NE TE

de cette suite est un nombre À tel que, quel que soit e, on puisse trouver un entier p de façon que l'on ait u, << À +e pour n>>p et qu'il existe un entier m > p pour lequel v,>> À — €. S'il n’y a aucun nombre À satisfaisant à ces conditions, on dit que la plus grande des limites est infinie.

#) Ce théorème est utilisé par exemple dans la recherche des géodésiques, car la longueur d’une courbe est une fonction semi-continue inférieurement de la courbe elle-même (n° 95). (Voir aussi xvir).

FRÉCHET. 2

10 MAURICE FRÉCHET.

On démontre facilement que si une suite d'opérations U,, U,, ..., continues dans un ensemble quelconque Æ converge uniformément vers une opération U, celle-ci est continue dans E.

14. Mais la limite peut être continue sans que la convergence soit uniforme. On a donc été amené à chercher une condition moins restrictive pour la convergence. M. ARZELÀ est parvenu à résoudre le problème par l'introduction de la convergence quasi-uniforme. Sa démonstration assez compliquée ne s’applique qu’aux fonctions d’une variable (1x). Mais M. Borez a donné ensuite une démonstration plus simple (11, page 42) qui se géntralise immédiatement aux ensembles d’éléments d’une classe (L) avec une légère modification nécessitée par notre hypothèse plus générale.

Nous dirons qu’une suite d’opérations U,, U,, ..., U,, ..., uniformes dans un ensemble E converge quasi-uniformément vers une opération U, lorsque, étant donnés le nombre £ >> o et un entier quelconque N, on peut déterminer, une fois pour toutes, un entier N'X N tel que, à tout élément À de E, on puisse faire correspondre un entier #, tel que

None NU) UE

Lorsqu'il y a convergence uniforme, il y a aussi convergence quasi-uniforme. Dès lors, le théorème que nous avons énoncé plus haut est une conséquence du suivant :

Lorsqu'une suite d'opérations U,, UÜ,, ..., U,, ... continues dans un ensemble quelconque formé d'éléments d'une classe (L) converge quasi-uniformément dans E vers une opération U, celle-ci est continue dans E. La démonstration est la généralisation directe de celle de M. Borez (un, page 42). Ce théorème admet une réciproque, mais celle-ci ne s'applique qu’à un ensemble Æ extrémal.

Il sufht de généraliser la seconde démonstration de M. BOoREL (nr, page 43-44); cependant, pour démontrer qu’une certaine quantité #, déterminée en tout élément 4 de E est bornée dans E, il est impossible de diviser comme lui en intervalles de longueurs décroissantes. Mais si #, n’est pas borné, on peut former, puisque E est extrémal, une/suite d'éléments ide E:,4°,#4% 4;;"."quitendent vers un“elémentide F'etètels

que #1,tende vers l'infini avec p. Le reste de la démonstration s’ensuit.

A peut cependant donner un énoncé de la réciproque applicable à un ensemble quelconque. En la combinant avec le théorème direct, on obtient la proposition suivante :

Pour qu'une suite d'opérations U,, U,, ..., U,,... continues dans un même ensemble E formé d'éléments d'une classe (L) converge vers une opération continue dans E, il faut et il suffit que celte suite converge quasi-uniformément dans tout ensemble extrémal formé d'éléments de E.

Il sufñt de montrer que si un élément 4 de Æ est limite d’une suite d’éléments ARE AA EE OT DÉC)

Or l’ensemble F formé des éléments 4, 4, À ,... est extrémal. On peut donc lui appliquer la réciproque déjà démontrée dans ce cas. 15. Les opérations également continues, — Considérons une famille ff d’opérations con-

tinues dans un même ensemble Æ formé d’éléments d’une classe (L). Dans un grand nombre de questions de l’Analyse, il serait utile de savoir si la famille dj est telle que de toute infinité d'opérations de d distinctes, on peut tirer une suite U, U,, ..., U,, ... qui converge uniformément vers une limite U nécessairement continue dans E. Nous dirons qu’une telle famille ff est compacte.

M. ARZELÀ qui a montré comment le fait de savoir qu’une famille est compacte simplifierait bien des démonstrations de l'Analyse, est parvenu à résoudre cette question dans le cas où les éléments de E sont des nombres (v, page 1).

