GIE (CG

En effet, dans l’ensemble borné des nombres F(#,), F(u,), ..., on peut former une suite F(u'), F(u!), ... qui converge vers une limite déterminée «, ; il suffit de démontrer que, quelle que soit la façon dont on forme cette suite, on a toujours x, —F(u,). Or, à chacun des nombres w/, l’égalité #—4(f) fait correspondre au moins un nombre Patelique di 4) % Les nombres 7% 1% ."""Étant bornes ton peutrestraire derleur suite une suite f},, #,, ... ayant une limite £ ; et puisque a(f) est continue, on aura:

CD lim UN lim HEIN:

Mais f(#) est aussi continue, re di F(u)= Flat} = $C) = limf(é,) = lim F(u,) = à. Ainsi F(u) est bien continue; de même pour G, H. Ceci étant, posons 4,(t) — (: — +) a(i) + —. Pour chaque valeur de n, a, (f)

est une fonction continue et croissante de t. [Lorsque # croit indéfiniment, cette fonction tend uniformément vers 4(#)]. Donc la fonction inverse { — b,(u) est aussi une fonction continue et croissante. Par suite, si l’on pose

F,(G) =$[,G@)L GG) =, @), HG) = b,[b,(0)], la courbe C, est aussi représentée par les formules SAONE A C2) @ZuZr) Il suffit maintenant de prouver que F.(u), G,(u), H,(u) tendent uniformément vers F(u), G(u), H(u). Or, on a

Fa, O1 — f,0) ZIFTe, O1 — FO + 1fO — f,6).

*) Voir la Note I à la fin du Mémoire.

60 MAURICE FRÉCHÉT.

Les deux termes du second membre tendent uniformément vers zéro; il en est donc de même du premier. Mais si l’on pose u — 4, (#), celui-ci devient |[F(w)—F,(u)| et son maximum, pour une valeur donnée de », est resté le même. Dès lors, le maximum du premier membre tend vers zéro. Il en sera de même pour |G(u) — G,(u) et pour [H(u) — H,(u).

85. Ensembles compacts de courbes. — Nous avons vu (n° 35) que tout ensemble compact formé d’éléments d’une classe (1) est limité. Nous pouvons mettre ici cet énoncé sous une forme plus géométrique, en introduisant la notion de domaine fini ; nous appellerons ainsi un ensemble de points tel que la distance de deux quelconques d’entre eux reste inférieure à un nombre fixe. Alors, on voit facilement que la condition nécessaire et suflisante pour qu’un ensemble de courbes soit limité (c’est-à-dire pour que lécart de deux quelconques des courbes de cet ensemble reste inférieur à un nombre fixe) est que toutes les courbes de cet ensemble soient contenues dans un même domaine fini. Il suffit pour le démontrer de s'appuyer sur ce que lécart de deux courbes quelconques est au plus égal à la limite supérieure de la distance d’un point quelconque de l’une à un point quelconque de l’autre, et au moins égal au minimum de la distance d’un point quelconque fixe sur Pune à un point variable sur Pautre (n° 82). Ainsi nous voyons que fout ensemble compact de courbes est contenu dans un domaine fini. Mais nous touchons maintenant à la plus grande différence qui existe entre les ensembles ponctuels (même à une infinité dénombrable de dimensions) et les ensembles de courbes. En eflet, contrairement à ce qui se passe pour les ensembles ponctuels, un ensemble de courbes situées dans un même domaine fini n’est pas nécessairement un ensemble compact. Il suffit pour s’en rendre compte de considérer pat exemple l’ensemble Æ des courbes ‘0 Rare, V— Sin 2 ré, Re (0 er).

toutes contenues dans le même cercle x? + y 97 57°.

Il est impossible que l’on puisse tirer de cet ensemble de courbes une suite de courbes ayant une limite, car l’écart de deux quelconques d’entre elles est au moins égal à 1. On peut toujours, en effet, trouver dans une correspondance continue entre deux quelconques d’entre elles C, et C, un point M sur C, dont la distance au point correspondant soit N 1. Pour le voir, observons qu’il y a sur la sinusoïde C,, 2" points

ASS Gt, dont lordonnécrestir, etai points CEA OR ET ER IEnt l’ordonnée est — 1. Supposons # > p; il nous sufhira de montrer que, dans une correspondance continue quelconque, lun au moins des points 4,, 4,, ... de C, corres-

pond à un point de C, d’ordonnée négative ou nulle, ou que lun des points 4!, 4,,... de C, correspond à un point de C, d’ordonnée positive ou nulle; alors on aurait bien deux points correspondants dont la distance serait supérieure ou égale à 1. Or, admettons qu’il existe une correspondance G où il n’en soit pas ainsi, et appelons DD RE RER RME POSE C'Aqui Correspondent A ANRAE PEN CRETE À, -.., dans la correspondance considérée G. Les ordonntes de b., b,, seraient positives, celles de b,, bl, ... seraient négatives, et on rencontrerait ces points dans

Pordre b,, D, b,, b,..., en parcourant C,. I y aurait donc un point d’intersection de C, avec Ox aux deux extrémités et sur chacun des arcs distincts GOT DRIENE TES ’ ’ . . . .

