VIE,@ — FC) + 16,0 — G,CY + 14,06 — A,EY

Dès lors, on arrive à une contradiction, car on aurait divisé C, , ©n #, arcs dont les oscillations sont au plus égales à &.

88. Alors pour démontrer la réciproque par laquelle nous complétons le théorème de M. ArzELÀ, il nous suffira démontrer la proposition suivante:

THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour que les courbes d’un ensemble E soient uniformément divisibles et contenues dans un même domaine fini, est qu’il existe au moins un Système de représentations simultanées des courbes de E:

tel que les fonctions f, g, h, ... soient évalement continues et bornées dans leur ensemble.

Il est facile de voir que la condition est suffisante. Montrons qu’elle est nécessaire. Pour cela, nous partirons d’un premier système de représentations simultantes des courbes de l’ensemble, soit pour la courbe C:

(10) ME (U) ÿ = G(v), ro e(G)) (OEAUE AN)

Nous pourrons supposer que À, G, H, ne sont constantes dans aucun intervalle, car en ce qui concerne les courbes de l’ensemble qui sont réduites à des points, l’oscillation est évidemment nulle. Ceci étant, cherchons à former la représentation (9) à partir de la représentation (10). Autrement dit, cherchons à déterminer pour chaque courbe C une fonction v — Ÿ(f) continue et croissante de o à 1, de telle façon que toutes les fonctions F[4(#], G[L(9], A[$()] soient également continues [elles seront toujours bornées dans leur ensemble quel que soit 4 (#)].

Or, d’après lhypothèse, on peut, pour chaque courbe C, déterminer une suite de valeurs croissantes de v: