BG) — DEN

suffisante pour qu’un ensemble de courbes soit compact sous une forme qui ne fait intervenir aucune représentation paramétrique des courbes de cet ensemble.

THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de courbes soit compact est que les courbes de cet ensemble soient contenues dans un même domaine fini et également divisibles.

92. Application aux courbes rectifiables. —Appelons ligne polygonale inscrite dans une courbe, une ligne brisée ayant mêmes extrémités que la courbe et dont les sommets sont des points de la courbe que l’on trouve dans le même ordre quand on parcourt la courbe ou la ligne brisée. On démontre (1v, page 59) que, lorsque le maximum de la longueur des côtés d’une ligne polygonale inscrite dans un arc AB tend vers ztro, le périmètre de cette ligne polygonale tend vers la limite supérieure des longueurs des lignes polygonales inscrites dans 4B, et on appelle cette limite la longueur de la courbe. On dit que la courbe est rectifiable lorsque cette limite est finie.

Le théorème précédent permet d'affirmer qu’un ensemble de courbes rectifiables et contenues dans un même domaine fini est compact toutes les fois que les longueurs de ces courbes sont bornces dans leur ensemble *). En effet, supposons que l’on divise chaque courbe de Pensemble en # arcs de longueurs égales. La longueur d’une courbe quelconque € de l’ensemble est inférieure à un nombre fixe L indépendant de C; donc

chacun des arcs égaux sera de longueur inférieure à —. Or Poscillation d’un arc est n évidemment inférieure à la longueur de cet arc. Donc, en prenant # assez grand L Re Pre n > —}), chaque courbe C se trouvera divisée en arcs de longueurs inférieures à &. €

Alors les courbes C sont uniformément divisibles et leur ensemble est compact.

93. On pourrait se demander si la condition suffisante que nous venons d’énoncer est aussi nécessaire. La réponse est négative: On peut donner un exemple de courbes rectifiables situées dans un méme domaine fini et formant un ensemble compact, sans que leurs longueurs soient bornées dans leur ensemble.

Soit en effet:

x —f(G), y—=g(t, 2x—=0o CP472)

une représentation déterminée d’une courbe C non rectifiable, mais dont les arcs: I ; : er

— /t 7 1 sont rectifiables quel que soit #. [l nous suffira de considérer les courne —

*) Un cas particulier de ce théorème a été démontré directement par M. HiserT (xx). Puis la généralisation a été effectuée par M. LEBESGUE dans sa Thèse (xvir).

FRÉCHET. 9

66 MAURICE FRÉCHET.

best I I | I I I I ) Le = — — Lulr — — = Doi ee | EE tar. 0 = ++) 5 tels +e(s—)) (O2)

Ces courbes forment un ensemble compact, car il est évident que C,, C,, ...

tendent vers C. Elles sont rectifiables et contenues dans un même domaine fini. Leurs I :

longueurs qui sont celles des ares — //+,/ 1 de la courbe C ne sont cependant pas TUE

bornées dans leur ensemble.

Il est d’ailleurs bien facile de construire une courbe telle que celle dont nous

avons admis l’existence; on peut prendre par exemple la spirale hyperbolique obtenue

en posant:

if .

JO) =tcos—, sg) =tsin—.

On peut même donner un exemple de courbes contenues dans un méme domaine fini et formant un ensemble compact sans qu'aucune d'elles soit rectifiable.

Il suffit de reprendre la courbe C que nous venons de considérer, et de considérer les courbes C, :

Application des théorèmes généraux.

Nous pouvons maintenant appliquer les résultats de la PREMIÈRE PARTIE aux ensembles de courbes et aux fonctions de lignes.