PONS br be; en tout au moins 2°-L points d’intersection de C, avec Ox;

ce qui est impossible, puisque C, rencontre O x en 2? + 1 points et que p € #.

86. Condition pour qu'un ensemble de courbes soit compact. — Ce qui précède montre qu'il y a lieu de chercher une condition supplémentaire qui permette d’afhrmer qu’un ensemble de coutbes contenues dans un domaine fini est un ensemble compact. M. Ar- ZELÀ a obtenu cette condition suffisante par une application immédiate de son théorème sur les fonctions également continues (v, page 344). Il résulte en effet de ce théorème que, lorsque l’on considère un système R de représentations simultanées

C x =fG) 3 —=8g0@), x —=h0 (OS Pr) dun ensemble Æ de courbes C, on pourra affirmer que cet ensemble de courbes est compact si R est forme de fonctions f, g, h, ..., également continues et bornées dans leur ensemble.

Ce théorème extrêmement important se prète à un grand nombre d’applications. Mais il y a lieu de le compléter à deux points de vue. D’abord, il serait bon d’énoncer sous forme géométrique une proposition qui s'applique à des éléments gtométriques comme les courbes. Ensuite M. ARZELÀ n’a pas donné de réciproque à son théorème. Or celle-ci pourrait se comprendre de deux manières: on pourrait d’abord penser que, si lon considère un système R de représentations simultanées de courbes d’un ensemble E, les fonctions de R seront nécessairement bornées dans leur ensemble et également continues lorsque Æ est compact. Cet énoncé est inexact. En effet, considérons une courbe non fermée C:

x =), y —=$8C@), 2 =h0 (CP472)

et le système R de représentations

RE + (rs) Tr — + ee A EE — + ph Pre)

qui fournit, pour chaque valeur de #, une représentation acceptable d’une courbe C,. L'ensemble Æ des courbes C, est compact, car une autre représentation acceptable de Gest

x = +f() y=—+e), 2= +00 ozten

ñn

et on voit que C, tend vers C quand # croît indéfiniment.

Pourtant les fonctions de R ne sont pas également continues, car, quels que soient les nombres positifs & et n on peut toujours trouver un nombre # et un entier p tel que l’on ait

LG) RO) -e

pour # >> p, en posant

Lo=2+(r).

62 NAURICENFRECHET.

La seconde manière d’énoncer la réciproque qu’on pourtait être tenté de donner au théorème d’ArzeLA (et qui, cette fois-ci, est exacte) est la suivante: si un ensemble de courbes est compact, il existe toujours au moins un système de représentations simultances de ces courbes

x=f(), 7=8@), x —=h0) @ZIZ 1), tel que les fonctions f, g, h, ... soient bornées dans leur ensemble et également continues.

On pourrait trouver cette proposition directement, mais nous scinderons la démonstration en deux parties, dont l’une nous permettra d’énoncer ensuite sous forme géométrique la condition pour qu’un ensemble de courbes soit compact.

87. Ensembles de courbes uniformément divisibles. — Pour arriver à la proposition annoncée, nous commencerons par transformer la condition de M. ArzELÀ en une autre qu'on peut énoncer gtométriquement, c’est-à-dire qui ne fait intervenir aucune représentation paramétrique déterminée des courbes de l’ensemble.

Nous appellerons d’abord oscillation d’un arc P Q d’une courbe 4B le maximum de la distance de deux points quelconques appartenant à cet arc. Nous dirons alors que les courbes d’un ensemble E sont uniformément divisibles lorsque, quel que soit le nombre e > 0, on peut trouver un entier # tel que toute courbe de Æ puisse être décomposée en »# arcs consécutifs dont les oscillations soient toutes inférieures à &.

Il est facile de voir que, si un ensemble de courbes est compact, les courbes de cet ensemble sont uniformément divisibles. En eflet, dans le cas contraire on pourrait trouver un nombre € > o tel que, quel que soit ”, il existe au moins une courbe C, de l’ensemble, qui ne puisse être décomposée en # arcs dont les oscillations soient inférieures à e. Or l’ensemble étant compact, on peut extraire de la suite C,, C,, ... une suite Cuss Cnyy c++ Cn,s <<. ayant une limite C et on sait (n° 81) qu’on pourra choisir les représentations de C,, et de C:

r=F,0) = 60) 2= HO] ? L Î 1 l SE OR 0) Pan

de façon que F » G,, À, tendent uniformément vers F, G, H. Alors, quel que soit

£, On pourra choisir p assez grand pour que l’on ait, quel que soit #: ROMIOES M CO CODES, LOT EGESS

D'autre part, divisons C,, en n, arcs successifs déterminés par les valeurs de

RE RE DDR nn ane Le Si t, f" appartiennent à lun de ces intervalles, on aura p CAE DU I ++ H— #2 —. Or on peut choisir p assez grand pour que l'inégalité |t — #| sr Ft ë b —.,

: p entraine :