Il utilise pour cela la notion d’égale continuité introduite par M. Ascorr (xxrr). Comme nous nous plaçons à un point de vue bien plus général que ces deux auteurs, nous allons donner une définition de légale continuité indépendante de la notion d’intervalle. Nous reconnaîtrons ensuite qu’elle coïncide avec la définition de M. ARzZELÀ dans les ensembles considérés par lui. La démonstration de M. ARzELA est compliquée et ne se généralise pas à notre point de vue actuel. Nons donnerons une démonstration différente dont la marche générale est au fond la même que celle de M. HizBerT pour l'existence des géodésiques (xx). Mais M. HILBERT n'avait pas vu que sa méthode pouvait se généraliser beaucoup plus loin que celle de M. AkRZELÀ, tandis que son résultat est au contraire une conséquence immédiate du théorème de M. ARzELA.

Nous dirons que des opérations uniformes dans un même ensemble Æ formé d’éléments d’une classe (L), constituent une famille ff d’opérations également continues en 4 dans Æ, si, étant donné un nombre e >> o et une suite quelconque d’éléments de E: RL A Ayeoripourelimite un élèment ALderE on peut, trouvertun entier p tel que l’inégalité # >> p entraine

IU(A4) — U(A,)N <s, quelle que soit l'opération U de la famille fi.

Il est d’ailleurs bien entendu que le nombre p indépendant de U peut au contraire varier avec la suite À, 7e ..., A,,.... Ii résulte immédiatement de la définition, et comme il le fallait, que des opérations également continues dans E sont en particulier chacune continue dans Æ. Inversement, si des opérations en nombre fini sont continues dans E, elles sont également continues dans Æ. Maïs cette remarque n’est plus exacte pour une infinitt d’opérations distinctes.

Pour arriver au but que nous nous sommes proposé, nous démontrerons une série de propositions intéressantes en elles-mêmes, mais impliquant pour E et f des hypothèses différentes. En les combinant dans le cas où toutes ces hypothèses sont simultanément réalisées, on obtient le résultat cherché.

16. 1° LEMME. — La limite U d’une suite convergente U,, U,,..., U,,... d’opérations également continues dans un ensemble Æ, est une opération continue dans E. De plus, si E est extrémal, la convergence est nécessairement uniforme dans E.

En effet, si on considère un élément quelconque 4 de E, limite d’une suite d’e-

none nf 220 FOR RE PROC URE COS U,(4,) < €; pour n > p,

12 MAURICE FRÉCHET.

quel que soit g. Si on fait croître g indéfiniment, on aura à la limite IU(A) — U(A,) Ze, pour n > p.

Cela prouve que U est continue en tout élément 4 de E.

De plus, on voit que si les opérations d’une famille Jf sont également continues dans E, il en sera de même des opérations de la famille ff, , formée par l’ensemble de opérations limites dans Æ d’une suite infinie d'opérations de ÿ (sil y en a).

Supposons maintenant que E soit un ensemble extrémal. Si des opérations également continues U., U,, ... convergent vers une limite U dans un ensemble extrémal E, la convergence est nécessairement uniforme. Sans quoi, on pourrait trouver un nombre & > 0 tel que, quel que soit », il y ait un élément À, de E et un entier p,=>n pour lesquels

[U,,(4,) — U(4) > 8; et puisque Æ est extrémal, on peut supposer que 4,, 4,, ... tendent vers un élément He On aura donc:

[U,,(4,) — U(4,) Z|U,, (4,) — 03, (4) +IU(4)— U(4,) +IU(4)— U,, (4). Puisque U,,(4) tend vers U(4) et que les opérations U,, U,, ... sont également continues, on pourra trouver k’ et k’’ de façon que le dernier terme soit inférieur à

. pour #>>k" et que les deux premiers soient inférieurs chacun à ee pour n >> k". On aura donc pour #n > k' + k":

IU;, (4,) De U(4,) 2 £

Nous arrivons donc bien à une contradiction.

17. 2% LEMME. — Considérons une suite d'opérations U , U,, ... convergente dans un ensemble D. Si ces opérations sont également continues dans l’ensemble F formé des éléments de D et de son ensemble dérivé D’, la suite considérée est aussi convergente dans F.

Il suffit de démontrer que la suite est convergente en tout élément À limite d’une cuite éléments den 47,4 4 p'telique:

.. Or, on peut, étant donné & > 0, trouver