Ensembles de courbes

THÉORÈME. — Soit E un ensemble quelconque d'arcs de courbes continues. 1° L’ensemble dérivé de E est fermé. 2° On peut extraire de E, une suite dénombrable D de courbes de E, telle que toute courbe de E appartienne à D, ou soit une courbe limite de D. 3° Ou bien E est dénombrable ou bien il existe une courbe C. de E telle que, pour toute valeur de e, il y ait une infinité non dénombrable de courbes de E contenues entitrement dans le volume engendré par une sphère de rayon e et dont le centre parcourt C..

THÉORÈME. — Soit G un ensemble de courbes uniformément divisibles (n° 87) et contenues dans un même domaine fini: Les éléments de G, qui ne sont pas des limites de courbes de G, forment un ensemble dénombrable.

THÉORÈME. — Sÿ l’ensemble précédent G est aussi fermé, autrement dit, si G est un

ensemble extrémal quelconque: 1°

on peut le décomposer en un ensemble dénombrable et un ensemble parfait ou nul sans éléments communs; 2° il exisie un ensemble de courbes dont l’ensemble dérivé coïncide avec E.

THÉORÈME. — Tout ensemble parfait de courbes a la puissance du continu.

On pourra aussi énoncer les théorèmes des n°® 40, 42, 43, 45, ... en prenant

comme éléments des courbes continues.

95. Fonctions de lignes, — Les opérations qui portent sur des arcs de courbes ont reçu de M. Vorrerra le nom de fonctions de lignes.

M. VOLTERRA a réussi à montrer comment on pourrait définir la dérivée d’une fonction de lignes et a obtenu, à ce point de vue, des résultats extrêmement intéressants (xv).

Dans un article des Annales scientifiques de l'École Normale (xxvir), j'ai donné quelques propriétés de fonctions de lignes dont les dérivées au sens de M. VoLrerrA ont une forme spéciale donnée.

Je laisserai ici de côté ce genre de recherches qui s’écartent un peu de notre objet actuel: l’étude des propriétés communes aux opérations continues les plus générales.

Les résultats généraux s'appliquent encore aux fonctions de lignes.

THÉORÈME. — Toute fonction de lignes, continue dans un ensemble extrémal de courbes : 1° est bornée dans cet ensemble, 2° y atteint chaque extremum. ]nversement, si toutes les fonctions de lignes continues dans un même ensemble E de courbes, 1° sont chacune bornée, 2° atteignent chacune leur extremum en au moins une courbe de lensemble, cet ensemble est nécessairement extrémal.

THÉORÈME. — Soit E un ensemble fermé de courbes contenues dans un méme domaine fini et uniformément divisibles: 1° Pour qu'une suite de fonctions de lignes U,, U,, ..…. continues dans E converge vers une fonction de lignes qui soit continue dans E, il faut et il suffit que la suite converge quasi-uniformément. 2° Pour que des fonctions de lignes, continues dans E forment une famille Ÿ telle que l’on puisse extraire de toute infinité d'éléments de Ÿ une suite de fonctions de lignes qui convergent uniformément dans E, il faut et il suffit que les fonctions de lignes de ff soient bornées dans leur ensemble et également continues dans E.

Ensembles et fonctions de surfaces.

96. On peut développer pour les surfaces une théorie qui nous mènerait à des propositions entièrement analogues à celles qui précèdent. Mais il y a au début des précautions à prendre, qui conduisent à quelques longueurs. Aussi, pour ne pas allonger ce Mémoire, renverrons-nous sur ce point à une publication ultérieure.