D RENE NET

( ve : TS I telles que les oscillations des arcs correspondants de C soient toutes inférieures à Li

les quantités up variant avec la courbe C, mais leur nombre #, restant le même pour toutes les courbes C. En intercalañt au besoin de nouveaux nombres dans la suite S,:0, u?, u?,... 1, on voit facilement qu'on peut supposer vérifiées les conditions supplémentaires suivantes: la suite S,,, contient la suite 5, et possède le même nombre de termes dans chacun des intervalles déterminés par 5,.

Ceci étant, faisons correspondre à chaque nombre #Ÿ, le nombre +? — Pr il est

facile de voir que si deux nombres # : u, u%° (p nécessairement différent de p’) sont égaux, il en sera de même des nombres + correspondants, et que si ue) a ua, on a

se eau HE ;

89. Nous allons maintenant définir, pour chaque courbe C, la fonction continue t— p(v) inverse de la fonction cherchée v = Ÿ(#). L dis qu'il sufht de la définir pour les valeurs de v qui sont limites des quantités 4”. Autrement dit, si v est un nombre quelconque de l'intervalle (0, 1), on peut Sin une suite de nombres ufr, uf2), ... qui tendent vers v. En effet, dans le cas contraire il y aurait un nombre € tel que, quel que soit p, chacun des arcs (v—e, v), (v, vs) soit compris dans un des arcs (n°, u,). Alors les oscillations des arcs (v—s, v) et (v, ve) seraient inférieures à

g+i quel que soit p; par suite F(v), G(v), H(v), seraient constants de v — & à v +-e, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Alors, appelons w, u”® les nombres # qui sont, les uns inférieurs, les autres supérieurs à v. Les nombres +9, +” correspondants forment deux classes de DrricHLer ; c’est-à-dire que tout nombre de la première classe est inférieur à tout nombre de la seconde et qu’on peut trouver deux nombres, un dans chaque classe, dont la différence soit aussi petite que l’on veut. Il y a donc un nombre f, et un seul, compris entre ces deux classes. C’est ce nombre que nous allons prendre pour valeur de © (v). Dans le cas où v est un des nombres #?, la valeur de p(v) sera évidemment le nombre correspondant +.

90. On voit immédiatement que cette fonction ® (v), bien définie pour toute valeur de v entre o et 1, est croissante et croît de o à 1. Elle est aussi continue. En effet,

de 2 soit w un nombre positif hope en prenant p assez grand, on aura n, De Le

nombre p étant ainsi choisi, soit uŸ le plus grand nombre de la suite S, qui est inférieur à v; alors les deux Fes v—u?, u?,— v seront positifs; n le plus grand. Je dis qu’on a pour [v — v'| <n: