on a p,,—0. Mais il peut arriver que p,, soit nul sans que C, coïncide avec C, ; il suffit, en effet, que l’ensemble de leurs points soit le
même. Inversement, il peut arriver que C. coïncide avec C, sans que p,, soit nul, car
1,2 dans ce dernier cas C, serait réduit à un point. Ces nombres y,,, p,,, ne sauraient donc définir un écart des deux courbes. Mais comme ils sont d’un calcul plus facile que l'écart e, ils peuvent être parfois utiles pour donner une idée de la valeur de e. On voit, en effet, bien facilement, que l’on a toujours À Zu, Zee Zu, Le.
Ces inégalités sont utiles dans certaines questions (voir par exemple n° 85).
83. Limite d'une courbe.—Le théorème que nous avons donné au n° 81 sur la limite d’une suite de courbes peut s'exprimer de la façon suivante. Pour que y, ait y pour limite, il faut et il suffit que, pour chaque valeur de #, on puisse établir entre y, et y une correspondance univoque et réciproque dans laquelle l’ordre soit conservé et cela de façon que si M, de y, correspond à M de y, M, tende vers M, mais uniformément. En supposant cette condition remplie pour une certaine correspondance, on peut se demander si elle serait aussi remplie pour toute autre correspondance univoque et conservant l’ordre. Autrement dit, soit
(8°) HET AC NE RON 10) G£IZ 1) une représentation quelconque de y,. À une même valeur de # correspondent d’après (8), (8’), (4) deux points M,, M' de y, et un point M de y. Il s’agit de savoir ce que devient M à la limite.
Il est facile de voir que lorsque M restant fixe, # croît indéfiniment: 1° le point correspondant M, à au moins un point limite; 2° tout point limite de M! est un point
*) Celui d'apporter plus de rigueur dans le Calcul des variations.
de y (qui peut être distinct de M). Mais la réciproque n’est pas vraie. Autrement dit, quand on fait prendre à M toutes les positions possibles sur y, l’ensemble des points limites des points correspondants M est situ sur y, mas ne remplit toujours la courbe y. Si, par exemple, on prend
ROSE O! LOZLEOL LO=r fe E]
CEE Ca les formules (8°) donneront bien une représentation de y, puisque «, (f) est une fonction continue qui croit constamment de o à 1. Cependant, on voit que pour #1: ©, (f), Ÿ, (), Vi () tendent VETS f(o), g(o), h(o), et pour Η1, P,(1); Ÿ,C1), 100) tendent
vers f(1), g(1), h(x). Donc les points M! tendent tous vers l’une ou l’autre des extrémités de .
avec
Cela montre en particulier, que si l’on considère un ensemble E de courbes et si lon prend pour chacune d’elles une représentation paramétrique quelconque, il n’est pas certain, lorsqu'une suite de courbes de E à une limite, que les représentations analytiques correspondantes aient une limite.
84. L'ensemble des courbes forme une classe (E) normale. — Pour arriver à D cation de nos théorèmes généraux, il ne nous reste plus qu’à prouver que la classe des courbes qui, d’après ce qui précède, est déjà une classe (E, est aussi une classe (E) normale.
I. Je dis qu’elle est séparable. En effet, nous avons vu (n° 56) qu’on peut former, une fois pour toutes, une suite S de fonctions continues
AN EAN RAA (EEE telle que toute fonction continue soit un des éléments limites de cette suite. Alors, si l’on considère une représentation (4) d’une courbe y, on pourra trouver trois fonctions de certe suite 4,,(1),-4, (f), 4, (6), telles que l’onvait
HO CNE —, HO AICIEE —., lb) — 4,01 < . CPAPA)
et on pourra toujours choisir ces fonctions non constantes à la fois dans un même intervalle. Cela prouve que lon peut considérer y comme courbe limite d’une suite de courbes extraite de l’ensemble D des courbes x AG, y—=4,6@, 2=40 @ZtZt) où 4,, À,, À, sont trois fonctions continues extraites de la suite S et non constantes à la fois dans un même intervalle. Or l’ensemble D est évidemment dénombrable. Nous arrivons donc à cette conclusion qui (outre lintérêt qu’elle présente par la suite) est bien curieuse en elle-même:
THÉORÈME. — On peut tracer une fois pour toutes dans l’espace à trois dimensions une suite dénombrable de courbes continues *):
*) On peut même supposer, d’après le mode de construction de la suite S, que ces lignes continues sont toutes des courbes unicursales, ou sont toutes des lignes polygonales chacune d’un nombre fini de côtés.
FRÉCHET. 8
58 MAURICE FRÉCHET.
AE OA Pre telle que toute courbe de l’espace soit limite d’au moins une suite convenablement extraite de la première.
II. Montrons maintenant que le théorème de Caucay sur la convergence d’une suite peut s'étendre au cas d’une suite de courbes:
THÉoRÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite de courbes C,, C,, ... tende vers une courbe limite est que, quel que soit e ©> 0, on puisse trouver un entier n vérifiant l'inégalité (C,, C,.,) << quel que soit entier p.
La condition est évidemment nécessaire. Pour démontrer qu’elle est suflisante, il sufht de montrer que, si elle est vérifite, l’ensemble est compact. En effet, si l’on peut ex-
traire de la suite de Caucay C,, C,, ... une suite C,,, C,,,... (d'indices croissants), qui tend vers une courbe C, alors la suite donnée convergera aussi vers C. Pour former la suite C,,, Cu,, ..., observons que, d’après l'hypothèse, on peut
toujours choisir #, assez grand pour que l’on ait, quel que soit l'entier p,
(Cr, Cuysp) Le Ge .
Nous savons qu’étant donnée la représentation
x = f, (0), y = & CG) x = b,() (022227)
de C,,, nous pourrons toujours choisir celle de
Mq+x
x —=f,,,6) 3=8,46), 1=0h,,0 (oZr2%), de façon que l’on ait
LOS AROELO AOF EO TT OPEN ASEEE
Lee ; Te L :
e étant aussi petit que l’on veut. Prenons en particulier e — —-. On voit alors qu’on pourra choisir successivement les représentations de C,,, C,,, ... de façon que l’on ait, quel que soit q, 2 2 2 ROOMS, LOC O<SS MODRLO ES PE
Alors, étant donné w => 0, si l’on choisit un nombre g, tel que lon ait
2 Sn 2 SE AS es o
n G+r (comme cela est toujours possible), on voit facilement que lon aura, quel que soit l’entier p,
a © — fa ON Lo, Ie: Q) — ga Lo, bg GE) — ha43 ON 0. Cela montre que les fonctions 1,0) 8,0), h,(t) convergent uniformément vers trois fonctions continues f(#), g(#), h(#), lorsque g croit indéfiniment. Si ces trois fonctions
sohticonstantesnde O4 al0rsiC, LC. 7, Cry, -.., tendent vers un point. Si ces , se |
trois fonctions ne sont pas constantes dans l'intervalle (o, t), il faudrait, pour montrer
que C,,, C»,, ... tendent vers une courbe limite, prouver que f(#), g(f), h(#) ne
sont à la fois constantes dans aucun intervalle. Ou plutôt, il faudrait prouver qu’on
SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. $s9
peut choisir les représentations de C, , C,, ..., Cr, -.. de façon qu’elles convergent vers des fonctions continues qui ne soient à la fois constantes dans aucun intervalle. Pour cela, nous nous appuierons sur ce que, si f, g, h ne sont pas constantes de O à 1, on peut former une fonction 4(f) allant sans jamais décroître de o à 1 et qui n’est constante que dans les intervalles où f, g, h sont à la fois constantes ): Alors, si Pon pose # — a(f), à toute valeur de # correspond un seul système de
valeurs de f(#), g(f), h(t), soit F(u), G(u), H(u). Il y a donc trois fonctions F, G, H déterminées pour chaque valeur de # et telles que l’on ait
JO=FRO, rO=CKG PO=AUG] ezrzn Montrons d’abord que les formules
définissent une courbe. D’après l’hypothèse faite sur a(f), F, G, H ne peuvent être à la fois constantes dans un même intervalle. Je dis qu’elles sont continues; autrement dit, s’il existe une suite de valeurs de u: #,, w,, ..., 4,,... qui convergent vers une limite #,, on aura par exemple
