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Les opérations continues.

10. Il nous est maintenant possible de définir la continuité d’une fonction dans un ensemble abstrait. Nous dirons qu’une opération fonctionnelle W uniforme dans un ensemble Æ d’éléments d’une classe (L) est continue dans E, si, quel que soit élément À de E limite d’une suite d’éléments 4, 4,, ..., À

P(A)= nr (C4

70e E, Oh 1 toujours:

Au contraire, nous ne pouvons pas encore généraliser la notion de continuité uniforme. Nous verrons plus loin comment on peut l’introduire en considérant des classes

d'éléments moins générales que la classe (L) (voir n° 47). 11. Nous généraliserons d’abord un résultat indépendant de la notion de continuité

*) La démonstration précédente est un exemple caractéristique du genre de démonstration que nous emploierons constamment par la suite. Toutes les fois que nous aurons affaire à un ensemble extrémal, nous aurons toujours à extraire une suite d'éléments de l’ensemble, tendant vers un élément de lensemble. Pour se rendre compte de la transformation qu’il faut effectuer sur les démonstrations ordinaires relatives aux ensembles ponctuels, voir la démonstration correspondante de M. BaïRE (In, page 18), où il utilise la division d’un intervalle en intervalles moitiés, ce qui n’est pas généralisable.

8 MAURICE FRÉCHET.

et qui a été énoncé d’abord par WErERsTRAss pour les ensembles ponctuels, puis par M. ArzELÀ pour les ensembles de courbes *).

THÉORÈME. — Étant donnée une opération U uniforme dans un ensemble extrémal E, il existe au moins un élément À de E tel que la limite supérieure **) p. (finie ou non) de U dans E soit égal à la limite supérieure de U dans tout ensemble K d'éléments de E auquel À est intérieur au sens étroit [en considérant E comme Fensemble fondamental (n° 8)]

Le théorème est évident si E ne comprend qu’un nombre fini d'éléments ou si U atteint sa limite en un élément déterminé de E.

Dans le cas contraire, on pourra trouver, quel que soit #, un élèment 4, de E tel

QUE UC), La étant pal ro Si pe est fini, ou à #, si est infini.

Un même élément B ne peut être tel que U(B)> 2, pour une infinité de valeurs de #, sans quoi l’on aurait U(B)—y, ce qui est contraire à notre hypothèse. Il y a donc une infinité d'éléments distincts dans la suite 4, 4,, ..., À, ..., et comme E est compact, cette infinité a au moins un élément limite 4. En définitive, il y a

une suite 7, , 4 extraite de la première et qui tend vers un élément 4 de

DENON, RCA ESEStRICEne

Je dis que À satisfait à la condition annoncée.

En effet, si K est un ensemble auquel À est intérieur au sens étroit, les éléments de E Suite 4, 24... ,"6ont tous, des éléments de K 4 partred'un cer nent (sans quoi À serait limite d’une suite d'éléments de Æ n’appartenant pas à K). Mais alors la limite supérieure w, de U dans K est au moins égale à U(4,,)> «,, quel que soit p=>gq. On a donc pp, >,,, 2, tendant vers g. D'où pu, =+.

Le théorème précédent s’énoncerait de la même manière pour la limite inférieure.

On en déduit immédiatement l’important corollaire suivant :

COROLLAIRE.— Toute opération CONTINUE dans un ensemble extrémal E: 1° est bornée dans cet ensemble; 2° atteint en au moins un élément de cet ensemble sa limite supérieure, et en au moins un élément de cet ensemble sa limite inférieure.

Ainsi, lorsqu'un ensemble Æ est extrémal, toute opération continue y atteint chacun de ses extrema. C’est cette circonstance qui nous a fait adopter la dénomination d’ensemble extrémal qui se trouve encore justifiée par la suite (n° 51).

On peut donner un corollaire plus étendu en un certain sens que le corollaire précédent en considérant les opérations semi-continues supérieurement **). Nous dirons

* Voir v, page 347. M. ARZELÀ y suppose en outre que E est un ensemble continu au sens que j'indique un peu plus loin (n° 12), condition qui n’est pas nécessaire.

*) On appelle limite supérieure d’un ensemble de nombres, une quantité & telle que tout nombre de l’ensemble soit au plus égal à x et que, quel que soit s > 0, il y ait au moins un nombre de l’ensemble supérieur à w — <. Lorsqu'un tel nombre W& n'existe pas, on dit que la limite supérieure est infinie.

“#*) Cette définition est une généralisation de celle qui a été proposée par M. BAIRE (x, page 71} pour les ensembles ponctuels.

qu'une opération U uniforme dans un ensemble E est semi-continue supérieurement dans E si, quel que soit l’élément À de Æ limite d’une suite d'éléments de E distincts: À,, À,, À,,..., 4,,..., U(A) est au moins égal à la plus grande des limites *) de la suite U(4,), U(A4,), U(4,), :.., U(A,),

COROLLAIRE. — Toute opération semi-continue supérieurement dans un ensemble extrémal E: 1° est bornée supérieurement dans E; 2 atteint en au moins un élément de E sa limite supérieure **).

La démonstration est la même que précédemment; mais on ne peut plus rien dire sur la limite inférieure.

12. THÉORÈME. — S5 U est une opération continue dans un ensemble continu E, U prend en au moins un élément de E toute valeur comprise entre deux quelconques des valeurs prises par U.

J’appelle ensemble continu, un ensemble tel qu’étant donnés deux quelconques de ses éléments 4, B, on peut extraire de E un ensemble F dont chaque élément correspond à un point de l'intervalle (o, 1) sur un axe of et inversement. La correspondance est supposée telle que si deux éléments 4, 4 de F correspondent 4 deux points À, t,, À, tend vers 4, quand f tend vers #,. Le théorème précédent a été démontré pour les fonctions de lignes par M. ArzeLA (v, page 348). Sa démonstration se généralise immédiatement au cas actuel et revient à considérer dans F, l’opération U comme une fonction de +.

Les séries d’opérations continues.

13. Convergence uniforme et quasi-uniforme, — Considérons une suite d'opérations continues dans un même ensemble ÆE; soient :